高中數(shù)學(xué)選修2…?2知識點(diǎn)

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一.導(dǎo)數(shù)概念的引入

1.導(dǎo)數(shù)的物理意義：瞬時(shí)速率。一般的，函數(shù))，=/(x)在x=/處的瞬時(shí)變化率是

lim/(/十八0二八”。)

A*->0Ar

我們稱它為函數(shù)丁=/(X)在/=/處的導(dǎo)數(shù)，記作尸(小)或)[="，

即八小)=lim'5(%)

Ai。AY

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線的切線通過圖像，我們可以看出當(dāng)點(diǎn)〃趨近于0時(shí)，直線PT與曲線相切。容易

知道，割線尸道的斜率是"=’區(qū))―/?！?,當(dāng)點(diǎn)?趨近于尸時(shí)，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)

乙一/

數(shù)就是切線PT的斜率匕即,二lim/(*〃)_/(/)=/(%)

AA->0人Y〃_AYo

3.導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x變化時(shí)，/'(X)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為/(五)的導(dǎo)函數(shù).y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)有

時(shí)也記作y',即ff(x)=lim+

&r->0AY

二?導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

1:基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

1若〃x)=c(c為常數(shù))，則/(勸=0；

2若/(幻二人則/'(幻=3個(gè)

3若/(x)=sinx,Mf\x)=cosx

4若/(x)=cosx.貝ijf'(x)=-sinx:

5若/(x)=a',則f\x)=axIna

6若/(?=/,則/(x)=e、

7若/(x)=log=則r(x)=J-

xlnrz

8若/(x)=lnx,則f\x)=-

x

2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1.[f(x)±g(x)],=f(x)±g，M

2"(x)?g(x)]'=f，(x)^g(x)+f(x)?g'(x)

一g(X)lg(X)f

3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

y=f(u)和〃=g(x),稱則y可以表示成為x的函數(shù)，即)，=/(g(x))為一個(gè)復(fù)合函數(shù)

y=f'(ga))?g'a)

三.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：

一般的，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：

在某個(gè)區(qū)間(出力內(nèi)，如果/'(萬>0,那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；

如果/'(幻<0,那么函數(shù))，=/(用在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況.

求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是：

(1)如果在飛附近的左側(cè)/'。)>0,右側(cè)/'。)<0,那么/(%)是極大值；

(2)如果在與附近的左側(cè)r(x)v0,右側(cè)/")>0,那么/(/)是極小值；

4.函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)

函數(shù)極大值與最大值之間的關(guān)系.

求函數(shù))，=f(x)在[凡切上的最大值與最小值的步驟

(1)求函數(shù)y=f(x)在(。力)內(nèi)的極值；

(2)將函數(shù),，=/3)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/(〃)，/S)比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最

小的是最小值.

四.生活中的優(yōu)化問題

利用導(dǎo)數(shù)的知識”求函數(shù)的最大(小)值，從而解決實(shí)際問題

第二章推理與證明

知識結(jié)構(gòu)

拴

現(xiàn)

與

江

明

1、歸納推理

把從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.

簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。

歸納推理的一般步驟：

?通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；

?從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）；

?證明一（視題目要求，可有可無）.

2、類比推理

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推

理稱為類比推理（簡稱類比）.

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.

類比推理的一般步驟：

?找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；

?用一類對象的己知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個(gè)猜想；

?檢驗(yàn)猜想。

3、合情推理

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后

提出猜想的推理.

歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理,通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.

4、演繹推理

從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理.

簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.

演繹推理的一般模式-----二三段論二…包括

⑴大前提.一已知的一版原理；

⑵小前提-一所研究的特殊情況；

⑶結(jié)論?…-據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.

用集合的觀點(diǎn)來理解：若集合M中的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個(gè)子集，那么S中所有元素

也都具有性質(zhì)P.

從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明：演繹推理在前提和推理形式

都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.

5、直接證明與間接證明

⑴綜合法：利用已知條件和某班數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證

明的結(jié)論成立.

啰率示：

要點(diǎn);順推證法」由因?qū)Ч?

⑵分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判

定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.

框圖表示：_

-----（騙黑］

要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因.

⑶反證法：一般地,假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾.，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證

明了原命題成立.的證明方法.它是i種間接的證明方法.

反證法法證明一個(gè)命題的一般步驟：

⑴（反設(shè)）假設(shè)命題的結(jié)論不成立;

（2）（推理）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到導(dǎo)出矛盾為止;

⑶（歸謬）斷言假設(shè)不成立;

（4）（結(jié)論）肯定原命題的結(jié)論成立.

6、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)〃的命題的一種方法.

用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟；

（1）（歸納奠基）證明當(dāng)〃取第一個(gè)值，2O（〃O￡N"）時(shí)命題成立；

（2）（歸納遞推）假設(shè)〃=時(shí)命題成立，推證當(dāng)〃=左+1時(shí)命題也成立.

只要完成了這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從“°開始的所有正整數(shù)〃都成立.

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、

幾何中的計(jì)算問題等.

第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

一:復(fù)數(shù)的概念

⑴復(fù)數(shù):形如4+陽的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，。和〃分別叫它的實(shí)部和虛部.

（2）分類:復(fù)數(shù)4+4R）中，當(dāng)〃=（）,就是實(shí)數(shù)；〃工0,叫做虛數(shù);當(dāng)4=0力工0時(shí),叫做純虛數(shù).

（3）更數(shù)相等:如果兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等且虛部相等就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.

（4）共軌復(fù)數(shù):當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共枕復(fù)數(shù).

（5）復(fù)平面:建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,X軸叫做實(shí)軸，y軸除去原點(diǎn)的部分叫做虛軸。

（6）兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，但兩個(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)就不能比較大小。

2.相關(guān)公式

(1;a+bi=c+dioa=b,且c=cl

⑵a+bi=Ooa=b=()

(3；|z|=|?+Z?z|=yja2+b2

(4；z=a-bi

z,2指兩復(fù)數(shù)實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)(互為共規(guī)復(fù)數(shù)).

3.復(fù)數(shù)運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)加減法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(/?士d)i；

⑵復(fù)數(shù)的乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i；

a+bi(a+bi)(c-di)

⑶復(fù)數(shù)的除法：—7=7—7^―六

c+di[c+aij^c-di)

_(ac+bd)+(bc-ad)i_ac+bdbe-ad.

c2+d2c2-￥d2c2+d21

(類似于無理數(shù)除法的分母有理化一虛數(shù)除法的分母實(shí)數(shù)化)

4.常見的運(yùn)算規(guī)律

(l)|z|=|z|;(2)z+z=2tz,z-z=2bi\

(3)Z-Z=|Z|2=|Z|2=a2+b2;(4)z=z;(5)z=z<=>zG/?

(6)產(chǎn)”=i,嚴(yán)C=_11〃+3=T