初中數(shù)學(xué)幾何題型訓(xùn)練合集引言初中幾何是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，它不僅考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，也是中考的重點(diǎn)內(nèi)容（占比約30%~40%）。幾何學(xué)習(xí)的核心是掌握基本概念、定理，熟悉常見(jiàn)題型，學(xué)會(huì)添加輔助線(xiàn)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明思路。本文將按照“三角形→四邊形→圓→綜合題型”的邏輯，梳理初中幾何的核心題型，結(jié)合解題思路、典型例題及變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生系統(tǒng)提升幾何解題能力。一、三角形板塊三角形是幾何的“基石”，重點(diǎn)考查全等、等腰、直角三角形的性質(zhì)與判定，以及中位線(xiàn)、角平分線(xiàn)等定理的應(yīng)用。（一）全等三角形的判定與性質(zhì)核心考點(diǎn)：SSS（邊邊邊）、SAS（邊角邊）、ASA（角邊角）、AAS（角角邊）、HL（斜邊直角邊，僅適用于直角三角形）。解題思路：1.找已知條件：明確題目給出的邊或角相等關(guān)系；2.找隱含條件：公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線(xiàn)、中線(xiàn)等隱含的相等關(guān)系；3.選判定定理：根據(jù)已知條件選擇合適的判定方法（如兩邊及夾角用SAS，三邊用SSS）。典型例題（解答題）：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AD=AE，求證：△BDC≌△CEB。解析：已知AB=AC，AD=AE，可得BD=AB-AD=AC-AE=CE；由AB=AC，得∠ABC=∠ACB（等腰三角形底角相等）；BC為公共邊，因此可用SAS判定全等。證明：∵AB=AC，AD=AE，∴BD=AB-AD=AC-AE=CE（等式性質(zhì)）?！逜B=AC，∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形底角相等）。在△BDC和△CEB中，\[\begin{cases}BD=CE\\∠ABC=∠ACB\\BC=CB（公共邊）\end{cases}\]∴△BDC≌△CEB（SAS）。變式訓(xùn)練（填空題）：如圖，△ABC≌△DEF，若∠A=50°，∠B=60°，則∠F=______。答案：70°解析：由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，∠C=180°-50°-60°=70°，故∠F=∠C=70°。（二）等腰三角形的分類(lèi)討論核心考點(diǎn)：等腰三角形的“兩腰相等”“兩底角相等”性質(zhì)，以及“三線(xiàn)合一”（頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高重合）。解題思路：等腰三角形的分類(lèi)討論是中考高頻考點(diǎn)，需注意以下兩種情況：1.腰與底不確定：如“已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為3和5，求周長(zhǎng)”，需分“3為腰”和“5為腰”兩種情況；2.頂角與底角不確定：如“已知等腰三角形的一個(gè)角為80°，求另兩個(gè)角”，需分“80°為頂角”和“80°為底角”兩種情況。典型例題（解答題）：已知等腰三角形的周長(zhǎng)為16，一邊長(zhǎng)為6，求另兩邊的長(zhǎng)。解析：若6為腰長(zhǎng)，則底邊長(zhǎng)為16-6×2=4，此時(shí)三邊為6、6、4，滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系（6+4>6）；若6為底邊長(zhǎng)，則腰長(zhǎng)為(16-6)/2=5，此時(shí)三邊為5、5、6，滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系（5+5>6）。答案：另兩邊長(zhǎng)為6和4或5和5。變式訓(xùn)練（選擇題）：等腰三角形的一個(gè)外角為100°，則其頂角為（）A.20°B.80°C.20°或80°D.以上都不對(duì)答案：C解析：外角100°對(duì)應(yīng)的內(nèi)角為80°。若80°為底角，則頂角為180°-80°×2=20°；若80°為頂角，則底角為(180°-80°)/2=50°，均符合條件。（三）直角三角形的勾股定理及逆定理核心考點(diǎn)：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（\(a^2+b^2=c^2\)）；逆定理：若三角形三邊滿(mǎn)足\(a^2+b^2=c^2\)，則該三角形為直角三角形。解題思路：1.直接應(yīng)用：已知直角三角形兩邊求第三邊；2.逆定理應(yīng)用：判斷三角形是否為直角三角形；3.結(jié)合其他定理：如30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半。典型例題（解答題）：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，求CD的長(zhǎng)。解析：先由勾股定理求AB：\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\)；再由三角形面積公式求CD：\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}AB×CD\)，即\(6×8=10×CD\)，解得\(CD=4.8\)。變式訓(xùn)練（填空題）：若三角形三邊為\(n+1\)、\(n+2\)、\(n+3\)（\(n>0\)），當(dāng)\(n=\_\_\_\)時(shí)，三角形為直角三角形。答案：2解析：由勾股定理得\((n+1)^2+(n+2)^2=(n+3)^2\)，展開(kāi)得\(n^2+2n+1+n^2+4n+4=n^2+6n+9\)，化簡(jiǎn)得\(n^2=4\)，解得\(n=2\)（\(n>0\)）。（四）三角形的中位線(xiàn)定理核心考點(diǎn)：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半（若D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則DE∥BC，\(DE=\frac{1}{2}BC\)）。解題思路：中位線(xiàn)定理常用于證明線(xiàn)段平行或線(xiàn)段長(zhǎng)度關(guān)系，解題時(shí)需先確定中位線(xiàn)（即兩邊的中點(diǎn)連線(xiàn)）。典型例題（解答題）：如圖，在△ABC中，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，求證：四邊形ADEF為平行四邊形。解析：∵D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線(xiàn)，故DE∥AC，\(DE=\frac{1}{2}AC\)；∵F為AC的中點(diǎn)，∴\(AF=\frac{1}{2}AC\)，因此DE=AF且DE∥AF；根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”，可得四邊形ADEF為平行四邊形。變式訓(xùn)練（填空題）：在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，若DE=5，則BC=______。答案：10解析：由中位線(xiàn)定理，\(BC=2DE=10\)。二、四邊形板塊四邊形是三角形的延伸，重點(diǎn)考查平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定，以及梯形的相關(guān)知識(shí)（部分教材淡化，但仍需掌握）。（一）平行四邊形的判定與性質(zhì)核心考點(diǎn)：性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、對(duì)角線(xiàn)互相平分；判定：兩組對(duì)邊分別平行（定義）、一組對(duì)邊平行且相等、兩組對(duì)角分別相等、對(duì)角線(xiàn)互相平分。解題思路：根據(jù)題目條件選擇合適的判定方法，如已知對(duì)角線(xiàn)互相平分，用“對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形為平行四邊形”；已知一組對(duì)邊平行且相等，用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”。典型例題（解答題）：如圖，在□ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，E、F為OA、OC的中點(diǎn)，求證：四邊形BEDF為平行四邊形。解析：∵□ABCD為平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD（對(duì)角線(xiàn)互相平分）；∵E、F為OA、OC的中點(diǎn)，∴OE=OA/2，OF=OC/2，因此OE=OF；∵OB=OD，OE=OF，∴四邊形BEDF的對(duì)角線(xiàn)互相平分；根據(jù)“對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形為平行四邊形”，可得四邊形BEDF為平行四邊形。變式訓(xùn)練（選擇題）：下列條件中，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A.AB∥CD，AD∥BCB.AB=CD，AD=BCC.AB∥CD，AD=BCD.AB∥CD，∠A=∠C答案：C解析：選項(xiàng)C可能為等腰梯形，故不能判定為平行四邊形。（二）矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定核心考點(diǎn)：矩形：有一個(gè)角為直角的平行四邊形（性質(zhì)：四個(gè)角都是直角、對(duì)角線(xiàn)相等）；菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形（性質(zhì)：四條邊相等、對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分一組對(duì)角）；正方形：既是矩形又是菱形（性質(zhì)：兼具矩形和菱形的所有性質(zhì)）。解題思路：1.矩形的判定：先證為平行四邊形，再證有一個(gè)直角或?qū)蔷€(xiàn)相等；2.菱形的判定：先證為平行四邊形，再證鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直；3.正方形的判定：先證為矩形，再證鄰邊相等；或先證為菱形，再證有一個(gè)直角。典型例題（解答題）：如圖，在□ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，求證：□ABCD為菱形。解析：∵□ABCD為平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD（對(duì)角線(xiàn)互相平分）；∵AC⊥BD，∴△AOB≌△COB（SAS，OA=OC，OB=OB，∠AOB=∠COB=90°）；∴AB=BC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）；根據(jù)“一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形”，可得□ABCD為菱形。變式訓(xùn)練（填空題）：矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為10，一邊長(zhǎng)為6，則另一邊長(zhǎng)為_(kāi)_____。答案：8解析：矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分，故另一邊長(zhǎng)為\(\sqrt{10^2-6^2}=8\)。三、圓板塊圓是初中幾何的難點(diǎn)，重點(diǎn)考查垂徑定理、圓周角定理、切線(xiàn)的性質(zhì)與判定，以及弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算。（一）垂徑定理核心考點(diǎn)：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。础按怪逼椒窒?，平分弧”）。解題思路：垂徑定理常用于求弦長(zhǎng)、半徑或弦心距，解題時(shí)需構(gòu)造直角三角形（半徑、弦心距、弦的一半組成直角三角形）。典型例題（解答題）：如圖，在⊙O中，弦AB=8，圓心O到AB的距離為3，求⊙O的半徑。解析：過(guò)O作OC⊥AB于C，則OC=3，AC=AB/2=4（垂徑定理）；在Rt△AOC中，\(OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)；故⊙O的半徑為5。變式訓(xùn)練（填空題）：⊙O的半徑為5，弦AB=6，則圓心O到AB的距離為_(kāi)_____。答案：4解析：弦心距為\(\sqrt{5^2-3^2}=4\)。（二）圓周角定理核心考點(diǎn)：圓周角等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半；同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓周角為直角（90°）。解題思路：圓周角定理常用于求角度，解題時(shí)需明確“弧”與“圓周角”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如直徑所對(duì)的圓周角為直角。典型例題（解答題）：如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BAC=30°，求∠ABC的度數(shù)。解析：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角為直角）；在Rt△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-30°=60°。變式訓(xùn)練（選擇題）：如圖，在⊙O中，弧AB=弧CD，∠AOB=60°，則∠COD=（）A.30°B.60°C.90°D.120°答案：B解析：同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等，故∠COD=∠AOB=60°。（三）切線(xiàn)的性質(zhì)與判定核心考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)：切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（即“切線(xiàn)⊥半徑”）；切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)（即“連半徑，證垂直”或“作垂直，證半徑”）。解題思路：1.切線(xiàn)的性質(zhì)：已知切線(xiàn)，必連半徑，得垂直；2.切線(xiàn)的判定：若已知直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直；若未知公共點(diǎn)，作垂直，證半徑等于半徑。典型例題（解答題）：如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)C作CD⊥AB于D，延長(zhǎng)CD至E，使CE=CB，求證：BE為⊙O的切線(xiàn)。解析：連接OC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB（等腰三角形底角相等）；∵CE=CB，∴∠E=∠CBE（等腰三角形底角相等）；∵CD⊥AB，∴∠OBC+∠BCD=90°（直角三角形兩銳角互余）；∵∠BCD=∠ECB（公共角），∴∠E+∠OCB=90°；∵∠OCB=∠OBC，∴∠E+∠OBC=90°，即∠OBE=90°；∵OB為⊙O的半徑，且BE⊥OB，∴BE為⊙O的切線(xiàn)（切線(xiàn)的判定定理）。變式訓(xùn)練（填空題）：如圖，PA切⊙O于A，OP=5，OA=3，則PA=______。答案：4解析：PA為切線(xiàn)，故OA⊥PA，在Rt△OPA中，\(PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\)。四、綜合題型綜合題型是中考的難點(diǎn)，主要考查幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，如動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、最值問(wèn)題、幾何與代數(shù)結(jié)合問(wèn)題。（一）幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題核心考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)帶來(lái)的位置變化（如點(diǎn)在線(xiàn)段、射線(xiàn)或直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)）、圖形變化（如三角形形狀變化、四邊形形狀變化）。解題思路：1.確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和范圍；2.用變量（如t）表示動(dòng)點(diǎn)的位置；3.根據(jù)題意建立方程或函數(shù)關(guān)系；4.求解方程或分析函數(shù)性質(zhì)。典型例題（解答題）：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C運(yùn)動(dòng)，速度為1/s，點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B運(yùn)動(dòng)，速度為2/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？解析：運(yùn)動(dòng)t秒后，AP=t，故PC=AC-AP=6-t；CQ=2t；△PCQ為等腰三角形，分三種情況：1.PC=CQ：6-t=2t，解得t=2；2.PC=PQ：此時(shí)△PCQ為等腰直角三角形（∠C=90°），故PC=CQ，即t=2（與情況1重復(fù)）；3.CQ=PQ：此時(shí)△PCQ為等腰直角三角形，故CQ=PC，即t=2（與情況1重復(fù)）；綜上，t=2時(shí)，△PCQ為等腰三角形。變式訓(xùn)練（填空題）：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，則PD+PE=______。答案：4.8解析：連接AP，由\(S_{\triangleABC}=S_{\triangleAPB}+S_{\triangleAPC}\)，得\(\frac{1}{2}×6×4=\frac{1}{2}×5×PD+\frac{1}{2}×5×PE\)，解得PD+PE=4.8（定值）。（二）幾何最值問(wèn)題核心考點(diǎn)：將軍飲馬問(wèn)題（最短路徑問(wèn)題）、垂線(xiàn)段最短、三角形三邊關(guān)系。解題思路：1.將軍飲馬問(wèn)題：作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段最短（如求PA+PB的最小值，作A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，則PA+PB=PA'+PB≥A'B）；2.垂線(xiàn)段最短：求點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離，作垂線(xiàn)；3.三角形三邊關(guān)系：求PA-PB的最大值，延長(zhǎng)AB至P，使PA-PB=AB。典型例題（解答題）：如圖，在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小，其中A、B在直線(xiàn)l的同側(cè)。解析：作A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'；連接A'B，交直線(xiàn)l于P，則P即為所求；理由：PA=PA'，故PA+PB=PA'+PB=A'B（兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短）。變式訓(xùn)練（填空題）：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)，直線(xiàn)l：y=x，求PA+PB的最小值（P在l上）。答案：\(2\sqrt{5}\)解析：作A關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'(2,1