第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省綏化市安達(dá)高級中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=(3?i)2A.3 B.2 C.232.△ABC的直觀圖△A′B′C′如圖所示，其中A′B′//x′軸，A′C′//y′軸，且A′B′=A′C′=2，則△ABC的面積為(

)A.22B.2

C.43.下列選項正確的是(

)A.空間三點確定一個平面

B.如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等

C.如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行

D.過一點有且只有一條直線與已知平面垂直4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米2020石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得255粒內(nèi)夾谷29粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(

)A.222石 B.220石 C.230石 D.232石5.若D是△ABC的邊BC上的一點(不包含端點)，且AD=mAB+2nAC，則2A.4 B.6 C.8 D.126.在△ABC中，(AB|AB|+AC|A.30° B.60° C.90° D.120°7.已知圓錐的頂點為S，O為底面圓心，母線SA，SB互相垂直且△SAB的面積為2，直線SA與圓錐底面所成角為π6，則二面角S?AB?O的大小為(

)A.π12

B.π6

C.π4

8.若正三棱柱ABC?A1B1C1既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的內(nèi)切球和外接球的半徑分別為R1A.55 B.5 C.5二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知平面向量a=(1,cosθ)，b=(?2,sinθ)，則(

)A.?θ∈R，a，b不垂直

B.?θ∈R，使得a，b共線

C.當(dāng)θ=π4時，|a+b|=3

D.當(dāng)θ=010.在△ABC中，角A，B，C對邊分別是a，b，c，且cos2B+cos2A.∠A=2π3

B.若bcosB=ccosC，則△ABC是等邊三角形

C.若△ABC的面積為934，則△ABC的外接圓半徑的最小值為11.如圖，在多邊形ABPCD中(圖1).四邊形ABCD為長方形，△BPC為正三角形，AB=3，BC=32，現(xiàn)以BC為折痕將△BPC折起，使點P在平面ABCD內(nèi)的射影恰好是AD的中點(圖2).若點E在線段PB上運動，Q點在AD上運動，則(

)A.AB⊥平面PAD

B.平面PCD⊥平面PAB

C.Q到平面EBC的距離為2

D.當(dāng)PE=13PB時，三棱錐三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.有5人進(jìn)行定點投籃游戲，每人投籃12次.這5人投中的次數(shù)形成一組數(shù)據(jù)，中位數(shù)為10，唯一眾數(shù)為11，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是______．13.已知i為虛數(shù)單位，如果復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|+|z?2i|=4，那么|z?1|的最小值是______．14.祖暅(gèng)(5世紀(jì)—6世紀(jì))，字景爍，祖沖之之子，范陽郡道縣(今河北省淶水縣)人，南北朝時期的偉大科學(xué)家.他在實踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了下面的體積計算原理：“冪勢既同，則積不容異”.這就是“祖暅原理”.用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”.例如可以用祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，半徑為R的半球與底面半徑和高都為R的圓柱放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個半徑為R，高為R的圓錐后得到一個新的幾何體，用任何一個平行于底面的平面α去截這兩個幾何體時，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等.若球心到平面α的距離為23R，則平面α截半球所得的較小部分的幾何體的體積等于______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

中國AI大模型正處于一個技術(shù)進(jìn)步迅速、市場規(guī)模快速增長的爆發(fā)式發(fā)展階段.為了解中國AI大模型用戶的年齡分布，A公司調(diào)查了500名中國AI大模型用戶，統(tǒng)計他們的年齡(都在[15,65]內(nèi))，按照[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求m的值；

(2)估計這500名中國AI大模型用戶年齡的平均數(shù)(各組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值作代表)；

(3)求這500名中國AI大模型用戶的年齡在[45,65]內(nèi)的人數(shù)．16.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為DD1的中點，F(xiàn)為CC1的中點．

(1)求證：B17.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosC(acosB+bcosA)=32c.

(1)求角C的大??；

(2)點D在邊BC上，且CD=2，BD=AD=1，求18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，AD=PD=2，PD⊥底面ABCD，E是棱PB的中點．

(1)證明：平面ACE⊥平面PBD．

(2)求PB與平面PCD所成角的余弦值．

(3)記過點E且與平面PAD平行的平面為α，求α截四棱錐P?ABCD所得截面的面積．19.(本小題17分)

記斜△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(b2+c2?a2)sinBcosB=32bccos(B+C)，且B<3π4,b=3．

(1)求角B；

(2)E為邊AC的中點，若BE=22

答案解析1.【答案】D

【解析】解：z=(3?i)2=2?23i，

則|2.【答案】C

【解析】解：將直觀圖還原為原圖，如圖所示，

則△ABC是直角三角形，其中AC=4，AB=2，

故△ABC的面積為S△ABC=12×4×2=4．

故選：C．3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，空間中不共線的三點確定一個平面，A錯誤；

對于B，如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)，B錯誤；

對于C，如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行，C錯誤；

對于D，過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，D正確；

故選：D．

根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，即可得答案．

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，涉及平面的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】C

【解析】解：設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為x石，

由題意根據(jù)樣本的性質(zhì)可得，29255=x2020，求得x≈230，

即這批米內(nèi)夾谷約為230石．

故選：C．

設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為5.【答案】C

【解析】解：由點D在邊BC上(不包含端點)，可知存在正數(shù)λ，使BD=λDC，

即AD?AB=λ(AC?AD)，解得AD=11+λAB+λ1+λAC，

結(jié)合AD=mAB+2nAC，可得11+λ=mλ1+λ=2n，所以m+2n=11+λ+λ1+λ=1，

結(jié)合m>0，n>0，可得2m+16.【答案】A

【解析】解：因為AB|AB|,AC|AC|表示AB，AC邊上的單位向量，

所以AB|AB|+AC|AC|經(jīng)過∠BAC的角平分線，

又(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，

所以∠BAC的角平分線與7.【答案】C

【解析】解：取AB的中點E，連接OE，SE，

因為SA=SB，E為AB的中點，則SE⊥AB，由垂徑定理可得OE⊥AB，

所以二面角S?AB?O的平面角為∠SEO，

因為SO⊥平面OAE，OE?平面AOE，則SO⊥OE，

因為SA⊥SB，SA=SB，

所以△SAB為等腰直角三角形，

S△SAB=12SA2=2，則SA=SB=2，AB=SA2+SB2=22+22=22，

SE=12AB=2，

因為SO⊥平面OAE，則∠SAO為直線SA與圓錐底面所成角，即∠SAO=π6，

8.【答案】A

【解析】解：由于三棱柱的外接球和內(nèi)切球的球心相同，

所以設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，

如圖所示：

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，

即BD=r，故AD=2R1，

所以外接球的半徑R2=R12+(2R1)2=9.【答案】ABD

【解析】解：∵a=(1,cosθ)，b=(?2,sinθ)，

∴a?b=?2+sinθcosθ，又sinθcosθ=12sin2θ∈[?12,12]，

∴a?b=[?52,?32]≠0，即?θ∈R，a，b不垂直，故A正確；

若a，b共線，則sinθ+2cosθ=0，即tanθ=?2，則?θ∈R，使得a，b共線，故B正確；

當(dāng)θ=π4時，a+b=(?1,2)，|a+10.【答案】BD

【解析】解：由cos2B+cos2C?cos2A=1?sinCsinB，得1?sin2B+1?sin2C?1+sin2A=1?sinCsinB，

整理得sin2B+sin2C?sin2A=sinCsinB，

由正弦定理得b2+c2?a2=bc，

選項A，由余弦定理得cosA=b2+c2?a22bc=12，

因為A∈(0,π)，所以A=π3，故選項A錯誤；

選項B，若bcosB=ccosC，則bcosC=ccosB，

由正弦定理知，sinBcosC?sinCcosB=0，

所以sin(B?C)=0，即B=C，

又A=π3，所以△ABC是等邊三角形，故選項B正確；

選項C，因為△ABC的面積為934，

所以12bcsinA=34bc=934，即bc=9，

由正弦定理得，bsinB=csinC=2R，其中11.【答案】ABD

【解析】解：對于選項A，取AD的中點O，連接PO，

由題知PO⊥平面ABCD，

因為AB?平面ABCD，所以PO⊥AB，

又四邊形ABCD為長方形，則AB⊥AD，

又PO∩AD=O，PO，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，故選項A正確；

對于選項B，設(shè)平面PCD∩平面PAB=l，

因為AB/?/CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB/?/平面PCD，

因為AB?平面PAB，且平面PCD∩平面PAB=l，所以AB/?/l，

由A選項可知，AB⊥平面PAD，因為AP，PD?平面PAD，

所以AB⊥AP，AB⊥PD，則l⊥AP，l⊥PD，

所以∠APD為二面角A?l?D的平面角，

因為BC=32，△BPC為正三角形，則BC=BP=CP=32，

因為AB=3，則在Rt△PAB中，所以AP=PB2?AB2=18?9=3，

同理DP=3，

則AP2+DP2=AD2，即AP⊥PD，

所以平面PCD⊥平面PAB，故選項B正確；

對于選項C，由AB選項易得PO=12AD=322，

設(shè)點Q到平面PBC的距離為d，

則由VP?QBC=VQ?PBC，

得S△QBC?PO=S△PBC?d，

則12×32×3×322=34×32×32×d

即d=3，

故Q到平面12.【答案】9.5

【解析】解：有5人進(jìn)行定點投籃游戲，每人投籃12次．這5人投中的次數(shù)形成一組數(shù)據(jù)，中位數(shù)為10，唯一眾數(shù)為11，極差為3，

設(shè)這5個數(shù)據(jù)從小到大為a≤b≤c≤d≤e：

已知中位數(shù)為第三個數(shù)，故c=10；

唯一眾數(shù)為11，故d，e至少含11，且11出現(xiàn)次數(shù)至少2次，故d=e=11；

極差為3，即e?a=3?a=8；

若b=10，則10和11均出現(xiàn)2次，眾數(shù)不唯一；若b=8，則8和11均出現(xiàn)2次，眾數(shù)不唯一．因此，b=9．

綜上，數(shù)據(jù)為：8，9，10，11，11．

根據(jù)百分位數(shù)公式：設(shè)數(shù)據(jù)個數(shù)為n，第p%百分位數(shù)的位置i=n×p%．

已知n=5，p=40，故i=n×p%=5×0.4=2．

當(dāng)i為整數(shù)時，第p%百分位數(shù)位第i項與第i+1項的平均值，即9+102=9.5．

故答案為：9.5．

根據(jù)統(tǒng)計量計算中中位數(shù)、眾位數(shù)、極差以及百分?jǐn)?shù)的概念，結(jié)合多個條件構(gòu)造符合條件的數(shù)據(jù)組求解．13.【答案】1

【解析】解：設(shè)?2i，2i，1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z1，Z2，Z3，

因|Z1Z2|=4，|z+2i|+|z?2i|=4，且復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡為線段Z1Z2，如圖所示．

故|z?1|的最小值問題可理解為：動點Z在線段Z1Z2上移動，求|ZZ3|的最小值，

故只需作Z3Z0⊥Z1Z14.【答案】881【解析】解：題意知，

V圓柱=πR2(13R)=13πR3，

V大圓錐=13πR215.【答案】0.015．

37.5．

100．

【解析】(1)由頻率分布直方圖得：

(0.01+0.03+0.04+m+0.005)×10=1，

解得m=0.015．

(2)由頻率分布直方圖得：

(20×0.01+30×0.03+40×0.04+50×0.015+60×0.005)×10=37.5，

∴估計這500名中國AI大模型用戶年齡的平均數(shù)(各組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值作代表)為37.5歲；

(3)由頻率分布直方圖可知中國AI大模型用戶的年齡在[45,65]內(nèi)的頻率為：

0.15+0.05=0.2，

則這500名中國AI大模型用戶的年齡在[45,65]內(nèi)的人數(shù)為500×0.2=100．

(1)根據(jù)頻率之和為1得到方程，求出答案；

(2)利用平均數(shù)計算公式和頻率分布直方圖進(jìn)行求解；

(3)求出年齡在[45,65]內(nèi)的頻率，進(jìn)而求出人數(shù)．

本題考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、頻率、頻數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．16.【答案】證明：(1)設(shè)AC與BD相交于點O，連接OE，則O為BD的中點，

∵E為DD1的中點，∴OE/?/BD1，

又OE?平面AEC，BD1?平面AEC，

∴BD1/?/平面AEC；

(2)連接EF，則EF/?/AB，且EF=AB，

∴四邊形AEFB為平行四邊形，

∴BF/?/AE，又BF?平面AEC，AE?平面AEC，

∴BF/?/平面AEC，

由(1)可知BD1//平面AEC，且BF?平面BFD1【解析】(1)設(shè)AC與BD相交于點O，連接OE，易知OE/?/BD1，再由線面平行的判定定理，得證；

(1)連接EF，易證BF//AE，所以BF/?/平面AEC，由(1)可知BD1//平面AEC，再結(jié)合面面平行的判定定理即可證得平面AEC//17.【答案】C=π6；

3+2【解析】(1)由射影定理得acosB+bcosA=c，所以c?cosC=32c，

所以cosC=32，所以C=π6；

(2)在△ADC中，32=cosC=b2+4?12?b?2，解得b=3，

在18.【答案】證明見解析；

104；

3【解析】解：(1)證明：因為底面ABCD為菱形，所以AC⊥BD，

又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

所以AC⊥PD，

因為BD∩PD=D，BD，PD?平面PBD，

所以AC⊥平面PBD，又AC?平面ACE，

所以平面ACE⊥平面PBD；

(2)取CD的中點O，連接BO，PO，

在菱形ABCD中，由∠BAD=60°，可得BO⊥CD，

因為PD⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，

所以PD⊥BO，又CD∩PD=D，CD，PD?平面PCD，

所以BO⊥平面PCD，

則∠BPO即為PB與平面PCD所成的角，

因為AD=PD