第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河南省新鄉(xiāng)一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(1+i)=|1?i|，i為虛數(shù)單位，則z=(

)A.i B.22?222.已知向量a=(1,2),b=(1,?1),c=(4,5).若a與b+λA.114 B.?114 C.13.下列說(shuō)法正確的是(

)A.各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體

B.球的直徑是連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段

C.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐

D.用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)4.已知m，n為不同的直線，α，β為不同的平面，下列命題為假命題的是(

)A.m⊥α，m⊥β?α//β B.m//n，n?α?m//α

C.m⊥α，m?β?α⊥β D.m⊥α，n⊥α?m//n5.如圖，四邊形ABCD的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.AB=2

B.A′D′=22

C.四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4+22+26.已知向量a在向量b上的投影向量為12b，且|a|=|b|=1A.3 B.1 C.34 7.圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點(diǎn)P是母線BC上一點(diǎn)，且PC=23BC.一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是A.(4+6π)cm B.5cm C.38.克羅狄斯?托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師.托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線長(zhǎng)的乘積等于兩組對(duì)邊長(zhǎng)乘積之和.已知四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，且AC=3BD，∠ADC=2∠BAD.若AB?CD+BC?A.4 B.2 C.3 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=2?1+i(i為虛數(shù)單位)的命題，其中真命題為A.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限 B.若復(fù)數(shù)z1=1+i，則|z?z1|=22

C.z10.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則如下判斷正確的是(

)A.若A>B，則sinA>sinB

B.若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形或直角三角形

C.若sin2A+sin2B>sin2C，則△ABC是銳角三角形

D.若11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，PA.直線AP與直線C1D1所成角的正切值為12

B.當(dāng)CQ=12時(shí)，S為等腰梯形

C.當(dāng)CQ=34時(shí)，S與C1D1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.復(fù)數(shù)z=i2025(1+i)?a為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a13.平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，AB?AD=4，點(diǎn)P在邊CD上，則PA14.在三棱錐P?ABC中，AB=2，AC⊥BC，若該三棱錐的體積為23，則其外接球表面積的最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知平面向量a=(1,2),b=(?3,?2)．

(1)若c⊥(2a+b)，且|c|=516.(本小題15分)

如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1兩底面的邊長(zhǎng)分別為4和8．

17.(本小題15分)

如圖所示，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA=2．

(1)證明：平面PBE⊥平面PAB；

(2)求點(diǎn)D到平面PBE的距離．18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，b，c滿(mǎn)足b2+acac=sinAsinC+sinCsinA，c=12．

(1)求B；

(2)若D為線段BC上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足AD=BD，AC=19.(本小題17分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱BB1=1，∠ABC=2π3，且M，N分別為BB1，AC的中點(diǎn)．

(1)證明：MN//平面AB1C1；

(2)

參考答案1.B

2.D

3.B

4.B

5.D

6.D

7.B

8.B

9.BD

10.ABD

11.ABC

12.?1

13.[?1,8]

14.25415.解：(1)設(shè)c=(x,y)，2a+b=(?1,2)，且c⊥(2a+b)，

∴c?(2a+b)=2y?x=0，

∴x=2y，且|c|=5，

∴x2+y2=4y2+y2=5y2=5，解得y=±1，∴x=?216.解：(1)如圖，連接AC，BD，A1C1，B1D1，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，A1C1與B1D1交于點(diǎn)O1，

過(guò)點(diǎn)C1作C1E⊥AC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC于點(diǎn)F，連接C1F，

由題意知∠EC1C=30°,CE=CO?EO=CO?C1O1=42?22=22，

在Rt△C1CE中，C1E=3CE=26，

又EF=CE17.證明：(1)連接BD，作出示意圖如下所示：

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，

故△BCD是正三角形，

由于E是CD的中點(diǎn)，故BE⊥CD，

又因?yàn)锳B//CD，故AB⊥BE，

由PA⊥底面ABCD，BE?平面ABCD，得到PA⊥BE，

又因?yàn)镻A、AB?平面PAB，AB∩PA=A，故BE⊥平面PAB，

又因?yàn)锽E?平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB；

解：(2)由PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，可以得到PA⊥AB，

根據(jù)勾股定理可得PB=PA2+AB2=22+12=5，

因?yàn)槿切蜝CD為正三角形，E是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD，

又因?yàn)锽C=1，所以BE=BCsin60°=32，

由于BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，故可以得到BE⊥PB，

根據(jù)三角形的面積公式可得S△PBE=12PB?BE=1218.(1)由題意，結(jié)合正弦定理可得b2+acac=ac+ca，

化簡(jiǎn)得b2=a2+c2?ac，所以cosB=a2+c2?b22ac=12，結(jié)合B∈(0,π)，可得B=π3；

(2)D為線段BC上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足AD=BD，B=π3，可得△ABD為等邊三角形，

所以∠ADC=π?∠ADB=2π3，

設(shè)CD=x，在△ADC中，AC2=AD2+CD2?2AD?CDcos∠ADC，

即189=x2+12219.(1)證明：如圖，取CC1的中點(diǎn)H，連接MH，NH，

因?yàn)镸為BB1的中點(diǎn)，且側(cè)面BCC1B1為矩形，所以MH//B1C1．

因?yàn)锽1C1?平面AB1C1，MH?平面AB1C1，所以MH//平面AB1C1．

因?yàn)镹為AC的中點(diǎn)，所以NH是△ACC1的中位線，故NH//AC1．

因?yàn)锳C1?平面AB1C1，NH?平面AB1C1，所以NH//平面AB1C1．

因?yàn)镸H∩NH=H，且MH，NH?平面MNH，

所以平面MNH//平面AB1C1．

因?yàn)镸N?平面MNH，所以MN/?/平面AB1C1．

(2)(i)因?yàn)锳B=BC=2，且∠ABC=2π3，

所以∠