重

心《工程力學(xué)》重心概念在地球附近的物體都受到地球?qū)λ淖饔昧?，即物體的重力。重力作用于物體內(nèi)每一微小部分，是一個分布力系。對于工程中一般的物體，這種分布的重力可足夠精確地視為空間平行力系，一般所謂重力，就是這個空間平行力系的合力。不變形的物體(剛體)在地球表面無論怎樣放置，其平行分布的重力的合力作用線，都通過此物體上一個確定的點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為物體的重心。重心坐標(biāo)任一物體事實(shí)上都可看成由無數(shù)個微元體組成，這些微元體的體積小至可看成是質(zhì)點(diǎn)。任一微元體所受重力（即地球的吸引力）ΔPi

，其作用點(diǎn)的坐標(biāo)xi、yi、zi與微元體的位置坐標(biāo)相同。所有這些重力構(gòu)成一個匯交于地心的匯交力系。右圖認(rèn)為是一個空間力系，則P=∑ΔPi合力的作用線通過物體的重心，由合力矩定理zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio重心坐標(biāo)zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio§5-6重心和形心坐標(biāo)公式二、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)物體容重g是常量，則對于均質(zhì)的物體，其重心與形心的位置是重合的。重心坐標(biāo)對于均質(zhì)等厚的薄板，如取平分其厚度的對稱平面為xy平面，則其重心的一個坐標(biāo)zC等于零。設(shè)板厚為d，則有V=A·d，ΔVi=ΔAi·d上式也即為求平面圖形形心的公式。重心坐標(biāo)確定重心方法1.對稱法對于均質(zhì)物體，若在幾何形體上具有對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ點(diǎn)，則其重心必在此對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ點(diǎn)上。若物體有兩個對稱面，則重心在兩個對稱面的交線上。若物體有兩個對稱軸，則重心在兩個對稱軸的交點(diǎn)上。對于均質(zhì)物體，其重心與形心重合。例如，球心是圓球的對稱點(diǎn)，也就是它的承心或形心，矩形的重心就在它的兩個對稱軸的交點(diǎn)上。確定重心方法2.積分法對于任何形狀的物體或平面圖形，均可用下述演變而來的積分形式的式子確定重心或形心的具體位置。對于均質(zhì)物體，則有zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio例1求圖示半圓形的形心位置。C2R.O確定重心方法解：建立如圖所示坐標(biāo)系，則xC=0現(xiàn)求yC。

則b(y)ydyC2R.Oxy確定重心方法代入公式有C2R.Oxy確定重心方法確定重心方法3.組合法當(dāng)物體或平面圖形由幾個基本部分組成，而每個組成部分的重心或形心的位置又已知時，可按第一節(jié)中得到的公式來求它們的重心或形心。這種方法稱為組合法。例2：角鋼截面的尺寸如圖所示，試求其形心位置。y15020x20200O

解：取Oxy坐標(biāo)系如圖所示，將角鋼分割成兩個矩形，則其面積和形心為：A1=（200-20）×20=3600mm2

x1=10mmy1=110mmA2=150×20=3000mm2

x2=75mmy2=10mmy15020x20200O12確定重心方法由組合法，得到xC=A1+A2

A1x1+A2x2=39.5mmyC=A1+A2

A1y1+A2y2=64.5mm另一種解法：負(fù)面積法將截面看成是從200mm×150mm的矩形中挖去圖中的小矩形（虛線部分）而得到，從而A1=200×150=30000mm215020x20200Oy12y15020x20200O12確定重心方法x1=75mm,y1=100mmA2=-180×130=-23400mm2故xC=30000×75-23400×8530000-23400=39.5mmyC=30000×100-23400×11030000-23400=64.5mm兩種方法的結(jié)果相同。x2=85mm,y2=110mm15020x20200Oy12確定重心方法確定重心方法4.懸掛法以薄板為例，只要將薄板任意兩點(diǎn)A和B依次懸掛，畫出通過A和B兩點(diǎn)的鉛垂線，兩條鉛垂線的交點(diǎn)即為重心C的位置，如圖。想一想，為什么？ABCAB.

確定重心方法例3邊長為a的均質(zhì)等厚正方形板ABCD，被截去等腰三角形AEB。試求點(diǎn)E的極限位置

ymax以保證剩余部分AEBCD的重心仍在該部分范圍內(nèi)。ABDCEymaxaaxy確定重心方法yC=A1+A2

A1y1+A2y2解：分兩部分考慮xC=2a極限位置yC=ymaxⅠ：Ⅱ：