高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省撫順市六校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】．故選：A.2.已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】由題可得，猜測(cè)是周期為3的數(shù)列，下證周期為3.因?yàn)?，?故是周期數(shù)列且周期為3.故.故選：A.3.某公司近幾年投入A款產(chǎn)品的年研發(fā)費(fèi)用與年利潤(rùn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：年研發(fā)費(fèi)用546342年利潤(rùn)1210139115若與的回歸直線方程為，則（）A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4【答案】D【解析】由表可知，，則樣本中心點(diǎn)為，代入回歸直線方程得：，解得．故選：D.4.質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：，時(shí)間單位：），則質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是其在時(shí)的瞬時(shí)速度的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，可得，則，，所以，即質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是其在時(shí)的瞬時(shí)速度的.故選：A.5.在公差大于的等差數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公差為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，得，所以，即，又，解得.故選：D.6.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則（）247A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由離散型隨機(jī)變量性質(zhì)可得，解得，則，，所以，．故選：A.7.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，，且和的等差中項(xiàng)為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為．若，則，不符合題意，所以，解得．又因?yàn)楹偷牡炔钪许?xiàng)為，所以，則，解得．所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為．故選：B.8.從、、、、、中任選個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，若這個(gè)四位數(shù)是偶數(shù)，則個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若個(gè)位上的數(shù)字為，則這樣的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為；若個(gè)位數(shù)字不是，則個(gè)位數(shù)字為或，首位有種選擇，這樣的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.所以，四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)；下面考慮這個(gè)四位數(shù)既是偶數(shù)，又滿足個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況：若個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字都是偶數(shù)，則首位從、、中選擇一個(gè)數(shù)，有種選擇，再將、、排在個(gè)位、十位和百位上，這樣的四位偶數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)；若個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字中有個(gè)奇數(shù)、個(gè)偶數(shù)，則十位、百位上的數(shù)字為奇數(shù)，若首位為奇數(shù)，則三個(gè)奇數(shù)分別排首位、百位、十位，則個(gè)位排偶數(shù)，這樣的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)；若首位為偶數(shù)，則首位從、中選擇一個(gè)，個(gè)位從以及剩余的一個(gè)偶數(shù)中選擇，十位、百位從個(gè)奇數(shù)中選擇個(gè)排列即可，這樣的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).綜上所述，個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).故所求概率.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列求導(dǎo)運(yùn)算中，不正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D錯(cuò).故選：ABD.10.若，隨機(jī)變量，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】AD【解析】因?yàn)?，，所以，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，則，故B錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，解得或，則或，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，故D正確．故選：AD.11.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.C.數(shù)列是等比數(shù)列D.若恒成立，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題可知，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，A正確；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，，所以，則，故不是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，由題可知易知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增且；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，且；若恒成立，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.綜上，的取值范圍為，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，則______．【答案】0.3【解析】依題意，與互斥，，所以故答案為：0.313.將數(shù)列與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列得到數(shù)列，，則的前項(xiàng)和為______．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是以4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以7為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為．故答案為：.14.過(guò)點(diǎn)可作曲線的切線的條數(shù)最多為______.【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以，則切線斜率為，所以切線方程為．又點(diǎn)在切線上，所以，解得，故過(guò)點(diǎn)可作條切線與曲線相切．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且．（1）求；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．解：（1）由題可知，令，則，解得．因?yàn)椋裕?）由（1）可知，，則所求的切線方程為，即，所以該切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為和，則所求三角形的面積為．16.為了研究學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的情況，某校數(shù)學(xué)建模興趣小組在本校某年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，調(diào)查他們平時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)和整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀的人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)非優(yōu)秀的人數(shù)合計(jì)每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的人數(shù)90不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的人數(shù)40100合計(jì)200（1）完成上述樣本數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)；（2）按照比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法從不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中選3名做進(jìn)一步訪談，設(shè)這3人中數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)非優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）完善列聯(lián)表，如下：

數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀的人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)非優(yōu)秀的人數(shù)合計(jì)每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的人數(shù)9010100不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的人數(shù)6040100合計(jì)15050200零假設(shè)為：：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題相互獨(dú)立，即學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計(jì)算可得，根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)．（2）由分層隨機(jī)抽樣可知，抽取的5名學(xué)生中有2名數(shù)學(xué)成績(jī)總評(píng)非優(yōu)秀．所有可能的取值為0，1，2，知，，，所以的分布列為：012故．17.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，為的前項(xiàng)和，若，求整數(shù)的最小值．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由，可得，兩式相減可得，所以，即．當(dāng)時(shí)，，解得，所以，故的通項(xiàng)公式為．（2），所以．由，可得，解得，故整數(shù)的最小值為99．18.甲?乙兩人參加某答題挑戰(zhàn)賽，規(guī)則如下：每次由其中一人答題，若答對(duì)了，則此人繼續(xù)答題，若未答對(duì)，則換對(duì)方答題，每次答題系統(tǒng)都會(huì)隨機(jī)地給出一道文學(xué)題或科學(xué)題，給出文學(xué)題的概率為，給出科學(xué)題的概率為.已知甲答對(duì)文學(xué)題與科學(xué)題的概率分別為，，乙答對(duì)文學(xué)題與科學(xué)題的概率均為，且各輪答題正確與否相互獨(dú)立.由抽簽確定第1次答題的人選，第1次答題的人是甲?乙的概率各為.（1）已知第1次甲答題，求甲答對(duì)題目的概率；（2）求第2次答題的人是乙的概率；（3）求第次答題的人是甲的概率.解：（1）甲答對(duì)題目的概率為.（2）乙答對(duì)題目的概率為.記“第次答題的人是甲”為事件，“第次答題的人是乙”為事件，所以.（3）設(shè)，依題可知，，則，即.設(shè)，解得，則.又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即.19.已知數(shù)列滿足，且.若整數(shù)能被正整數(shù)整除，則稱為的一個(gè)正約數(shù).設(shè)的正約數(shù)個(gè)數(shù)為，將這個(gè)正約數(shù)從小到大排成一排，分別為.（1）證明：是等比數(shù)列.（2）證明：為定值.（3）在和之間插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列.①當(dāng)時(shí)，求；②在①的前提下，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.證明：（1）因?yàn)?，整理可得，且?/p>