15.3.1等腰三角形第十五章軸對稱第1課時等腰三角形的性質(zhì)15.3等腰三角形學習重點學習難點了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)經(jīng)歷等腰三角形的性質(zhì)的探究過程，能初步運用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題

學習目標情境引入新課導入定義及相關(guān)概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.ACB腰腰底邊頂角底角底角等腰三角形的性質(zhì)剪一剪：把一張長方形的紙按圖中的紅線對折，并剪去陰影部分（一個直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點？互動探究講授新課ABCAB=AC等腰三角形折一折：△ABC是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？ACDB折痕所在的直線是它的對稱軸.等腰三角形是軸對稱圖形.找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.重合的線段重合的角

ACBDAB與AC

BD與CD

AD與AD∠B

與∠C.∠BAD

與∠CAD∠ADB與∠ADC

猜一猜：

由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說一說你的猜想.ABC已知：△ABC中，AB=AC,求證：∠B=C.思考：如何構(gòu)造兩個全等的三角形？猜想:等腰三角形的兩個底角相等如何證明兩個角相等呢？可以運用全等三角形的性質(zhì)“對應角相等”來證已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：作底邊的中線AD，則BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共邊)，

∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底邊上的中線還有其他的證法嗎？已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共邊),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應角相等).方法二：作頂角的平分線在△BAD和△CAD中想一想：由△BAD≌

△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

解：∵△BAD≌

△CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵

∠ADB+∠ADC=180°，∴

∠ADB=∠ADC=

90°，即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線.

ABCD性質(zhì)1:等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).ACB如圖,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對等角).證明后的結(jié)論,以后可以直接運用.總結(jié)歸納性質(zhì)2:等腰三角形底邊上的中線、高及頂角平分線重合(三線合一）.ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.綜上可得：如圖,在△ABC中,畫出任意一個等腰三角形的底角平分線、這個底角所對的腰上的中線和高，看看它們是否重合？不重合！三線合一為什么不一樣?1.等腰三角形的頂角一定是銳角.2.等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以.3.鈍角三角形不可能是等腰三角形.

4.等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.5.等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.6.等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.（X）（X）（X）（X）（√）明辨是非（√）例題ABCD

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).分析：（1）找出圖中所有相等的角；（2）指出圖中有幾個等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD.ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關(guān)系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.（4）設∠A=x°,請把△ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°,ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.設∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x

在含多個等腰三角形的圖形中求角時，常常利用方程思想，通過內(nèi)角、外角之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解.歸納例題

如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù).解：∵AB=AD=DC∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC設∠C=x，則∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x，在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°.∴∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.例題

等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，則這個三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：當50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當50°的角是頂角時，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.故選A.A方法總結(jié)：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．1.（1）等腰三角形一個底角為50°,它的另外兩個角為____________.（2）等腰三角形一個角為70°,它的另外兩個角為___________________.（3）等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為________.50°,80°70°,40°或55°,55°30°,30°2.（1）等腰三角形的兩邊長為6和8，則此三角形的周長是_______.（2）等腰三角形的兩邊長為5和10，則此三角形的周長是_____.20或2225練一練例題

如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上

的中線，∠ABC的平分線BG交AC于點G，交AD于點E，EF⊥AB，垂足為F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度數(shù)；(2)求證：EF＝ED.(1)解：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，

∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC

＝(180°－∠A)

＝(180°－50°)＝65°.(2)證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，

∴ED⊥BC，

又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，

∴EF＝ED.例題

已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)如圖②，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，求證：AF⊥BC.圖②圖①證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.圖②圖①G總

結(jié)(1)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)是證明角相等、

線段相等和垂直關(guān)系的既重要又簡便的方法；因

為題目的證明或計算所求結(jié)果大多都是單一的，

所以“三線合一”的性質(zhì)的應用也是單一的，一

般得出一個結(jié)論，因此應用要靈活．(2)在等腰三角形中，作“三線”中“一線”，利用

“三線合一”是等腰三角形中常用的方法．2.如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（）A．40°B．30°C．70°D．50°A1.等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角分別是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°B當堂練習3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，∠BAD＝35°，則∠C的度數(shù)

為(

)A．35°B．45°C．55°D．60°C4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊的中

點，點E在AD上，那么下列結(jié)論不一定正確的

是(

)A．AD⊥BC

B．∠EBC＝∠ECBC．∠ABE＝∠ACE

D．AE＝BED

5.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50°，則底角的大小為___________．ABCABC70°或20°注意：當題目未給定三角形的形狀時，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論.6.如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF.∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE為底角的平分線，∴7.A、B是4×4網(wǎng)格中的格點，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，請在圖中標出使以A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形的所有格點C的位置．AB分別以A、B、C為頂角頂點來分類討論！8個這樣分類就不會漏啦！C1C2C3C4C5C6C7C8等腰三角形的性質(zhì)等邊對等角三線合一注意是指同一個三角形中注意是指頂角的平分線,底邊上的高和中線才有這一性質(zhì).而腰上高和中線與底角的平分線不具有這一性質(zhì).課堂小結(jié)15.3.1等腰三角形第十五章軸對稱第2課時等腰三角形的判定15.3等腰三角形學習重點學習難點探索等腰三角形的判定定理及其應用掌握等腰三角形的判定方法掌握等腰三角形的判定定理，并運用其進行證明和計算

學習目標1、等腰三角形是怎樣定義的？有兩條邊相等的三角形,叫做等腰三角形.①等腰三角形是軸對稱圖形.③等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊

上的高重合(也稱為“三線合一”).②等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成

“等邊對等角”)

.2、等腰三角形有哪些性質(zhì)？DABC既是性質(zhì)又是判定溫故而知新新課導入情境引入

在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊BC和一個底角∠C，請問，有沒有辦法把原來的等腰三角形畫出來？ABCA思考：如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關(guān)系嗎？我測量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.3cm3cm等腰三角形的判定ABC如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險船只的報警，當時測得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能同時趕到出事地點（不考慮風浪因素）？互動探究講授新課已知：如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系?建立數(shù)學模型：CAB做一做：畫一個△ABC，其中∠B=∠C=30°，請你量一量AB與AC的長度，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？AB=AC你能驗證你的結(jié)論嗎？講授新課在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD

≌△ACD.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.過A作AD平分∠BAC交BC于點D.證明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形.∴

AC=AB.()即△ABC為等腰三角形.∵∠B=∠C，()知識要點等腰三角形的判定方法有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡寫成“等角對等邊”）.已知等角對等邊在△ABC中，應用格式：BCA((這又是一個判定兩條線段相等的根據(jù)之一.ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角對等邊）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角對等邊）.錯，因為都不是在同一個三角形中.辨一辨：如圖,下列推理正確嗎?

求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB=AC．

證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．ABCE（（12D例題

已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點E.求證：△AED是等腰三角形.ABCDE證明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對應角相等）,∴AE=DE(等角對等邊）,∴△AED是等腰三角形.例題

已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證：AB=ADBADC證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD.總結(jié)：平分角+平行=等腰三角形例題

如圖，把一張長方形的紙沿著對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？BCADE是由折疊可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.例題總

結(jié)等腰三角形的判定方法主要有兩種：一是判定定理；二是定義.另外還有很多方法，如在同一個三角形

中，三線中兩線重合，也能說明是等腰三角形.

但不常用，一般是通過推理得出角相等或邊相等，

再得出是等腰三角形.1.在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（）A.∠A＝50°，∠B＝70°B.∠A＝70°，∠B＝40°C.∠A＝30°，∠B＝90°D.∠A＝80°，∠B＝60°B2.如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于_______.3cm練一練例題

已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作這個等腰三角形.ah作法：1.作線段AB=a.2.作線段AB的垂直平分線MN，交AB

于點D.3.在MN上取一點C，使DC=h.4.連接AC，BC，則△ABC即為所求.ABCMND例題

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法總結(jié)：“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立．例題

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O.過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之間的關(guān)系.OABCEF解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.

∵BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEF若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？結(jié)論還成立嗎？方法總結(jié)：判定線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般做法是通過全等或利用“等角對等邊”，運用轉(zhuǎn)化思想，解決問題.等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的判定與性質(zhì)的異同相同點：都是在一個三角形中；區(qū)別：判定是由角到邊，性質(zhì)是由邊到角．即：等邊性質(zhì)判定等角.

性質(zhì)判定例題

如圖，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于

點E，交AC的延長線于點F，交BC于點D，

且BE＝CF.求證：DE＝DF.導引：要證DE＝DF，可構(gòu)造以DE和DF為對應邊的全

等三角形，不妨過點E作EG∥AC交BC于點G，

則只要證明△EDG≌△FDC即可，缺少的條件

可運用等腰三角形的性質(zhì)及判定得出．證明：過點E作EG∥AC交BC于點G，如圖，則∠1＝∠F，

∠2＝∠3.∵AB＝AC，∴∠B＝∠3(等邊對等角)．∴∠B＝∠2.∴BE＝EG(等角對等邊)．又∵BE＝CF，∴EG＝CF.在△EDG和△FDC中，

∠1＝∠F，

∠4＝∠5，EG＝FC，

∴△EDG≌△FDC(AAS)．∴DE＝DF.1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有(

)A．5個B．4個C．3個D．2個2.一個三角形的一個外角為130°，且它恰好等于一個不相鄰的內(nèi)角