第10講圓內(nèi)接四邊形與正多邊形題型梳理題型梳理題型方法題型一圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì)題型二正多邊形的概念及對稱性題型三圓內(nèi)接正多邊形及其畫法知識清單知識清單知識點1.圓內(nèi)接四邊形的概念（重點）一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。知識點2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理（重點）1.圓內(nèi)接四邊形的對角互補．2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．知識點3.正多邊形的有關(guān)概念（重點）（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。（2）正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個正多邊形的中心。（3）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。（4）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫作正多邊形的中心角。（5）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。知識點4.正多邊形的畫法（重點）（難點）1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.2.用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形。在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。要點詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.知識點5.正多邊形的對稱性（拓展）正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.題型方法題型方法【題型一】圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì)【答案】B【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．故選：B【答案】108本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，在上取點，連接，，故答案為：．【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵；【答案】(1)見解析(2)半徑長【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理；【詳解】（1）證明：∵點，，，均在上，∴半徑長【題型二】正多邊形的概念及對稱性A．正五邊形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形【答案】A【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角求得每個外角的度數(shù)，利用多邊形外角和為360°即可求解．故選：A．【點睛】本題考查圓與正多邊形，掌握多邊形外角和為360°是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2425九年級上·浙江寧波·期末）一個圓內(nèi)接正多邊形的一條邊所對的圓心角是，則該正多邊形邊數(shù)是（

）A．6 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形中心角的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)正多邊形中心角的計算方法列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個正多邊形為正邊形，由題意得，所以這個正多邊形是正九邊形，故選：B．【變式2】（2425九年級上·浙江金華·期末）若的半徑為．則其內(nèi)接正六邊形的周長等于【答案】故答案為：．

【答案】15【詳解】解：如圖，連接，，故答案為：15．

【點睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．【題型三】圓內(nèi)接正多邊形及其畫法【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．故選：B．

【答案】A【詳解】解：如圖，連接，+

結(jié)合正方形與正八邊形可得：故選A【答案】故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、30度所對直角邊等于斜邊一半、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運用，即可解題．【變式3】尺規(guī)作圖：如圖，AD為⊙O的直徑。(1)求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF.(要求：不寫作法,保留作圖痕跡)；(2)已知連接DF，⊙O的半徑為4，求DF的長。【答案】（1）見解析；（2）4【分析】（1）如圖，在⊙O上依次截取六段弦，使它們都等于OA，從而得到正六邊形ABCDEF；（2）連接OF，可得△OFE是等邊三角形，邊長為4，可求得∠OEF=60°，∠DFE=30°，設(shè)BE與DF交于G點，可得∠FGE=90°，即可求得FG的長，進而求得FD的長.【詳解】（1）如圖，正六邊形ABCDEF為所作；（2）連接OF，設(shè)BE與DF交于G點∵六邊形ABCDEF為正六邊形∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120°∴∠DFE=30°∵OE=OF∴△FOE為等邊三角形∴EF=OE=4，∠OEF=60°∴∠FGE=90°∴EG=OE=2∴FD=2FG=【點睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖及正多邊形的計算，關(guān)鍵是掌握圓的內(nèi)接正六邊形的邊長等于圓的半徑．好題必刷好題必刷一、單選題A．七 B．八 C．九 D．十【答案】C【詳解】解：正多邊形的外接圓為，故選：C．A． B． C． D．【答案】A∵C為的中點，故選：A．3．（2425九年級上·浙江杭州·期末）公元三世紀中期，我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法．如圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H是上的八等分點，任意取其中的三個點組成一個三角形，則組成鈍角三角形的個數(shù)是（

）A．12個 B．18個 C．24個 D．32個【答案】C【分析】該題主要考查了圓周角定理，正多邊形與圓等知識點，解題的關(guān)鍵是理解題意．根據(jù)點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H是上的八等分點，共有24個鈍角，故有24個鈍角三角形．故選：C．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正多邊形與圓，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，進行計算，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，故選：B．二、填空題5．（2324九年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）有一個正邊形（為大于6的整數(shù)），繞某一點旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，請寫出一個可能的值．【答案】12（答案不唯一）【分析】本題考查正多邊形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，根據(jù)題意，得到最少邊數(shù)的正方形的每一條邊所對中心角為滿足題意，從而滿足題意的正多邊形邊數(shù)為的整數(shù)倍，即可得到答案．【詳解】解：正方形繞中心旋轉(zhuǎn)后與自身重合，由正多邊形性質(zhì)可知，當一個正邊形的邊數(shù)是的整數(shù)倍時，正邊形繞中心旋轉(zhuǎn)后與自身重合，正邊形滿足題意，故答案為：12（答案不唯一）．【答案】20【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．∵為⊙O的直徑，故答案為：20．【答案】【分析】本題考查了正六邊形面積，熟練掌握正六邊形性質(zhì)，正三角形面積公式，是解題的關(guān)鍵．故答案為：．三、解答題8．作圖題：(1)尺規(guī)作圖：如圖，已知線段．求作線段的垂直平分線l，交于點C；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）分別以、為圓心，以任意長為半徑，兩圓相交于兩點，連接此兩點即可．【詳解】（1）【點睛】本題考查了垂直平分線的作法，也考查了中心對稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握一般作圖的步驟是解題的關(guān)鍵．

(1)求的長度；(2)若G為的中點，連接，求的長度．【詳解】（1）解：連接，，如圖：（2）連接，，如圖：

則為的直徑，G為的中點，【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理及圓周角，熟練掌握基礎(chǔ)知識，借助適當?shù)妮o助線解決問題是解題的關(guān)鍵．(3)探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【答案】(1)見解析【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形，圓心角，弧，弦的關(guān)系以及圓周角定理等．（1）根據(jù)圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，圓周角定理進行解答；∵度數(shù)為，

(2)請在圖中作一個的圓心角，記為．(3)請在圖中作一個的圓周角，記為．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形求度數(shù)，圓周角定理，正確把握圓周