高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省臨沂市蘭陵縣部分學校2024-2025學年高二下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，若，則（）A. B.1 C.3 D.4【答案】A【解析】由，則，所以，解得.故選：A.2.若，則（）A.5 B.12 C.24 D.36【答案】C【解析】因，則或，解得或，因，則，則.故選：C3.設(shè)離散型隨機變量X的分布列為：X0123P0.20.4a0.3若隨機變量，則等于（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【答案】A【解析】由表可得，故，故選：A4.有3名女生和2名男生排成一排，男生不能相鄰的不同排法有（）A.36種 B.72種 C.108種 D.144種【答案】B【解析】先排女生，共有中方法，接下來把2名男生插入到兩兩女生之間的位置連同頭尾的4個空隙中，共有，故總的排法有種，故選：B5已知隨機變量服從二項分布.若，，則（）A.72 B.36 C.24 D.18【答案】D【解析】由于，故，則，故，故選：D6.已知過點的直線是曲線與的公共切線，則實數(shù)的值為（）A.或3 B.1或 C. D.3【答案】A【解析】設(shè)曲線的切點坐標為，因，則切線斜率為，故切線方程為，將點代入切線方程中得，即，若，則，故，則，若，則，，，則，即，令，則，則得；得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，等號成立時，故，故切線方程為，聯(lián)立，得，則，得或.故選：A7.已知函數(shù)的極大值為4，則（）A B. C.2 D.3【答案】D【解析】∵，∴令，得或當時，，在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，當時，，上滿足，單調(diào)遞增，在上滿足，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，解得，當時，在，上滿足，單調(diào)遞增，在上滿足，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，不符合題意，綜上所述，.故選：D.8.已知在的二項展開式中，第項為常數(shù)項，若在展開式中任取項，其中無理項的個數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在的二項展開式中，第項為常數(shù)項，即為常數(shù)項，由題意可得，解得，所以，展開式通項為，由可得，即展開式中有理項的項數(shù)為，無理項的項數(shù)為，所以，隨機變量的可能取值有、、、，，，，，因此，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖，則下列說法正確的是（）A.在處取得極小值 B.在上單調(diào)遞增C.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 D.在處取得極大值【答案】AC【解析】由的圖象可知：當時，，當時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，對于A,是的極小值點，故A正確，對于B，在上單調(diào)遞減，B錯誤，對于C,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,C正確，對于D,在處取得極小值，D錯誤，故選：AC10.已知某地區(qū)進行體育達標測試，統(tǒng)計得到高三女生坐位體前屈的成績（單位：cm）服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該地區(qū)高三女生中隨機抽取5人，記在區(qū)間的人數(shù)為X，則正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，由，得，A錯誤；對于B，,故B正確，對于C,由，，因此，C正確；對于D，，D錯誤.故選：BC11.定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.點是的對稱中心B.過可以作兩條直線與圖象相切C.在區(qū)間（）上有最大值，則m的取值范圍是D.在上單調(diào)遞減，則【答案】ABD【解析】對于A,，令，，故是的對稱中心，故A正確，對于B，設(shè)切點為，則切線方程為，將代入可得，解得或，故過可以作兩條直線與圖象相切，B正確，對于C,令，則或，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，要使在區(qū)間（）上有最大值，故，故C錯誤，對于D,在上恒成立，故，解得，故D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若的二項展開式中的系數(shù)為，則__________.【答案】【解析】，∵的展開式通項為，令得；令得；∴中的系數(shù)為.所以，即，解得.故答案為：13.長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學校學生中大約有的學生，每天玩手機超過1小時，這些人近視率約為，其余學生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學生，該生近視的概率大約是__________.【答案】【解析】設(shè)事件“學生玩手機超過1小時”，事件“學生近視”，事件為的對立事件，由題意可得，，，則，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，，若，則的最小值為__________.【答案】【解析】由可得，由可得，故，因此，記，則，當在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當時，取最小值，因此的最小值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.現(xiàn)有甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽（三局兩勝制），其中每局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽都是相互獨立的.（1）求甲在比賽中獲勝的概率；（2）求比賽需打兩局的概率；（3）已知甲在第一局比賽中獲勝，求甲在比賽中獲勝的概率.解：（1）若甲在比賽中獲勝，則甲可以前兩局獲勝，也可以打三局，最后一句甲勝前兩局甲贏一局，故甲在比賽中獲勝的概率為.（2）比賽需打兩局，則這兩局甲全贏或乙全贏，故比賽需打兩局的概率為.（3）記事件甲在第一局中獲勝，事件甲贏得比賽，則，故.16.已知（），若所有項的二項式系數(shù)和等于1024.（1）求；（2）求展開式中系數(shù)最大的項.解：（1）由題意可知，故，令，則，令，則，令，則，兩式相加可得（2）二項式展開式的通項公式，令展開式中系數(shù)最大的項是第項，則，整理得，解得，而，因此，所以展開式中系數(shù)最大項.17.有一種摸獎游戲，在一個口袋中有紅球4個，黑球2個，小球除顏色外沒有任何區(qū)別.規(guī)定：摸到紅球記1分，摸到黑球記分.抽獎人從中一次摸1個球，摸3個球為一次抽獎，總分記為X，若，則獲獎.（1）若每次取出后不放回，求獲獎的概率；（2）若每次取出后放回，求的分布列和數(shù)學期望.解：（1）若，則顧客在3次摸球中，至少要摸到2個紅球，故（2）每次取出后放回，則每一次摸球中，摸到紅球的概率為，摸到黑球的概率為，可取，的分布列為31-1-3數(shù)學期望18.已知函數(shù)在處有極值.（1）求a的值；（2）求的極值；（3）若函數(shù)恰有3個零點，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1），由于在處取極值，故，解得，當時，，當和時，當，，故滿足在處取極值，因此（2）由（1）知：在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增，故（3）由于當時，,，時，，時，，當時，，結(jié)合（1）（2）可知：有3個實數(shù)根時，故，因此恰有3個零點時，則.19.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知在上的最小值為2，求k的值；（3）若恒成立，求k的取值范圍.解：（1）由題意知的定義域為，且，當時，時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，當時，，故在上單調(diào)遞減，綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）知，當，則在上單調(diào)遞減，所以，則，矛盾舍去