1.4無(wú)窮級(jí)數(shù)

L4.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.級(jí)數(shù)的存在意義和概念

級(jí)數(shù)是一個(gè)多項(xiàng)和。無(wú)窮級(jí)數(shù)是一個(gè)無(wú)窮多項(xiàng)的和。

級(jí)數(shù)理論是分析學(xué)的?個(gè)分支，它與另一個(gè)分支一一微積分學(xué)一起作為基

礎(chǔ)知識(shí)和工具出現(xiàn)在其余各分支中。二者共同以極限為基本工具，分別從離

散和連續(xù)兩個(gè)方面，結(jié)合起來(lái)研究分析學(xué)的對(duì)象，即變量之間的依賴關(guān)系一

函數(shù)。

?級(jí)數(shù)理論的基本問(wèn)題：

級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題

?級(jí)數(shù)的作用：

研究函數(shù)

?級(jí)數(shù)的應(yīng)用：

近似計(jì)算

2.常數(shù)頂級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

?概念：

與是一個(gè)數(shù)列，

8

2冊(cè)

n=1

是無(wú)窮級(jí)數(shù)

S.=￡u,

f=1

稱為級(jí)數(shù)U"的部分和

若1%sn一s存在，稱級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，對(duì)于余項(xiàng)

y??limr=0

勺=n+1Uf有“—co

若limS?=Sv<?,,

“-8"不存在，稱級(jí)數(shù)4=1%發(fā)散

?性質(zhì)

和的級(jí)數(shù)=級(jí)數(shù)的和

每一項(xiàng)的常數(shù)倍之和=級(jí)數(shù)的常數(shù)倍

3.典型級(jí)數(shù)

8

￡aq"

n=1

當(dāng)Mvi時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于1-%反之發(fā)散

gi

i=in

當(dāng)P>1時(shí)收斂，當(dāng)0VP41時(shí)發(fā)散

?Grjph國(guó)Graph??VIFW?1

fCwSi

10--

0Graph?ZRehto-GJ口

kemgn*7v??8”|/巾注一

片擊

0GMph,2:Rebt..oE)￡31

跖p4t■“jrl

4.正頂級(jí)數(shù)審效法C4條）

當(dāng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)均>5時(shí)，稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。

什么是審斂法？

就是通過(guò)級(jí)數(shù)的各種極限形式來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的方法。

?收斂準(zhǔn)則：

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是其部分和有界。

部分和有界是部分和數(shù)列有界的必要條件。

?比較審斂法：

COco

￡u〃、￡vn

n=1n=1

對(duì)于N>0,當(dāng)時(shí)，0Wu〃WCv〃（C為常數(shù)），若后者收斂則前者收斂，若前

者發(fā)散則后者發(fā)散。

比較審斂法的極限形式是

u?

lim—=I

n-a>vn

當(dāng)°<I<8時(shí)，兩級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。

?比值審斂法（后項(xiàng)比前項(xiàng)）

若

5+1

lim-------=I

n-su

當(dāng)IVI時(shí)收斂，當(dāng)，>1或，=+8肘發(fā)散，當(dāng)，=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能批注［PU：（因?yàn)槭钦?xiàng)級(jí)數(shù)所以這里默認(rèn),是恒大于0

的）

lim

n-*8

lim帆1=1

（或n-a）

）

則當(dāng)，VI時(shí)收斂，當(dāng)，>1或，=+8時(shí)發(fā)散，當(dāng)1=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可

能發(fā)散。批注[P3]:該部分可以類比正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法第3和

4條，意膽一樣

142塞級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)

在第一節(jié)中學(xué)的是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，即級(jí)數(shù)中的每一項(xiàng)都是常數(shù)（不管正的還是

負(fù)的），但是有些級(jí)數(shù)的通項(xiàng)并不是常數(shù)，而是函數(shù)，這樣的級(jí)數(shù)就是函數(shù)級(jí)數(shù)批注[P4]:此概念與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相對(duì)應(yīng)

本節(jié)將要學(xué)習(xí)的耗級(jí)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)都是函數(shù)級(jí)數(shù)的?種。

1.泵級(jí)數(shù)mm概念和勝質(zhì)

形如

8

n=0

稱為事級(jí)數(shù)，令1="一%,則事級(jí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為

00

￡

n=0

批注這也是為什么后面對(duì)幫級(jí)數(shù)的處理都是針

一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的幕級(jí)數(shù)完全由它的系數(shù)量來(lái)決定。[P5]:

對(duì)巴,夾的，而不是前面的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的

2.阿貝爾定理

若上級(jí)數(shù)在t=t。處收斂，則對(duì)忖<,。|的所有t,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

若發(fā)散，發(fā)散

3.復(fù)級(jí)數(shù)的收斂半按及其乘法

p->R

對(duì)哥級(jí)數(shù)

co

n=0

若

】im----=p（或lim=p）

則它的收斂半徑R與〃有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系

fl

-當(dāng)”0時(shí)i

R=P、,，…實(shí)際上這X是?樣的,都是R=-

0當(dāng)p+8時(shí)p

+8當(dāng)p=0時(shí)

4.函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)的方法

?只考慮間接法:

利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式、棄級(jí)數(shù)的運(yùn)算（如四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)

積分）以及變量代換等，將所給函數(shù)展開(kāi)成耗級(jí)數(shù)，避免在用直接法時(shí)研究余

項(xiàng)的麻煩。

?常用函數(shù)的某級(jí)數(shù)展開(kāi)式：

+con

J=￡京（-8VXV+8）

n=0K,

+82n+1

sin*=2o(-l)"^7^(-8vxv+8)

cosx=￡(-l)W

(-co<X<4-co)

n=0

+8〃+1

ln(l+x)=*("l<x<l)

n=0

123

3---=1+X+X+X+-

1-x

+8

(1+x)'=Z--------------------X(-1<X<1)

當(dāng)〃=-1/2時(shí)

111*321*3*53

r===1--X+~~~-X-~--X+???

1+x22*42*4*6

當(dāng)〃=_1時(shí)

123

1-X+X-X+???

1+X

5.泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞杯級(jí)數(shù)

轅級(jí)數(shù)

三#%0)(…0)"

n=0?

批注［P6):從定義上可以看出，泰勒級(jí)數(shù)是冢級(jí)數(shù)的一

稱為函數(shù)/'(M在點(diǎn)X。處的泰勒級(jí)數(shù)。

種.

特別的，當(dāng)/=°時(shí)，級(jí)數(shù)

羽產(chǎn)(。)，

n=0

稱為函數(shù)f(X)的麥克勞林級(jí)數(shù)。

1.4.3傅里葉級(jí)數(shù)

1.定義：

f(x)是周期為2n的周期函數(shù)，且以下兩個(gè)積分(兩系數(shù))都存在：

2”=洌/(幻3九必(e0、1、？、……)

b;J=J(x)sin7mh:把級(jí)數(shù)。?:角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)「，用三角第數(shù)的知識(shí)解決級(jí)數(shù)的問(wèn)題

(n=l、2、....)

則a”、bn稱為傅里葉系數(shù),而級(jí)數(shù)：

aQ8

萬(wàn)+E(a“cos7i%+b^innx)

n=1

叫做函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

2.狄利克雷收斂定理

八乃是周期為2n的周期函數(shù)，若其滿足條件：

①在?個(gè)周期內(nèi)連續(xù)，或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；

②在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)；

則f。）的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，且當(dāng)x是/。）的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于f（x），當(dāng)

x是/（幻的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于4&+）+八”）］

3.正弦級(jí)數(shù)

f。）是周期為2n的奇函數(shù)，則它的傅里葉系數(shù)為

an=^-7r^）cos^=°9=0、1、2,……）

2

b〃=J#（%）sin以dx（n=r2、……）

其傅里葉級(jí)數(shù)為

QO

Ebnsinnx

n=1

因此稱為正弦級(jí)數(shù)

4.余弦級(jí)數(shù)

/■（X）是周期為2”的偶困數(shù)，則它的傅里葉系數(shù)為

a”=5"a）C0S7ixdx（n=o、入？、……）

%=:匕JQ）sinnxdx=0（n=K2……）

其傅里葉級(jí)數(shù)為

Q?！?/p>

2+Eancosnx

n=1

因此稱為余弦級(jí)數(shù)

1.4.4后記

級(jí)數(shù)究竟是什么東西？它與我們的生活有什么聯(lián)系呢？我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)

它？

我們今天看到書本上幾頁(yè)紙的《無(wú)窮級(jí)數(shù)》章節(jié)內(nèi)容，是數(shù)學(xué)家們幾個(gè)世紀(jì)

以來(lái)的努力結(jié)果，其中可能經(jīng)歷了猜測(cè)、假設(shè)、驗(yàn)證、推廣、質(zhì)疑、推廣等許多

個(gè)階段，才有了今天的樣子。也就是說(shuō)，我們確實(shí)是在巨人的肩膀上看世界。

帶格式的：縮進(jìn)：7L1.75字符，苫行縮邊；2字

級(jí)數(shù)理論是分析學(xué)的一個(gè)分支，它與另一個(gè)分支一一微積分學(xué)一起作.符

為基礎(chǔ)知識(shí)和工具出現(xiàn)在其余各分支中。二者共同以極限為基本工具，分別

從離散和連續(xù)兩個(gè)方面，結(jié)合起來(lái)研究分析學(xué)的對(duì)象，印變量之間的依賴關(guān)

系一一函數(shù)。

-從定義可知：級(jí)數(shù)是用來(lái)研究函數(shù)的工具，而數(shù)學(xué)很大程度上就是在研究函

數(shù)，而級(jí)數(shù)的應(yīng)用是近似計(jì)算，

我們可以將牛.活中幾乎所有函數(shù)（可導(dǎo)）用級(jí)數(shù)表示出來(lái)，這樣方便了我們

求那些本來(lái)不好求的函數(shù)的值。無(wú)窮？那有什么可怕？在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)下，

運(yùn)算速率根本就不是個(gè)事，而對(duì)于收斂的級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，我們只需要求W前面一定數(shù)

量的通項(xiàng)和。

泰勒級(jí)數(shù)有什么用？

:帶格式的：縮進(jìn)：首行縮進(jìn)：2字符J

用吳文俊的話說(shuō)就是：把質(zhì)的困難轉(zhuǎn)變成量的匏雜。