高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市浙里特色聯盟2024-2025學年高二上學期11月期中數學試題選擇題部分一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.）1.復數（為虛數單位）的虛部是（）A.1 B. C.2024 D.【答案】B【解析】由復數的概念可得的虛部是.故選：B.2.已知圓的標準方程為，則圓心坐標為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為圓標準方程為，所以圓心坐標為.故選：B.3.過點且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】若直線與垂直，則其斜率為，又該直線過，根據點斜式有，整理得.故選：C.4.已知，且，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由題意可得，即，解得.故選：C.5.在四面體中，，點在上，且為的點，且，則等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】易知，即.故選：D.6.古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的中心為原點，焦點均在軸上，的面積為，過點的直線交于點，且的周長為12.則的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設橢圓的長半軸長與短半軸長分別為，結合題意可知橢圓方程為：，由條件得，又的周長為，所以，即橢圓方程為：.故選：A.7.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將圓化為標準方程為，所以圓心為，半徑為1，根據題意及圖形可知切線的斜率存在，設切線的方程為，即，則有，整理可得，則，設兩切線斜率分別為、，則、為關于的方程的兩根，由韋達定理可得，，所以，所以，由題意可知，所以，由，解得．故選：D．8.已知為橢圓的右焦點，為橢圓上一點，為圓上一點，則的最小值為（）A.－5 B.－4 C.－3 D.－2【答案】B【解析】在橢圓中，，，則，則，則橢圓的左焦點為，圓的圓心為，半徑為1，由橢圓的定義可得，所以，再由圓外的點到圓上動點的最小值為到圓心的距離減去半徑，所以有，利用當且僅當、、三點共線且在線段上時，取最小值，所以有故的最小值為－4.故選：B．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選、錯選得0分.）9.已知分別是橢圓的左，右焦點，為橢圓上的一點，則下列說法正確的是（）A.B.橢圓的離心率為C.直線被橢圓截得的弦長為D.若，則的面積為4【答案】BCD【解析】因為橢圓方程為：，則其長軸長、短軸長、焦距分別為，所以，即A錯誤；B正確；當時，與聯立得，即直線被橢圓截得的弦長為，故C正確；若，則，即，則的面積為，故D正確.故選：BCD.10.在棱長為的正方體中，點、分別在線段和上（含端點），則下列命題正確的是（）A.長的最小值為B.三棱錐的體積為定值C.有且僅有一條直線與垂直D.當點、為線段中點時，則為等腰三角形【答案】ABD【解析】對于A，由點所在線段分別在兩個平行平面、上，且為異面直線，其間距最小值為異面直線的距離，即兩個平面間的距離，即長的最小值為，A對；對于B，由，其中表示到平面的距離，顯然為定值，而的中，底與邊上的高均為定值，由此可知面積為定值，綜合上述，四面體的體積為定值，B對；對于C，點在平面上的射影的軌跡為線段，平面，平面，所以，則的一個充要條件，當射影位于線段上的任意位置時，過作的垂線，所得垂足記為，則，根據以上垂直關系可知，，、平面，所以平面，平面，從而.于是這樣的直線不唯一，C錯；對于D，以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，當、分別為、的中點時，則、、，所以，，同理可得，，此時，為等腰三角形，D對.故選：ABD.11.已知直線，下列說法正確的是（）A.直線恒過定點B.直線與直線垂直，則C.當點到直線的距離取到最大時，此時D.直線與圓所截得的最短弦長為1【答案】BC【解析】對于A，由，令，即直線恒過定點，故A錯誤；對于B，若直線與直線垂直，則有，所以，故B正確；對于C，易知點到直線的距離，即，解之得，故C正確；對于D，，即該圓圓心為，半徑為，則到的距離為，所以直線與圓所截得的弦長為，即越大，弦長越小，則弦長最小為，故D錯誤.故選：BC.非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每個空5分，共15分.）12.直線的傾斜角大小為______.【答案】【解析】由直線可知其斜率為，所以其傾斜角滿足，所以.13.已知空間向量且與互相平行，則實數的值______.【答案】2【解析】由條件可知，因為與互相平行，所以，解之得.14.已知右焦點為的橢圓上的三點A，B，C滿足直線AB過坐標原點，若于點，且，則的離心率是______.【答案】【解析】設橢圓的左焦點為，連接，

因為點平分，所以四邊形為平行四邊形，又因，所以四邊形為矩形，設，則，在直角中，，所以，整理可得，所以，在直角中，，所以，所以，所以.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知ABC的頂點，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．（1）求頂點C的坐標；（2）求直線BC的方程．解：（1）設，∵AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為．∴，解得．∴．（2）設，則，解得．∴．∴．∴直線BC的方程為，即為．16.在平面直角坐標系中，圓經過點和點，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）若直線被圓截得弦長為，求實數的值.解：（1）易知和的中點，，則的中垂線方程為，聯立方程，即圓心坐標為，易知，所以圓的標準方程為；（2）易知圓心C到直線的距離為，又直線被圓截得弦長為，所以，解之得或.17.如圖，正四棱柱中，設，點線段上，且.（1）求三棱錐的體積；（2）直線與平面PBD所成角的正弦值.解：（1）根據題意可知，所以，；（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，易知，所以，設平面的一個法向量，則，取，即，設直線與平面PBD所成角為，則.18.已知O為坐標原點，橢圓C：過點，且離心率為，斜率為的直線交橢圓于P，Q兩點.（1）求橢圓C的方程；（2）記以為直徑的圓的面積分別為的面積為S，求的最大值.解：（1）由題意可知，解之得，即橢圓方程為；（2）設，直線方程，與橢圓方程聯立得，所以，即有，易知，同理，則，由上知，即，而，O到直線的距離，即，顯然時，取得最大值1，即的最大值為.19.人臉識別是基于人的臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術.主要應用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有種.設，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標原點）.（1）若，求之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點，求的最大值；（3）已知點，是直線上的兩動點，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，