黑龍江省綏化市第八中學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．如圖，某幾何體的主視圖和它的左視圖，則搭建這樣的幾何體最少需要的小正方體為（

）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)3．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．4．函數(shù)中，自變量的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且5．將一副三角板（厚度不計(jì)）如圖擺放，使含角的三角板的斜邊與含角的三角板的一條直角邊平行，則的角度為（

）A． B． C． D．6．下列命題中，真命題的有（

）個(gè)①在同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓周角相等；②反比例函數(shù)，隨著的增大而減?。虎蹮o限小數(shù)就是無理數(shù)；④過原點(diǎn)的一條直線一定是正比例函數(shù)的圖象；⑤過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．A．0 B．1 C．2 D．37．在讀書節(jié)活動(dòng)中，某校為了解學(xué)生參加活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生每人參加活動(dòng)的項(xiàng)數(shù)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，繪制出如圖的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②，根據(jù)相關(guān)信息，下列說法不正確的是（

）A．本次接受抽樣調(diào)查的學(xué)生一共有40名 B．圖①中的值為10C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是18 D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2項(xiàng)8．掀起了“人工智能”的熱潮，某單位利用公司研發(fā)的兩個(gè)模型和共同處理一批數(shù)據(jù)．已知單獨(dú)處理數(shù)據(jù)的時(shí)間比少2小時(shí)，若兩模型合作處理，僅需小時(shí)即可完成．設(shè)單獨(dú)處理需要小時(shí)．則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．9．如圖，點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，軸，已知點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為1，2，的面積與面積和為，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．10．如圖，三角形紙片中，，，，沿過點(diǎn)的直線將紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處；再折疊紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，若折痕與的交點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．11．如圖1，點(diǎn)F從菱形的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，圖2是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨時(shí)間變化的關(guān)系圖象，則a的值為（

）A． B． C． D．212．如圖，四邊形為正方形，的平分線交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)．有下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的是（

）A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③ D．①③⑤二、填空題13．由開發(fā)的人工智能助手在全球范圍內(nèi)掀起了一股熱潮．據(jù)國內(nèi)產(chǎn)品榜統(tǒng)計(jì)顯示，這款推理聊天機(jī)器人在上線僅20天后，其日活躍用戶數(shù)就達(dá)22150000．?dāng)?shù)字22150000用科學(xué)記數(shù)法表示為．14．分解因式：15．當(dāng)時(shí)，．16．已知、是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的值是．17．在一個(gè)不透明的袋子中裝有1個(gè)白球，2個(gè)黃球，2個(gè)紅球，這5個(gè)球大小形狀質(zhì)地等完全相同，從袋中摸出一個(gè)球不放回，再摸出一個(gè)球，兩次都摸到紅球的概率是．18．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)為位似中心，按相似比把放大，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．19．如圖，在中，是的中點(diǎn)，以為直徑的與，分別交于點(diǎn)，，連接，，平分，，則陰影部分的面積為．20．如圖，在面積為12的中，，，于點(diǎn)，直線垂直平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．點(diǎn)第1次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)，緊接著第2次向左跳動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)，第3次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)，第4次向右跳動(dòng)3個(gè)單位至點(diǎn)，第5次又向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)，第6次向左跳動(dòng)4個(gè)單位至點(diǎn)，…照此規(guī)律，點(diǎn)第2022次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是．22．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），當(dāng)為以為腰的等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．三、解答題23．已知：點(diǎn)是外一點(diǎn)．(1)尺規(guī)作圖：如圖，過點(diǎn)作出的兩條切線，，切點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且．求的度數(shù)．24．如圖．某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹的高度．他們?cè)谶@棵樹正前方一座樓亭前的臺(tái)階上點(diǎn)A處測(cè)得樹頂端的仰角為，朝著這棵樹的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹頂端D的仰角為．已知點(diǎn)A的高度AB為，臺(tái)階的坡度為，且B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹的高度．（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)）25．某校組織師生參加夏令營活動(dòng)，現(xiàn)準(zhǔn)備租用A、B兩型客車（每種型號(hào)的客車至少租用一輛）．A型車每輛租金400元，B型車每輛租金500元．若4輛A型和3輛B型車坐滿后共載客340人；2輛A型和5輛B型車坐滿后共載客380人．(1)每輛A型車、B型車坐滿后各載客多少人？(2)若該校計(jì)劃租用A型和B型兩種客車共8輛，總租金不高于3900元，并將全校400人載至目的地，該校有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？(3)在這次活動(dòng)中，學(xué)校除租用A、B兩型客車外，又派出甲、乙兩輛器材運(yùn)輸車．已知從學(xué)校到夏令營目的地的路程為300千米，甲車從學(xué)校出發(fā)0.5小時(shí)后，乙車才從學(xué)校出發(fā)，卻比甲車早0.5小時(shí)到達(dá)目的地，如圖是兩車離開學(xué)校的路程（千米）與甲車行駛的時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象信息，求甲乙兩車第一次相遇后，為何值時(shí)兩車相距25千米．26．如圖所示，在的內(nèi)接中，，，作于點(diǎn)，交于另一點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），射線交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，分別連接和，交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．(3)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，求的值．27．在菱形中，，是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊三角形，點(diǎn)的位置隨點(diǎn)的位置變化而變化，連接．推理證明：（）當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，如圖①，求證：；寫出圖①的證明過程；探究問題：（）當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)，如圖②，圖③，請(qǐng)分別寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明；拓展思考：（）在（）和（）的條件下，若，，則的長(zhǎng)為__________．圖①

圖②

圖③28．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)．(1)如圖1，求拋物線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，設(shè)直線交線段于點(diǎn)，的面積為，的面積為，當(dāng)最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖3，在（2）的條件下，設(shè)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，試問拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．《黑龍江省綏化市第八中學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題》參考答案1．C解：A、該圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B、該圖形不是軸對(duì)稱圖形，但是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C、該圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；D、該圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；故選：C．2．C解：∵主視圖有4個(gè)小正方體組成，左視圖有3個(gè)小正方體組成，∴幾何體的底層最少3個(gè)小正方體，第二層最少有1個(gè)小正方體，∴搭建該幾何體最少需要的小正方體的個(gè)數(shù)為4．故選C．3．A解：A．，選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；B．，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C．，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D．，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：A．4．C解：由題意可得：，解得：且．故選C．5．A如圖所示由題意得∵∴∵∴故選：A．6．A解：①在同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，故①不符合題意；②反比例函數(shù)，經(jīng)過一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)隨著的增大而減小，故②不符合題意；③無限循環(huán)小數(shù)屬于有理數(shù)，故③不符合題意；④過原點(diǎn)的一條直線可能是正比例函數(shù)的圖象，可也能是軸或軸，故④不符合題意；⑤過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行，故⑤不符合題意；綜上，符合題意的有個(gè)，故選：A．7．C解：A、本次接受抽樣調(diào)查的學(xué)生一共有名，故A說法正確，不符合題意；B、，則，故B說法正確，不符合題意；C、由于項(xiàng)數(shù)為2的人數(shù)最多，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2項(xiàng)，故C說法錯(cuò)誤，符合題意；D、把這40名學(xué)生參加的活動(dòng)項(xiàng)數(shù)按照從低到高排列，處在第20名和第21名的項(xiàng)數(shù)都是2項(xiàng)，故中位數(shù)為項(xiàng)，故D說法正確，不符合題意；故選：C．8．B解：設(shè)單獨(dú)處理需要小時(shí)，則單獨(dú)處理數(shù)據(jù)的時(shí)間小時(shí)，依題意得，故選：B．9．A解：點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為1，2，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵軸，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為1，2，點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，∵的面積與面積和為，，解得：．故選：A．10．C解：由題意可知：，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，在中，；故答案為：C．11．C解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的高始終與長(zhǎng)度相等，根據(jù)題圖可得，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，，，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積與成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，，，在中，，即，解得，故選：C12．A解：∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，故①正確；∵四邊形為正方形，∴，，∵平分，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故③正確；∵，∴，∵平分，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，故②正確；∵，，∴，故④正確；∵，∴，∵，∴，∴，即，如圖，在等腰直角三角形中，平分交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)Q，則，∵，∴，即，∴，∴，即，故⑤錯(cuò)誤；綜上，正確的結(jié)論是①②③④，故選：A．13．解：數(shù)字22150000用科學(xué)記數(shù)法表示為，故答案為：．14．解：15．解：當(dāng)時(shí)，原式故答案為：．16．解：∵、是方程的兩個(gè)實(shí)根，∴，，∴，∴，故答案為：．17．/0.1解：列表如下：第二次第一次紅1紅2白1黃1黃2紅1——紅1紅2紅1白1紅1黃1紅1黃2紅2紅2紅1——紅2白1紅2黃1紅2黃2白1白1紅1白1紅2——白1黃1白1黃2黃1黃1紅1黃1紅2黃1白1——黃1黃2黃2黃2紅1黃2紅2黃2白1黃2黃1——從表格可以看出所有可能的結(jié)果共有20種，符合兩紅的結(jié)果有2種，所以兩次取出的小球的顏色為紅球的概率為．故答案為：18．或解：以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把放大，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或．19．解：連接，，∵為的直徑，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，又，∴，∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，又，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，故答案為：．20．8解：如圖，連接，，，∵的面積為12，，，∵垂直平分，，∵為直線上一動(dòng)點(diǎn)，，，，∴周長(zhǎng)的最小值為8．故答案為：8．21．解：設(shè)第n次跳動(dòng)至點(diǎn)，由圖知，、、、、、、、、…，∴可得：點(diǎn)的變化規(guī)律為，，，，∵2022=4×505+2，∴，即，故答案為：．22．或或解：在正方形中，，，，，，為的中點(diǎn)，，，當(dāng)為以為腰的等腰三角形時(shí)，如圖，當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，連接，若，則，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，當(dāng)，，；如圖，當(dāng)點(diǎn)在的下方，時(shí)，連接，，作于點(diǎn)，設(shè)相交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，；如圖，當(dāng)時(shí)，，；綜上所述，的長(zhǎng)為或或．故答案為：或或23．(1)見解析(2)的度數(shù)為或．（1）解：如圖即為所求作；（2）解：如圖，連接、，四邊形內(nèi)接于，，，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，，綜上可知，的度數(shù)為或．24．6米解：如圖，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，∵，，∴四邊形為矩形，∴，，設(shè)，在中，，在中，∵，，∴，在中，，∴，∵．∴，解得．答：樹的高度為6米．25．(1)每輛型車、型車坐滿后各載客人、人(2)共有種租車方案，租輛型車，輛型車最省錢(3)在甲乙兩車第一次相遇后，當(dāng)小時(shí)或小時(shí)時(shí)，兩車相距千米（1）解：設(shè)每輛型車、型車坐滿后各載客人、人，由題意得

解得

答：每輛型車、型車坐滿后各載客人、人（2）設(shè)租用型車輛，則租用型車輛，由題意得

解得：

取正整數(shù)，，，，共有種租車方案

設(shè)總租金為元，則隨著的增大而減小時(shí)，最小租輛型車，輛型車最省錢（3）設(shè)，由題意可知，甲車的函數(shù)圖像經(jīng)過；；∴解得，∴,乙車的函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)．設(shè)當(dāng)時(shí)，．∴解得∴

當(dāng)時(shí)，，∴，解得

當(dāng)時(shí)，，∴解得所以，在甲乙兩車第一次相遇后，當(dāng)小時(shí)或小時(shí)時(shí)，兩車相距25千米．26．(1)證明見解析(2)(3)（1）解：∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．（2）連接，∵，∴是直徑，∵，∴，∵，且，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴∴，即由，∴，∴，，∴．（3）過C點(diǎn)作，垂足為G，連接，則，∴∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵∴設(shè)∴∴，∴∴∵，且，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即∴，∴，，∴，∴的值為．27．（）證明見解析；（）圖②中，；圖③中，；（）或（）證明：連接，交于，∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（）如圖②，，理由如下：連接，同理（）可證，∴，∴，∵，∴；如圖③，，理由如下：連接，同理（）可證，∴，∴，∵，∴；（）∵，，∴點(diǎn)在線段上，如圖①，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)，如圖②，同理可得，∴；綜上，的長(zhǎng)為或，故答案為：或．28．(1)(2)(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或或（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，將點(diǎn)B、C代入中，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)，過點(diǎn)D作軸交于G點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸交于H點(diǎn)，如圖2，