高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽(yáng)市郊聯(lián)體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷第I卷（共58分）一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.如果直線的一個(gè)方向向量是，則其傾斜角等于（）A.30° B.60° C. D.【答案】A【解析】直線的一個(gè)方向向量是，故斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，故.故選：A.2.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，∴，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：C.3.如圖，在平行六面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，則故答案為：A.4.點(diǎn)可以向圓引兩條切線，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得，又過點(diǎn)向圓引兩條切線，所以點(diǎn)在圓外，有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.5.已知向量，，，若向量與向量，共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】向量與向量，共面，不共線，則，即，故，解得.故選：C.6.已知橢圓，過點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，若恰好是的中點(diǎn)，則橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，兩式作差得，即，即①，因?yàn)辄c(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)橹本€的斜率為，將它們代入①式得，解得，又，則，所以橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為．故選：B．7.已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，設(shè)，∵，∴，∴，即，∴，∵點(diǎn)在圓上，∴表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，又，，∴，即，得，因此的取值范圍為.故選：A.8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；③曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.① B.②③ C.③ D.①②③【答案】C【解析】①：由于曲線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；由圖形的對(duì)稱性可知，沒有其他的整點(diǎn)在曲線上，故曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)：，所以①不正確；②：由①知長(zhǎng)方形的面積為2，三角形的面積為1，所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故②錯(cuò)誤；③：由圖知，到原點(diǎn)距離的最大值是在時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以③正確.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知直線和圓以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線恒過點(diǎn)B.直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)C.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D.當(dāng)時(shí)，圓上恰有4點(diǎn)到直線的距離為1【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由，則，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由，所以在圓內(nèi)，直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)故B正確；對(duì)于C，由知圓心，半徑為，當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，又，最短弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，直線的方程為，圓心到直線的距離，圓上恰有4點(diǎn)到直線的距離為1，故D正確.故選：ABD.10.已知橢圓，分別為橢圓左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)使得B.的最大值為5C.若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（均不同于點(diǎn)），則直線和直線的斜率之積為D.△內(nèi)切圓面積的最大值為【答案】BD【解析】如圖，，則.A：，設(shè)，則，即，，所以不成立，故A錯(cuò)誤；B：由橢圓的定義知，，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為5，故B正確；C：設(shè)Ax1,y1得，兩式相減得，即，又，所以，故C錯(cuò)誤；D：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，要使內(nèi)切圓的面積取到最大值，需取到最大值，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上或下頂點(diǎn)時(shí)，取到最大值，此時(shí)，有，解得，所以內(nèi)切圓的面積為，故D正確.故選：BD11.如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以下不正確的是（）A.當(dāng)在平面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，D1P與A1C1所成角的取值范圍是C.使直線與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若F是A1B1的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足PF平面B1CD1時(shí)，PF長(zhǎng)度的最小值是【答案】CD【解析】A選項(xiàng)，底面正方形的面積不變，到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，故四棱錐的體積不變，A選項(xiàng)正確:B選項(xiàng)，與所成角即與所成，當(dāng)在端點(diǎn)時(shí)，所成角最小，為，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，所成角最大為，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由于在正方體表面，的軌跡為對(duì)角線，，以及以為圓心2為半徑的圓弧如圖，故的軌跡長(zhǎng)度為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，所在的平面為如圖所示正六邊形，該正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)分別為對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，此時(shí)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取最小值，此時(shí)，為等腰三角形，故，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：CD.第Ⅱ卷（共92分）三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．）12.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則______．【答案】【解析】設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，則，得，代入方程，得，整理得，即.13.過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的一般式方程為________．【答案】【解析】由題意，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為，則，的中點(diǎn)為，因?yàn)槭菆AC的兩條切線，切點(diǎn)分別為，所以，則共圓，所以過點(diǎn)的圓的方程為，其中為該兩圓的公共弦，由兩圓的方程相減，得直線的方程，即.14.已知橢圓的右焦點(diǎn)是，過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)與直線垂直的射線交橢圓于點(diǎn)，，且三點(diǎn)共線（其中是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為.由于三點(diǎn)共線，故由橢圓的對(duì)稱性知，而，故四邊形是平行四邊形.又因?yàn)?，故四邊形是矩?由于四邊形是矩形，故，.從而可設(shè)，此時(shí)，解得，所以，所認(rèn)，最后由，得到，即，故.從而橢圓的離心率.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知△中，頂點(diǎn)，邊上的高線所在直線與直線平行，的平分線所在直線的方程為．（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求邊所在直線的一般式方程．解：（1）由題意可設(shè)邊所在的直線方程為，則將代入，解得，則邊所在直線的方程為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以．直線的方程即為直線的方程.因?yàn)椋?，即為，則直線的一般式方程為．16.如圖所示，直三棱柱中，，點(diǎn)在線段上，．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：連接，∵平面，平面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，∵四邊形為正方形，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,∴，，，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，則為平面的一個(gè)法向量，則，設(shè)二面角的平面角為，則，因?yàn)椋?，所以二面角的正弦值為?7.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，且經(jīng)過點(diǎn)和.（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程；（3）過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.解：（1）因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在直線上，因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，所以圓心在的垂直平分線上，因?yàn)?，中點(diǎn)為，所以的垂直平分線方程為，即，則，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓上，又，則切線斜率為，所以切線方程為，即為，所以過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為.（3）由題意可知直線斜率一定存在，故可設(shè)直線，設(shè)，則，則①，故，，因?yàn)?，則，解得或（舍去），所以直線的方程為.18.如圖，已知四棱錐中，，側(cè)面為邊長(zhǎng)等于4的正三角形，底面為菱形，為的中點(diǎn)，側(cè)面與底面所成的二面角為．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若直線與面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng)度．解：（1）連接，如圖，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2正三角形，所以，而平面，則平面，又平面，有，故是二面角的平面角，得，因平面，于是得平面平面，過作的延長(zhǎng)線于，平面平面，平面，故平面，而，則，所以點(diǎn)到平面的距離是3．（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，設(shè)與面的所成角為，則，解得，則，線段的長(zhǎng)度為．19.已知圓的圓心為，點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若這4個(gè)點(diǎn)均在軌跡上，直線過點(diǎn)