高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省日照市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月期中校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.4 C.2 D.【答案】C【解析】,故選：C2.在等差數(shù)列中，若，則公差（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，因?yàn)?，所以，求?故選：B3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由，可得，所以，則.故選：B.4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.31 B.45 C.57 D.63【答案】C【解析】由可得，故是以2為公比，首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，所以，故選：C5.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C6.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……第層有個(gè)球，則數(shù)列的前30項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)已知條件有，當(dāng)時(shí)，，以上各式累加得：，又，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合上式，所以，所以.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以.故選：A7.已知過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由得，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線切于點(diǎn)，則切線斜率為，所以切線方程為因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，整理得，因?yàn)檫^點(diǎn)的切線有兩條，所以方程有兩不同實(shí)根，因此，解得或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B8.已知函數(shù)，若對(duì)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，，，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而不等式為，因此，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，因此，于是，解得，所以實(shí)數(shù)取值范圍是.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.B.若公差，則為遞增數(shù)列C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A,由于數(shù)列為等比數(shù)列，當(dāng)公比不為1時(shí)，則，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，則，故，所以為遞增數(shù)列，B正確，對(duì)于C,可知公差為2，首項(xiàng)為1，所以，C正確，對(duì)于D,若，則,D正確，故選：BCD10.已知函數(shù)，則（

）A.為奇函數(shù)B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.的極小值為3D.若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍為【答案】AD【解析】對(duì)于A，，故，又其定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，所以在上，，單調(diào)遞減；在和上，，單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B知，在處取極小值，極小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方程恰有3個(gè)不等的實(shí)根，即恰有3個(gè)解，且在和上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減，所以，即，故D正確.故選：AD11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，總存在，使得，則稱為“回歸數(shù)列”.以下結(jié)論中正確的是（）A.若，則為“回歸數(shù)列”B.若為等比數(shù)列，則為“回歸數(shù)列”C.設(shè)為等差數(shù)列，當(dāng)，公差時(shí)，若為“回歸數(shù)列”，則D.對(duì)任意的等差數(shù)列,總存在兩個(gè)“回歸數(shù)列”和,使得【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，可得，所以必存在，使得，故為“回歸數(shù)列”，所以A正確；對(duì)于B，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，當(dāng)時(shí)，，顯然對(duì)任意的，，故不是“回歸數(shù)列”，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，假設(shè)總存在，則，由于對(duì)任意的上式恒成立，不妨取，可得，存在，再取，可得，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，對(duì)任意的，由可得總存在滿足成立，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)等差數(shù)列，總存在兩個(gè)回歸數(shù)列，顯然和是等差數(shù)列，使得，證明如下：，因?yàn)樗詳?shù)列{}前n項(xiàng)和，可得，時(shí)，由為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以存在正整數(shù)，使得，所以是“回歸數(shù)列”，因?yàn)樗詳?shù)列前n項(xiàng)和，由于，則存在正整數(shù)，使得，所以是“回歸數(shù)列”，所以D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在處的切線方程為______．【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t，又，所以，所以曲線在處的切線方程為．故答案為：13.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_______.【答案】【解析】由可得，故答案為：14.已知，若恒成立，則的最大值為__________.【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)于恒成立，所以對(duì)于，恒成立，設(shè)，所以.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，此時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以.所以,所以.設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.故，綜上可得的最大值為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）∵，∴，兩式相減得：，即，∴，∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以0為公差的等差數(shù)列，∴，∴.當(dāng)時(shí)，滿足上式，∴.（2）由（1）知，∴，∴，又即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.∴.16.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）由題意得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，在上恒成立．即在上恒成立．令，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，．所以，，解得，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為．17.設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列.已知是和的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列和數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)任意的,不等式恒成立，求的取值范圍.解：（1）由可得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)的公差為，的公比為，由于是和的等比中項(xiàng)，所以，由題意可得，解得，所以，即（2）由（1）可得，所以，，相減可得，而，于是為單調(diào)遞增數(shù)列，即，對(duì)任意的，不等式恒成立，得，解得或，故的取值范圍為或.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上最值；（2）記.（i）證明：曲線為中心對(duì)稱圖形；（ii）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，則，所以，令，解得，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以在區(qū)間上的最大值為2，最小值為（2）（i）令得，故的定義域?yàn)椋O(shè)是圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)位，因?yàn)樵趫D象上，所以，，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，（ii）因?yàn)椋?是的一個(gè)零點(diǎn)，要使有三個(gè)零點(diǎn)，只需要在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，，若，即，此時(shí)，所以在單調(diào)遞增，由可得在沒有零點(diǎn)，不符合題意，舍去，若，即，，又因?yàn)?，所以存在，使得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，符合題意，綜上：19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記方程的根為，證明：.解：（1）的定義域?yàn)?，，令，則，當(dāng)在單調(diào)遞減，當(dāng)x>-1,f'x>0,fx故的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）設(shè)，則，所以關(guān)于對(duì)稱，不妨研究時(shí)的圖象性質(zhì).，令，顯然時(shí)