高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省新力量聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足,則=A.-2i B.2i C.-2 D.2【答案】A【解析】由得,即,所以,故選A.2.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，故，所以.由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到.綜上得，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫法得到三角形為直角三角形，，底邊長(zhǎng)，高，所以，直角三角形的周長(zhǎng)為．故選：A．4.“平面內(nèi)有一條直線，則這條直線上的一點(diǎn)必在這個(gè)平面內(nèi)”用符號(hào)語(yǔ)言表述是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】平面內(nèi)有一條直線，則這條直線上的一點(diǎn)必在這個(gè)平面內(nèi)，符號(hào)表達(dá)為：，，故選：C5.在平行四邊形中，相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)镺是的中點(diǎn)，，又由可得是的中點(diǎn)，.故選：B.6.在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】對(duì)于A，已知三角形三邊，且任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，從而可由余弦定理求內(nèi)角，只有一解，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)正弦定理得，，又，，B有兩解，故B符合題意；對(duì)于C，由正弦定理：得：，C只有一解，故C不符合題意.對(duì)于D，根據(jù)正弦定理得，，又，，D只有一解，故D不符合題意.故選：B7.設(shè)非零向量與的夾角為，定義與的“向量積”：是一個(gè)向量，它的模，若，則（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】，故，所以，故.故選：D8.已知點(diǎn)為外接圓的圓心，角所對(duì)的邊分別為，且，若，則當(dāng)角取到最大值時(shí)的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下圖所示：設(shè)的中點(diǎn)為，，因?yàn)椋?，由知，角為銳角，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以此時(shí)，角取得最大值，此時(shí)恰有，此時(shí)三角形是直角三角形，所以.故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在正方體中，M，N分別為棱的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有（）A.直線與是相交直線 B.直線與是異面直線C.與平行 D.直線與共面【答案】BD【解析】對(duì)于A，三點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)不在直線上，點(diǎn)不在平面內(nèi)，可得直線與是異面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，三點(diǎn)在平面內(nèi)，不在直線上，點(diǎn)不在平面內(nèi)，可得直線與是異面直線，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，又為的中點(diǎn)，則有，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，則與不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以，由正方體的性質(zhì)可知：，所以，則有四點(diǎn)共面，所以直線與共面，故D正確.故選：BD.10.已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則C. D.若，則【答案】ACD【解析】設(shè)，對(duì)于A，，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則，則或，所以中至少有一個(gè)0，即或，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)可知，，=，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，當(dāng)，則，可得，解得，即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為內(nèi)一點(diǎn)滿足與交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理得，故A正確；所以，所以，故D正確；所以，故B錯(cuò)誤；由D知，是的平分線，所以，整理得，故C錯(cuò)誤；故選：AD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，角所對(duì)的邊分別為的面積__________.【答案】【解析】，故答案為：13.如圖所示，為測(cè)量一樹的高度，在地面上選取兩點(diǎn)，從兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為，且兩點(diǎn)間的距離為，則樹的高度為__________.【答案】【解析】在中，由正弦定理得：，即，即又，則，則樹高m，故答案為：14.在中，為內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的最大值為__________.【答案】【解析】因?yàn)椋鶕?jù)向量垂直的性質(zhì)可知，那么.對(duì)兩邊同時(shí)平方由可得.展開可得：.將，，，代入上式可得：，即，化簡(jiǎn)得.設(shè)，，則.根據(jù)基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），可得：.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量與的夾角為，且，.（1）求；（2）；（3）求向量與向量的夾角.解：（1）因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，，則.（2）.（3）設(shè)向量與向量的夾角，可得，且，則，所以向量與向量的夾角為.16.正四棱錐中，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點(diǎn).（1）求四棱錐的表面積（2）求四面體的體積.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)?，所以，所以，，所以四棱錐的表面積為；（2）因?yàn)?，所以，又為上靠近的三等分點(diǎn)，所以17.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，其所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，是虛數(shù)單位.（1）求；（2）當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的二次方程有一個(gè)實(shí)根.解：（1）（2）設(shè)是二次方程的一個(gè)實(shí)根，將代入方程得：由復(fù)數(shù)相等的意義得：，解得：所以當(dāng)時(shí)，原方程有一實(shí)根18.已知分別為銳角三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若；（i）求周長(zhǎng)的取值范圍.（ii）當(dāng)周長(zhǎng)最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（包括端點(diǎn)），求的最小值.解：（1）.由正弦定理得在中，代入上式化簡(jiǎn)得：sinC因?yàn)?，所以，即為銳角，（2）（i）由正弦定理得所以是銳角三角形，即所以周長(zhǎng)的取值范圍為.（ii）當(dāng)三角形周長(zhǎng)最大時(shí)，三角形為等邊三角形，以所在直線為軸，過垂直于的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意可知，設(shè)，則所以，當(dāng)時(shí)，取最小值所以的最小值是19.據(jù)報(bào)道，2024年4月15日，正值全民國(guó)家安全教育日，田灣核電8號(hào)機(jī)組穹頂球冠吊裝成功（如圖（1）），標(biāo)志著國(guó)內(nèi)最重核電機(jī)組薄殼鋼襯里穹頂?shù)跹b工作安全完成，有力推動(dòng)了我國(guó)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和能源結(jié)構(gòu)的調(diào)整，助力“雙碳”目標(biāo)順利實(shí)現(xiàn).報(bào)道中提到的球冠是一個(gè)空間幾何概念，它是指球面被一個(gè)平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直徑被截得的部分是球冠的高.球冠面積等于截得它的球面上大圓（過球心的截面圓）周長(zhǎng)與球冠的高的乘積.和球冠相對(duì)應(yīng)的幾何體叫球缺，它是指球體被一個(gè)平面所截得的一部分，截面是球缺的底.當(dāng)球缺的高小于球半徑時(shí)，我們把球缺與以球缺的底為底?以球心為頂點(diǎn)的圓錐所構(gòu)成的體，稱作“球錐”（如圖（2））當(dāng)一個(gè)四面體各頂點(diǎn)都在“球錐”表面上時(shí)，稱這個(gè)四面體內(nèi)接此“球錐”.如圖（2），設(shè)一個(gè)“球錐”所在球的半徑為，其中球冠高為.（1）類比球體積公式的推導(dǎo)過程（可參考圖（3）），寫出“球錐”的體積公式；（直接寫結(jié)果）（2）在該“球錐”中，當(dāng)球缺的體積是圓錐的體積2倍時(shí)，求的值；（3）已知一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)接此“球錐”，并且有一個(gè)頂點(diǎn)與球心重合，若滿足條件的有且只有一個(gè)，求的取值范圍.解：（1）把“球錐”切割成無數(shù)個(gè)小錐體，由題意得球冠面積為，所有小錐體的底面積之和即球冠面積，結(jié)合錐體體積公式得“球錐”的體積為.（2）設(shè)圓錐半徑為，則，當(dāng)球缺的體積是圓錐的體積的2倍時(shí)，，即消去，得