會(huì)計(jì)學(xué)1人口(rénkǒu)與社會(huì)數(shù)學(xué)模型第一頁，共50頁。人口(rénkǒu)增長和預(yù)測(cè)模型Malthus模型Logistic模型中國特色人口(rénkǒu)模型Leslie離散模型第1頁/共49頁第二頁，共50頁。當(dāng)今人類面臨的五大(wǔdà)問題(1)人口問題(2)工業(yè)化的資金問題(3)糧食問題(4)不可再生的資源問題(5)環(huán)境污染問題(即生態(tài)平衡問題)。建立人口增長數(shù)學(xué)模型，用以描述人口增長過程，通過分析對(duì)人口增長進(jìn)行預(yù)測(cè)，制定相應(yīng)(xiāngyīng)的人口政策以控制人口增長，于國于民均有利。第2頁/共49頁第三頁，共50頁。人口模型(móxíng)的研究1798年Malthus出版了《人口原理》，書中提出了著名的影響深遠(yuǎn)的Malthus人口模型1838年P(guān).F.Verhust對(duì)Malthus模型進(jìn)行了修正，得出了Logistic模型1924年G.V.Yule引入概率觀點(diǎn)(guāndiǎn)對(duì)人口問題進(jìn)行了研究，第3頁/共49頁第四頁，共50頁。1945年P(guān).H.Leslie完成了按齡離散型人口模型(móxíng)。1959年Van.H.Fpoerster提出現(xiàn)代按齡連續(xù)型人口模型(móxíng)近年來我國學(xué)者為了解決我國人口迅猛增長問題，建立了有關(guān)中國人口預(yù)測(cè)和控制模型(móxíng)，為我國制定人口政策提供依據(jù)。第4頁/共49頁第五頁，共50頁。影響(yǐngxiǎng)人口增長的因素人口(rénkǒu)的基數(shù)，出生率和死亡率的高低，人口(rénkǒu)男女比例大小，人口(rénkǒu)年齡組成情況，工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平的高低，營養(yǎng)條件，醫(yī)療水平，人口(rénkǒu)素質(zhì)，環(huán)境污染情況。另外還涉及到各民族的風(fēng)俗習(xí)慣，傳統(tǒng)觀念，自然災(zāi)害，戰(zhàn)爭(zhēng)，人口(rénkǒu)遷移等等。第5頁/共49頁第六頁，共50頁。建?？偟乃悸?sīlù)如果一開始把眾多因素都考慮，則無從下手。先把問題簡(jiǎn)化，只考慮影響人口增長的主要(zhǔyào)因素——增長率(出生率－死亡率)及人口基數(shù)。其余因素的影響暫不考慮，建立一個(gè)較粗的數(shù)學(xué)模型。在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上逐步考慮次要因素的影響，進(jìn)而建立與實(shí)際情況更吻合的人口模型。第6頁/共49頁第七頁，共50頁。用微分方程描述人口增長(zēngzhǎng)過程初看起來，人口增長是不能用微分方程來描述的，因?yàn)槿丝诳倲?shù)是按整數(shù)變化的而不是(bùshi)時(shí)間的可微函數(shù)。然而，如果總數(shù)很大時(shí)，可以近似認(rèn)為它是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，甚至是可微函數(shù)。這即離散變量連續(xù)化處理，這一點(diǎn)應(yīng)能很好地理解和掌握。第7頁/共49頁第八頁，共50頁。一、Malthus模型(móxíng)第8頁/共49頁第九頁，共50頁。Malthus與人口指數(shù)(zhǐshù)增長模型英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Malthus(1766一1834)在擔(dān)任牧師期間，查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料，他發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象，即人口的增長率是常數(shù)，或者說，單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時(shí)的人口總數(shù)成正比。于是在1798年《人口原理(yuánlǐ)》一書中，提出了聞名于世的Malthus人口指數(shù)增長模型第9頁/共49頁第十頁，共50頁。模型(móxíng)的構(gòu)成設(shè)N(t)表示t時(shí)刻人口總數(shù)，r(t，N(t))表示t時(shí)刻人口增長率，假設(shè)只考慮人口增長率，其他因素的影響暫不考慮。則在t到t+△t這段時(shí)間內(nèi)人口增長為N(t+△t)－N(t)=r(t，N)N(t)△t兩端同除以△t，并令△t→0，有dN/dt=r(t,N)N(t)(1）模型(1)看似簡(jiǎn)單(jiǎndān)，其實(shí)由于出生率r(t，N)的不確定性，給(1)的求解帶來困難。下面將逐步深入地討論模型(1)。第10頁/共49頁第十一頁，共50頁。Malthus模型(móxíng)的構(gòu)成根據(jù)(gēnjù)Malthus基本假設(shè)，在上述模型中令r(t,N)=r(常數(shù))得dN(t)/dt=rN(t)N(t0)=N0(2)其解為N(t)=N0·er(t-t0)(3)(2)是(常微分)線性方程，稱為Malthus人口模型。即人口以er為公比，按幾何級(jí)數(shù)增加。因?yàn)檫@時(shí)r表示年增長率，通常r<<1，所以可用近似關(guān)系erl+r將(3)式寫作N(t)N0(l+r)t-t0(4)第11頁/共49頁第十二頁，共50頁。Malthus模型(móxíng)的檢驗(yàn)據(jù)估計(jì)1961年全世界(shìjiè)人口總數(shù)為3.06×109，而在此之前的10年人口按每年2%的速率增長。因此t0=1961，N0=3.06×109，r=0.02于是N(t)=3.06×109e0.02(t-1961)(5)這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在1700-1994年期間世界(shìjiè)估計(jì)人口總數(shù)。因?yàn)樵谶@期間地球上人口大約每隔35年增加一倍，而上述方程斷定每隔34.6年增加一倍。(人口倍增時(shí)間)第12頁/共49頁第十三頁，共50頁。人口倍增(bèizēnɡ)時(shí)間T的計(jì)算設(shè)在T=t-t0時(shí)間段內(nèi)地球上的人口增加一倍。即當(dāng)T=t-t0時(shí)，2N0=N0erTerT=2兩端(liǎnɡduān)取對(duì)數(shù)，得rT=ln2即T=ln2/r=0.6931/r=34.6與現(xiàn)有的數(shù)據(jù)吻合得較好第13頁/共49頁第十四頁，共50頁。Malthus模型不符合(fúhé)未來長期預(yù)測(cè)因?yàn)楫?dāng)t→+∞limN(t)=limN0·er(t-t0)=+∞由Malthus模型(5)式可以推出2510年世界人口(rénkǒu)總數(shù)將是2×1014人(如果將全世界所有陸地，海洋面積均算在內(nèi)的話，每人平均僅有0.864m2(9.3平方英尺))，2635年將為1.8×1015人(每人平均有0.093m2(1平方英尺))，2670年將是3.6×1015人(3600萬億)。顯然，這些數(shù)字說明Malthus人口(rénkǒu)模型對(duì)長期預(yù)測(cè)是不正確的。第14頁/共49頁第十五頁，共50頁。二、Logistic人口(rénkǒu)模型第15頁/共49頁第十六頁，共50頁。二、Logistic模型(móxíng)Malthus模型為什么只符合人口的過去而不能用來預(yù)測(cè)未來人口總數(shù)呢?究其原因，人口總數(shù)不太大時(shí)，人口總數(shù)增長的線性數(shù)學(xué)模型(即Malthus模型)是正確的，但當(dāng)人口總數(shù)非常大時(shí)，地球上的各種資源，環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長的限制作用將越來越顯著。此時(shí)人口增長率就要隨人口的增加(zēngjiā)而減小。即應(yīng)該對(duì)Malthus模型中關(guān)于人口增長率為常數(shù)這一假設(shè)作修改。第16頁/共49頁第十七頁，共50頁。Logistic模型(móxíng)的構(gòu)成我們?cè)诰€性方程(2)的右端加上一項(xiàng)"-bN2"。(對(duì)于一般的生物，這一項(xiàng)稱為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng))。此時(shí)r(t,N)=r-bN,方程(2)變成dN/dt=rN-bN2N(t0)=N0(5)這稱為Logistic模型，其中r、b稱為生命系數(shù)其解為N={b/r+(1/N0-b/r)e-r(t-t0)}-1(6)這個(gè)模型是荷蘭數(shù)學(xué)家Verhulst首先(shǒuxiān)發(fā)現(xiàn)的。第17頁/共49頁第十八頁，共50頁。Logistic模型(móxíng)的分析一般來說，常數(shù)b同r相比是很小的。因此，如果N不太大，競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)“-bN2”同rN相比可以略去。人口總數(shù)將按指數(shù)方式增長。當(dāng)N很大時(shí)，競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)“-bN2”就不能忽略了，這樣就會(huì)使人口總數(shù)急劇增長的速度減緩下來。由Logistic模型(6)式可以得出N(t)具有(jùyǒu)如下規(guī)律:(1)當(dāng)t→∞時(shí)，N(t)→r/b。結(jié)論是不管其初值如何，人口總數(shù)最終將趨向于極限值r/b。第18頁/共49頁第十九頁，共50頁。模型(móxíng)分析(2)當(dāng)0<N0<r/b時(shí)，dN/dt=rN-bN2=bN(r/b-N)>0所以N(t)是時(shí)間的單調(diào)遞增函數(shù)。又d2N/dt2=rdN/dt-2bN·dN/dt=(r-2bN)N(r-bN)顯然，當(dāng)N<r/2b時(shí)，d2N/dt2>0，曲線向上凹。當(dāng)N>r/2b時(shí)，d2N/dt2<0，曲線向下(xiànɡxià)凹曲線N(t)的形狀如圖1所示，這種曲線稱為S形曲線(Logistic曲線)。第19頁/共49頁第二十頁，共50頁。圖1S形曲線(qūxiàn)(Logistic曲線(qūxiàn))N(t)r/b

r/2b

Ot

第20頁/共49頁第二十一頁，共50頁。Logistic曲線的形狀(xíngzhuàn)說明由曲線的形狀，可以得出如下結(jié)論:在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半(即r/2b)以前，是加速增長時(shí)期，過這一點(diǎn)(yīdiǎn)以后，增長的速度逐漸減小，并且遲早會(huì)達(dá)到零，這是減速增長時(shí)期。第21頁/共49頁第二十二頁，共50頁。Logistic模型預(yù)測(cè)(yùcè)未來人口總數(shù)就必須先估計(jì)生命系數(shù)r和b。據(jù)生物學(xué)家估計(jì)，r的自然值為0.029，又在1961年人口總數(shù)為3.06×109時(shí)，人口的增長速率為2%。由N-1dN/dt=r-bN即0.02=0.029-b(3.06×109)得b=2.941×10-12按照(ànzhào)Logistic模型，地球上人口總數(shù)極限值為r/b=0.029/2.941×10-12=9.86×109(近100億)第22頁/共49頁第二十三頁，共50頁。模型(móxíng)預(yù)測(cè)說明1961年世界人口總數(shù)為30億左右，尚未達(dá)到地球所能養(yǎng)活人口極限100億的一半。因此世界人口總數(shù)將處于加速增長時(shí)期(shíqī)。這與1961年以后的一段時(shí)期(shíqī)世界人口增長很快確實(shí)是吻合的。第23頁/共49頁第二十四頁，共50頁。Logistic模型：美國人口(rénkǒu)增長皮爾(Pearl)和里德(Reed)1920年提出的美國人口增長的Logistic模型為N(t)=1972682000/[1+e-0.03134(t-1914.3)]由該模型公式算出的美國人口總數(shù)的理論值與實(shí)際(shíjì)人數(shù)比較見表1.1由表1.1對(duì)照可以看出，美國實(shí)際(shíjì)人口總數(shù)從1790年到1950年這段時(shí)間與預(yù)測(cè)人數(shù)是比較吻合的.第24頁/共49頁第二十五頁，共50頁。表11790-1950年美國(měiɡuó)人口總數(shù)年份實(shí)際數(shù)值預(yù)言數(shù)值誤差%1790180018101820183018401850186018701880189019001910192019301940195039290005308000724000096380001286600017069000231920003144300038558000501560006294800075995000919720001057110001227550001316690001506970003929000533600072280009757000131090001750600023192000304120003937200050177000627690007687000091972000107559000123124000136653000149053000028000-120001190002430004370000-103100081400021000-179000875000018480003490004984000-16440000.00.5-0.21.21.92.60.0-3.32.10.4-0.31.20.01.70.33.8-1.1第25頁/共49頁第二十六頁，共50頁。Logistic模型(móxíng)的應(yīng)用1845年Verhulst曾預(yù)言比利時(shí)人口的最大值為660萬人，法國人口的最大值為4000萬人。但在1930年比利時(shí)人口已經(jīng)達(dá)到809萬人，二者相差很大。這似乎表明Logistic模型對(duì)于比利時(shí)的人口來說很不精確。經(jīng)過分析，因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)比利時(shí)的工業(yè)飛速發(fā)展，使得(shǐde)比利時(shí)有足夠的財(cái)富供養(yǎng)更多的人口。因此，對(duì)比利時(shí)的Logistic人口模型中的生命系數(shù)b應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整，即減小b值。法國1930年人口總數(shù)同Verhulst的預(yù)測(cè)十分一致。這又證明了Logistic人口模型的正確性。第26頁/共49頁第二十七頁，共50頁。三、中國特色的簡(jiǎn)單人口(rénkǒu)模型第27頁/共49頁第二十八頁，共50頁。模型(móxíng)背景問題:1994年3月7日《揚(yáng)子晚報(bào)》登載“中國社會(huì)科學(xué)院最近預(yù)測(cè)，今年我國總?cè)丝趯⒊^12億…，據(jù)國家計(jì)生委估計(jì)，中國總?cè)丝诜逯的晔?044年，峰值人口達(dá)15.6億或15.7億。人口增長到‘頂峰’后，就有可能走‘下坡路’，出現(xiàn)下降趨勢(shì)。”即2044年后我國總?cè)丝跀?shù)將減少。則前面的數(shù)學(xué)模型都不合適，因?yàn)?yīnwèi)它們都是單調(diào)上升的（只要N0<r/b）。第28頁/共49頁第二十九頁，共50頁。中國(zhōnɡɡuó)特色人口模型構(gòu)成根據(jù)國家計(jì)生委預(yù)測(cè)，2044年人口達(dá)到峰值后開始下降，即有>0t<t*=2044r(t)=N(t)-1dN/dt=0t=t*<0t>t*而前面的模型中dN/dt>0,為此我們修改模型，最簡(jiǎn)單的是選取dN(t)/dt=r(t)N(t)中的r為r(t)=r-B(t-t0)，其中r,B為參數(shù)。這樣(zhèyàng)得到新的數(shù)學(xué)模型:dN/dt=[r-B(t-t0)]N(t)N(t0)=N0第29頁/共49頁第三十頁，共50頁。特色模型(móxíng)求解下面根據(jù)t0=1994時(shí)N0=12億及到2044年人口達(dá)高峰并開始下降來估算r，B，并預(yù)測(cè)今后一些年的人口總量在2044年人口達(dá)最大值時(shí)，dN(t)/dt|t=2044=0，由此算出r-B(2044-1994)=0,B=r/50代入模型(móxíng)公式解得:N(t)=C·exp{r[t-(t-t0)2/100]},代人初始條件得到：N(t)=N0·exp{r(t-t0)[1-(t-t0)/100]}第30頁/共49頁第三十一頁，共50頁。人口預(yù)測(cè)以t0=1994，N0=12億，及t=2044代入得N(2044)=N0e25r=12e25r取r=0.01，算得N(2044)=15.41億取r=0.011，得N(2044)=15.8億。這個(gè)數(shù)值(shùzí)與計(jì)劃生育委員會(huì)的預(yù)測(cè)基本一致。由r=0.011，B=r/50，預(yù)測(cè)1995，2000，2054，2094年的人口為N(1995)=12·13億N(2000)=12·768億N(2054)=15·626億N(2094)=12億第31頁/共49頁第三十二頁，共50頁。評(píng)注:(1)解決一個(gè)實(shí)際問題所建立的數(shù)學(xué)模型不是一成不變的，應(yīng)隨情況的改變而改變。一個(gè)國家工業(yè)化的發(fā)展，環(huán)境污染狀況以及社會(huì)風(fēng)尚，人口素質(zhì)等因素都對(duì)生命系數(shù)r和b有重大影響。因此(yīncǐ)，這些系數(shù)隨著時(shí)間的推移每過幾年都應(yīng)重新估計(jì)一次。(2)在上述模型中，把人口總數(shù)看作處于同等地位的成員組成的。嚴(yán)格說來是不對(duì)的。第32頁/共49頁第三十三頁，共50頁。模型(móxíng)的進(jìn)一步考慮建立更精確的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)當(dāng)根據(jù)成員的年齡分組。因?yàn)樾∮谟g階段的成員和大于育齡階段的成員均不能生育，而在育齡階段的成員在不同的年齡段的生育能力也有大小(dàxiǎo)之分。另外還應(yīng)當(dāng)把人口總數(shù)的成員按男性和女性分開，因?yàn)榭倲?shù)增長率在較大程度上取決于女性的數(shù)目而不是取決于男性的數(shù)目。因而得到Leslie模型和女性繁殖模型。第33頁/共49頁第三十四頁，共50頁。四、Leslie離散人口(rénkǒu)模型第34頁/共49頁第三十五頁，共50頁。四、Leslie離散(lísàn)模型前面的模型沒有考慮到社會(huì)成員之間的個(gè)體差異，即不同年齡、不同體質(zhì)的人在死亡、生育方面存在的差異。完全忽略這些差異顯然是不合理的。但我們不可能對(duì)每個(gè)人的情況逐個(gè)加以考慮，故僅考慮年齡的差異對(duì)人口變動(dòng)的影響，即假設(shè)同一年齡的人有相同的死亡概率和生育能力。這樣建立的模型不但使我們能夠更細(xì)致的預(yù)測(cè)人口總數(shù)，而且能夠預(yù)測(cè)老年人口、勞動(dòng)力人口、學(xué)齡(xuélíng)人口等不同年齡組的人口信息。第35頁/共49頁第三十六頁，共50頁。1.模型(móxíng)建立設(shè)xk(t)為第t年年齡為k的人口數(shù)量,k=0，1，2，…，100，即忽略百歲(bǎisuì)以上的人口。如果知道了第t年各年齡組的人口數(shù)，各年齡組人口的生育及死亡狀態(tài)，就可以根據(jù)人口發(fā)展變化規(guī)律推得第t+l年各年齡組的人口數(shù)。第36頁/共49頁第三十七頁，共50頁。k歲人口(rénkǒu)死亡率

和k歲育齡婦女年生育率首先引入k歲人口的死亡率和k歲育齡婦女(fùnǚ)的年生育率這兩個(gè)概念k歲人口的年死亡率dk=一年內(nèi)k歲的死亡人數(shù)/這年內(nèi)k歲的人口數(shù)k歲婦女(fùnǚ)的年生育率bk=一年內(nèi)k歲婦女(fùnǚ)生育嬰兒數(shù)/這年內(nèi)k歲婦女(fùnǚ)人數(shù)第37頁/共49頁第三十八頁，共50頁。Leslie人口模型(móxíng)公式第t+l年k+1歲的人口數(shù)就是第t年k歲的人口數(shù)扣除它在該年的死亡人數(shù)，即xk+1(t+1)=(1-dk)xk(t)，令pk=1-dk稱為k歲人口的存活率，故各年齡組人口隨時(shí)間變化規(guī)律可用遞推公式xk+1(t+l)=pkxk(t)(k=0，1，…，99)來表示。再考慮到零歲的人數(shù)x0(t+l)=∑bkxk(t)/2,其中xk(t)/2為第t年k歲婦女?dāng)?shù)。由此得到(dédào)的人口模型是x0(t+1)=∑bkxk(t)/2xk+1(t+1)=pkxk(t),k=0，1，…，99(1)第38頁/共49頁第三十九頁，共50頁。人口模型(móxíng)的矩陣形式根據(jù)人的生理特征(tèzhēng)，婦女的育齡區(qū)間一般取為15歲至49歲，即當(dāng)k<15和k>49時(shí)，bk=0。令Xk(t)=(x0(t),x1(t),…，xk(t)，…,x100(t))Tb0/2b1/2b2/2......b99/2b100/2p000……00L=0p10……00………………000……p990第39頁/共49頁第四十頁，共50頁。則人口模型(1)的矩陣形式為X(t+1)=L·X(t)(2)其中(qízhōng)L稱為Leslie矩陣。當(dāng)?shù)趖0年人口已知時(shí)，就可以推得第t年人口為X(t)=Lt-t0X(t0)第40頁/共49頁第四十一頁，共50頁。2.人口預(yù)測(cè)利用模型(2)及1982年人口普查(rénkǒupǔchá)數(shù)據(jù)對(duì)我國的人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)所得的結(jié)果如表2所示，從1983年到1990年這8年的對(duì)比看來，用模型(2)預(yù)測(cè)的結(jié)果還是令人滿意的。第41頁/共49頁第四十二頁，共50頁。

表2我國人口預(yù)測(cè)年份Malthus模型預(yù)測(cè)Logistic模型預(yù)測(cè)Leslie模型預(yù)測(cè)實(shí)際統(tǒng)計(jì)值19821983198419851986198719881989199020002010202020302040205010.154110.297210.442410.589610.738910.890311.043911.119611.357513.064215.027417.285619.883222.871126.308110.154110.256410.359410.463110.567310.672110.777510.883510.990112.087113.235714.427615.652916.900918.159510.154110.305810.456110.606810.761510.923011.096111.281211.475713.562015.090516.796418.494019.751921.262210.154110.249510.347510.453210.572110.724010.897811.067611.336812.9533

第42頁/共49頁第四十三頁，共50頁。但長期(chángqī)發(fā)展下去，人口數(shù)量仍然偏多，不甚合理。其主要原因是在預(yù)測(cè)過程中，始終用1982年生育率與死亡率來代替以后各年的生育率與死亡率。而1982年育齡婦女的生育率很高，按照1982年的生育狀況，每對(duì)夫婦一生中平均要生育2.63個(gè)孩子，且生育高峰集中在25歲左右，這勢(shì)必導(dǎo)致人口的大量增加，因而得到人口的預(yù)測(cè)值比較大。第43頁/共49頁第四十四頁，共50頁。3.人口(rénkǒu)控制人口預(yù)測(cè)的反問題是人口控制問題:應(yīng)調(diào)節(jié)哪些因素，才能使我國人口發(fā)展到一個(gè)合理水平?從模型(2)看，各年齡組人口的數(shù)量由x(t0),bk,dk所確定，其中x(t0)是人口的現(xiàn)實(shí)狀態(tài)，人們無法改變，死亡率dk己經(jīng)到了較低水平，改變也不會(huì)太多，現(xiàn)實(shí)可行途徑是調(diào)節(jié)