高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，若，則（）A. B.0 C.1 D.或0【答案】A【解析】由可知或，解得或；又因?yàn)闀r(shí)，集合中的元素不滿足互異性，舍去；所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)，，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B.0 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋郧?，解得故選：C3.已知向量，，若，則（）A.0 B. C.1 D.2【答案】C【解析】由得，得，故選：C4.蒙古包是我國(guó)蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．如圖所示的蒙古包由下面圓柱部分和上面圓錐部分組合而成，用毛氈覆蓋其表面（底面除外）．其中圓柱的高為，底面半徑為，圓錐的頂點(diǎn)到底面的距離是，則圖中蒙古包所用毛氈的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得：圓錐的高為3m，底面半徑為4m，所以圓錐的母線長(zhǎng)為5m，所以圓錐的側(cè)面積為，而圓柱的側(cè)面積為，所以蒙古包所用毛氈的面積為，故選：D5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?故選：B.6.設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?,所以；因?yàn)椋忠驗(yàn)?；所?故選：A7.已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，焦距為，圓：與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，其中點(diǎn)，分別在第一、四象限，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于為等邊三角形，所以,設(shè)，則，代入，解得，故，將代入橢圓方程得，故，故，化簡(jiǎn)可得，故,解得，由于，故，故，故選：C8.已知函數(shù)存在最小值，則的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，則有；當(dāng)時(shí)，，若，即時(shí)，，若，在上為增函數(shù)，此時(shí)，若存在最小值，必有或，解得或，則的范圍是.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和，則（）A. B.C. D.為公差為的等差數(shù)列【答案】AC【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列，前項(xiàng)和，所以，故A正確；，則，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，所以為公差為1的等差數(shù)列，故錯(cuò)誤；故選：10.已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.上單調(diào)遞增B.對(duì)任意，都有C.的圖象可以由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.函數(shù)在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】因?yàn)椋瑢?duì)于A，令，則，即的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為，則在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于C，圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于B，由于，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，則所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC．11.如圖，已知曲線的方程為，是曲線上任意一點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍是B.直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)C.已知，則D.設(shè)，是曲線上兩點(diǎn)，若，，則【答案】CD【解析】對(duì)于A，易知，即，解得，即A正確；對(duì)于B，令函數(shù)，則，令，可得，因此當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；所以在處取得極大值，因此可得時(shí)，，即可得；易知，所以直線與曲線在上有兩個(gè)交點(diǎn)，在上有一個(gè)交點(diǎn)，共三個(gè)交點(diǎn)，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，令，可得，令，則或；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，因此可得，因此C正確；對(duì)于D，由，，即異號(hào)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，即，解得；又，所以；此時(shí)，即此時(shí)當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，可得，；所以綜上可知，，即D正確.故選：ABD．三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.若曲線處的切線平行于直線的坐標(biāo)是_______.【答案】【解析】因?yàn)椋O(shè)切點(diǎn)，則又13.遞增等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則______；【答案】【解析】由題設(shè)且公比，則，整理得，所以，而.14.如圖，幾何體，其中，均為正三棱錐，，點(diǎn)，分別為和棱的中點(diǎn)，且?guī)缀误w各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，若，則該幾何體的體積為______．【答案】【解析】由題意，平面，幾何體的外接球直徑為，不妨設(shè)，設(shè)中點(diǎn)為，即為外接球的球心，連接，則，設(shè)，，則，，，，在中，，得，在中，，同理，，化簡(jiǎn)得，代入，可得，故，幾何體的體積為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)?，由余弦定理可得，因，所以，由，則，由正弦定理得則.（２）因，.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，垂足為．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：連接交于，連接，在中，，分別為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面平面（2）證明：側(cè)棱底面，底面，又因?yàn)榈酌媸钦叫危?，因?yàn)椋矫?，平面，又平面，，是的中點(diǎn)，又，平面，平面，因?yàn)槠矫?，，又，，平面，平?（3）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得：，令，得，所以平面的一個(gè)法向量，顯然，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面與平面的夾角，，即平面與平面的夾角的余弦值17.已知橢圓：過點(diǎn)，且離心率．（1）橢圓的方程；（2）過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)為．設(shè)原點(diǎn)為，射線OM交橢圓于點(diǎn)，已知四邊形AOBD為平行四邊形，求直線的方程．解：（1）橢圓過點(diǎn)，，又，，解得：，橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，則.，四邊形為平行四邊形.設(shè)，則，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以得，解得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不成立所以，直線的方程為或18.若函數(shù)滿足：對(duì)于任意，，都有，則稱具有性質(zhì)．（1）設(shè)，，分別判斷函數(shù)，是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）（?。┮阎婧瘮?shù)是上的增函數(shù)，證明：具有性質(zhì)；（ⅱ）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，求的范圍．解：（1）不具有性質(zhì)，理由如下：取，則；具有性質(zhì)，理由如下：對(duì)于任意，，所以具有性質(zhì).（2）（ⅰ）是上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，為奇函數(shù)，，，具有性質(zhì)；（ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)，，因?yàn)?，又定義域?yàn)?，所以為奇函?shù)，，即為上的增函數(shù)，在上恒成立，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，，令，，令，，因?yàn)闉榈脑龊瘮?shù)，，當(dāng)時(shí)，，令，，.綜上：19.已知數(shù)列具有性質(zhì)：對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于．（1）分別判斷數(shù)集和是否具有性質(zhì)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，，，不可能成等差數(shù)列；（3）證明：當(dāng)時(shí)，，，，，是等比數(shù)列．（1）解：集合中且