高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省聊城市、濟寧市鄒城市2024-2025學年高二上學期11月期中教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1.已知空間兩點，則兩點間的距離是（）A.2 B.3 C.4 D.9【答案】B【解析】由題意，故選：B．2.若直線經(jīng)過點，則直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，故選：D．3.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A選項，，共面；B選項，，共面；C選項，若存在，使得，則共面，與已知矛盾，所以假設錯，不共面．D選項，，共面．故選：C．4.已知直線與圓相交于兩點，則（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，則弦的長，故選：A5.已知空間三點，則點到直線距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因，所以，，則，，所以點到直線的距離.故選：D.6.過兩點的直線的傾斜角為，則（）A. B. C.或 D.2【答案】A【解析】由題意可得，，化簡可得，解得或，當時，，兩點重合，故舍去.所以.故選：A.7.在正三棱柱中，為棱的中點，與交于點，若，則與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，取中點，連接，則，，所以是與所成的角或其補角，正棱柱中所有側(cè)棱都與底面上的任意直線垂直，設，則，所以，，等邊三角形中，，，，在等腰中，，,中，,所以與所成角的余弦值是，故選：B．8.若過直線上一點作圓的兩條切線，切點為，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的圓心，半徑四邊形中，，則，整理得，又，PC最小值即為圓心到直線的距離，則，故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.設直線的交點為，則（）A.恒過定點0,2B.C.的最大值為D.點到直線的距離的最大值為5【答案】ABD【解析】對于選項A，因為直線，即，令，解得，所以恒過定點0,2，故A正確；對于選項B，因為直線滿足，所以，故B正確；對于選項C，聯(lián)立兩直線方程，解得，所以，則，令，則，所以，且在上單調(diào)遞增，當時，，所以，故C錯誤；對于選項D，由A可知，直線恒過定點0,2，則點到直線的距離的最大值即為點到定點0,2的距離，即，故D正確；故選：ABD.10.直線的方程為，則直線的傾斜角的可能取值？（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】當時，直線的方程為，直線的傾斜角為，當時，直線的方程可化為，則直線的斜率，則或，則直線的傾斜角的取值范圍為，綜上，直線的傾斜角的取值范圍為.故直線的傾斜角可能取值為，，.故選：ABC.11.已知正方體的棱長為2，點滿足，其中，則（）A.存在唯一點，使得平面B.存在唯一點，使得平面C.當時，點到平面的距離的最小值為D.當時，三棱錐的體積的最小值為【答案】ACD【解析】以為原點，所在方向分別為軸、軸、軸，建立空間坐標系，如圖所示：則對于A，因為，所以，，所以，又因為，，設平面的法向量為，則，所以，取，則，又因為平面，所以，所以，所以，唯一確定，故正確；對于B，因為，要使平面，則，所以，所以，故點不唯一，故錯誤；對于C，因為，所以三點共線，因為,設點到平面的距離為，則有，所以，設到的距離為，則，當與重合時，，所以，故C正確；對于D，因為，所以點在以為圓心，為半徑的圓弧上，設到的距離為，因為，當點位于圓弧中點時，.所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.若實數(shù)滿足方程，則的最小值為___.【答案】【解析】由實數(shù)滿足方程，可得，則，則的最小值為.13.曲線圍成的圖形的面積是___________.【答案】【解析】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可，當，時，曲線方程為，表示的圖形占整個圖形的，而表示的圖形為一個腰長為1的等腰直角三角形和半徑為的一個半圓，∴，故圍成的圖形的面積為：.14.已知正四棱柱為對角線的中點，過點的直線與長方體表面交于兩點，為長方體表面上的動點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】為的中點，即為正四棱柱的中心，由對稱性，為的中點，則，，，，所以，所以．四?解答題：本題共5小題，共77分；解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，長方體中，，設.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接，設，連接，如圖：則，且，所以四邊形平行四邊形，所以平面平面故平面.（2）解：以為坐標原點，方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以，，.設平面的法向量n=x,y,z則，即，令，解得，，，設平面的一個法向量，則，即令，解得，.設平面與平面的夾角為，故平面與平面夾角的余弦值為.16.已知ABC的頂點，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．（1）求頂點C坐標；（2）求直線BC的方程．解：（1）設，∵AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為．∴，解得．∴．（2）設，則，解得．∴．∴．∴直線BC的方程為，即為．17.已知直線經(jīng)過直線的交點，且A3,2?兩點到直線的距離相等.（1）求直線的一般式方程；（2）若點在直線的同側(cè)，且為直線上一個動點，求的最小值.解：（1）由，解得，所以交點，①當所求直線與直線平行時，直線的斜率為，則所求直線的方程為，即；②當所求直線過的中點時，線段的中點坐標為1,0，則所求直線垂直于軸，故所求直線方程為，即；綜上所述，所求直線方程為或.（2）因為點在直線的同側(cè)，所以直線的方程為，設點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即點，因為，當三點共線時等號取到，故的最小值為.18.如圖，在矩形中，，沿將折起，點到達點的位置，使點在平面的射影落在邊上.（1）證明：；（2）求點到平面的距離；（3）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：由點在平面的射影落在邊上可得：平面，又平面，所以，又，且平面平面，所以平面，又平面，故.（2）解：作，垂足為，由已知得：且平面平面，從而平面，且平面，所以平面平面，又平面，平面平面，所以平面，即即為點到平面的距離，在直角三角形中，，所以，故點到平面的距離為.（3）解：在直角三角形中可得，，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，以過點且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以，從而，易知，設平面的一個法向量為n=x,y,z所以，解得：，又直線的方向向量為，因此可得故直線與平面所成角的正弦值為.19.在平面直角坐標系中，已知圓經(jīng)過原點和點，并且圓心在軸上.（1）求圓的標準方程；（2）設為圓的動弦，且不經(jīng)過點，記分別為弦的斜率.（i）若，求面積的最大值；（ii）若，請判斷動弦是否過定點？若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.解：（1）設圓的標準方程為，由已知可得：解得：，所以