2026年高考數(shù)學總復(fù)習——專題05均值不等式培優(yōu)歸類題型1公式基礎(chǔ)重要基礎(chǔ)不等式（1）_（）；（2）（）；（3）2（）；（4）__或（）；（5）1．（2025·遼寧鞍山·二模）已知、是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式求出，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)的運算即可求解.【詳解】根據(jù)已知條件有，，所以，因為、是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，所以，所以，即，因為為上的增函數(shù)，所以，所以故選：B2．（24-25高三·安徽合肥·模擬）若，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合對數(shù)的單調(diào)性，基本不等式的公式，即可求解.【詳解】，又，則，因為，則，故，綜上所述，.故選：D.3．（24-25高三·湖南長沙·開學考試）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)解析式、對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷的定義域和單調(diào)性，再應(yīng)用對數(shù)運算、基本不等式判斷的大小，進而判斷函數(shù)值的大小.【詳解】因為，所以定義域為，且，易知為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以為減函數(shù).，又，所以，則.故選：A4．（24-25高二上·湖南長沙·期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式即可求解.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，而，所以，故A正確，C錯誤；因為，而，可同為正數(shù)也可同為負數(shù)，當時，，當時，，所以，大小關(guān)系不確定，故B，D錯誤.故選A.5．（24-25高三上·吉林長春·階段練習）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的運算法則及基本不等式判斷即可.【詳解】因為，，又，，所以，，且，所以，所以.故選：A.題型2取等條件利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.1．（24-25高二下·江蘇·階段練習）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小值是2B．函數(shù)的最小值為4C．“且”是“”的充分不必要條件D．不等式與有相同的成立條件【答案】C【分析】對于A，由反例，根據(jù)不等式性質(zhì)，可得其正誤；對于B，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)基本不等式，可得其正誤；對于C，由基本不等式，根據(jù)充分不必要條件，可得其正誤；對于D，由重要不等式與基本不等式，可得答案.【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，由，則，，當且僅當時，等號成立，顯然等號不能成立，故B錯誤；對于C，當時，，當且僅當時，等號成立，所以“且”是“”的充分不必要條件，故C正確；對于D，當時，成立，當時，成立，故錯誤.故選：C.2．（24-25高一上·北京·期末）若，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】AD通過分析符號可完成判斷；B由基本不等式可判斷選項正誤；C由做差法可判斷選項正誤.【詳解】對于A，因，則同號，但由題不能判斷同為正或同為負，當為負數(shù)時，，則A錯誤；對于B，，當且僅當，即時，取等號，故B正確對于C，，故C錯誤；對于D，由A分析，當為負數(shù)時，，則D錯誤；故選：B3．（24-25高三·全國·階段練習）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，且，則 B．當時，C．當時，的最小值為2 D．當時，【答案】B【分析】利用基本不等式的條件、取等號的條件逐項判斷.【詳解】對于A，當時，顯然不成立，A錯誤；對于B，當時，，，當且僅當時取等號，B正確；對于C，當時，，當且僅當時取等號，而，不能取到等號，C錯誤；對于D，取，，D錯誤.故選：B4．（24-25高三·上?！つM）已知兩個正數(shù)的算術(shù)平均值大于等于它們的幾何平均值，類比此定理，有以下結(jié)論：三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù)，即當均為正實數(shù)時，，當且僅當時等號成立；利用上述結(jié)論，判斷下列命題真假，則真命題為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】將各選項中的代數(shù)式變形，利用三元均值不等式可判斷各選項的正誤.【詳解】因為，則，當且僅當時，即當時，等號成立，故AC選項錯誤；因為，則，當且僅當時，即當時，等號成立，故B選項錯誤；因為，，當且僅當時，即當時，等號成立，故D選項正確.故選：D5．（2023·河北·三模）已知，那么以下關(guān)于式子的分析判斷正確的選項是（

）（1）；（2）上式當且僅當即時，等號成立；（3）所以當時，取得最小值A(chǔ)．以上全正確 B．（1）錯 C．（2）錯 D．（3）錯【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式及求最值的條件，逐一分析判斷，即可求解.【詳解】根據(jù)條件，由基本不等式可知，（1）（2）均正確，對于（3），由基本不等式知，求最小值，則需滿足“一正二定三相等”的原則，求和的最小值，需要乘積為定值，而不為定值，所以（3）錯，故選：D.題型3基本型：湊配對勾型對勾型結(jié)構(gòu)：，容易出問題的地方，在于能否“取等”,如，對勾添加常數(shù)型對于形如，則把cx+d轉(zhuǎn)化為分母的線性關(guān)系：可消去。不必記憶，直接根據(jù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化1．（2025高三浙江階段練習）已知，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】因，則，則，等號成立時.故的最小值是.故選：C2．（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性解不等式得出的取值范圍，最后通過對式子變形，利用基本不等式求最值.【詳解】當時，恒成立，當時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增．又因為，當時，，對時，0也成立，所以在上單調(diào)遞增．已知正數(shù)滿足，則，解得或（負值舍去），所以，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為8．故選：C.3．（2025高三·湖南郴州·階段練習）已知，則的最大值為（

）A． B．0 C．4 D．【答案】D【分析】將原式變形，再結(jié)合基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，所以，，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：D4．（24-25高二下·北京·期中）若函數(shù)在處取最小值，則（

）A．1 B．2 C．4 D．2或4【答案】B【分析】利用基本不等式計算可得.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以，解得.故選：B5．（22-23高三全國·階段練習）函數(shù)y＝3x2＋的最小值是(

)A．3－3 B．3C．6 D．6－3【答案】D【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，當且僅當時等號成立.故選：.題型4重要基礎(chǔ)：分離常數(shù)型構(gòu)造分離常數(shù)型構(gòu)造法：，可以考慮直接分離常數(shù)構(gòu)造對勾型，或者分母換元構(gòu)造對勾。1．（24-25高三下·廣東東莞·階段練習）若則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將變形為，設(shè)，根據(jù)基本不等式即可求解．【詳解】，因為，所以，設(shè)，則，當且僅當時等號成立，此時，解得，故選：A．2．（24-25高三·云南昭通·階段練習）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.【詳解】當時，，函數(shù)，當且僅當，即時取等號，所以所求最小值為2.故選：A3．（23-24高按·安徽蕪湖·模擬）已知，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先變形已知，再利用基本不等式求最值.【詳解】，，，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：C.4．（2025高三·全國·專題練習）函數(shù)的最小值為（

）A． B．12 C．9 D．【答案】A【分析】解法一,化簡，利用“”將轉(zhuǎn)化為可以利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式求最小值即可，要注意等號能否取到.解法二,求，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值即可.【詳解】解法一：因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為.解法二：由題意知，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故的最小值為.故選：A.5．（24-25高三·云南昆明·階段練習）已知，則函數(shù)有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值6 D．最小值8【答案】B【分析】先把化成，再結(jié)合基本不等式求和的最大值，過程中要注意的取值范圍.【詳解】因為.因為，所以，.所以，當且僅當，即時，等號成立.所以，則函數(shù)有最大值.故選：B題型5“1”的代換：基礎(chǔ)模型“1”的代換.利用常數(shù)代換法。多稱之為“1”的代換。1．（24-25高三·貴州貴陽·階段練習）若隨機變量，且，其中m，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)得出，再應(yīng)用基本不等式計算求解最小值即可.【詳解】由隨機變量，且，得，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為，故選:C2．（24-25高三·黑龍江哈爾濱模擬）在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，然后由“1”的代換應(yīng)用基本不等式求得最小值．【詳解】由題意，∴，當且僅當，即時等號成立．故選：B.3．（24-25高三重慶九龍坡·階段練習）已知，，，則的最小值為（

）A．9 B． C．4 D．6【答案】B【分析】利用“1”的妙用，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，當且僅當b2a=2ab，且故的最小值為，故選：B4．（24-25高一下·貴州遵義·期中）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．12 C． D．27【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由，，得，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是.故選：C5．（2025·河南信陽·模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】利用“1”的代換結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因為所以.其中均正數(shù).當且僅當，即時取等號.故選：C題型6“1”的代換：單變量隱“和”構(gòu)造型單變量隱“和”構(gòu)造型：形如1．（23-24高三·陜西咸陽·階段練習）已知實數(shù)x滿足，則的最小值為（

）A．9 B．18 C．27 D．36【答案】C【分析】利用，結(jié)合基本不等式求和的最小值.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號.故選：C2．（24-25高三上·湖北·階段練習）已知隨機變量，且，則的最小值為（

）A．9 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得，應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標式的最小值.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性及已知，有，可得，則，故，當且僅當，則時取等號，綜上，目標式的最小值為3.故選：B3．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，則的最小值為（

）A．25 B．6 C．10 D．5【答案】D【分析】利用常值代換法和基本不等式即可求其最小值.【詳解】由題意得，則，當且僅當，即時，等號成立．故的最小值為5．故選：D4．（24-25高一上·浙江麗水·期中）設(shè)，則的最小值為（

）A．81 B．27 C．9 D．3【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式的乘“1”法，即可求解.【詳解】由于，故，故，當且僅當，即時等號成立，故最小值為，故選：B5．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．20 B．25 C．30 D．35【答案】B【分析】由乘“1”法即可求解.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當即取等號，故最小值為25，故選：B題型7“1”的代換：“積、和”混合同除型“積、和”混合同除型原理：1.關(guān)系：如與，可以通過同除（乘）ab互化。2.化歸：如化為，則復(fù)合“1”的代換模型結(jié)構(gòu)。1．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，且，則的最小值為（

）A．12 B．9 C．8 D．6【答案】C【分析】將變形為，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值.【詳解】因為，，，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C2．（24-25高三·廣東廣州·模擬）已知，且，求的最小值為（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】構(gòu)造，結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】因為，且，所以，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立；因此，的最小值為.故選：B3．（22-23高三·新疆·階段練習）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的代換求解的最小值，然后利用恒成立法則轉(zhuǎn)化為，解一元二次不等式即可得解.【詳解】因為，，，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以由恒成立，得，所以.故選：D.4．（24-25高三上·四川成都·模擬）已知，，則的最小值是（

）A． B． C． D．17【答案】B【分析】方法一：由，利用基本不等式結(jié)合“”的妙用即可求解；方法二：由，則，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】方法一：，則，當且僅當，即，時取等號.方法二：，則，當且僅當，即，時取等號.故選：B.5．（24-25高三上·陜西西安·期末）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．9【答案】B【分析】利用“1”的代換結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】由，得，則，當且僅當時，等號成立.故選：B題型8“1”的代換：“積、和”混合解不等式型“積、和”混合解不等式型原理：1.原理：如有“和”有“積”，則結(jié)合所求的是和（或積），則對積（或和）用均值，達到“消去”積（或和）的目的，然后再解關(guān)于積（或和）的一元二次不等式。2.易錯：對于求和型，需要滿足條件等式中的和的系數(shù)比與所求的系數(shù)比相等。如：滿足，求。若，求型，則失敗。需要用反解代入等其它方法1．（24-25高三·湖南長沙·模擬）已知，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】將拼湊成，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】原式變形可得，由得，所以，當且僅當即時取等號；所以.故選：C2．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】利用基本不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式即可求解．【詳解】由題意可知，當時等號成立，即，令，則解得或舍即，當且僅當時，等號成立．故選：C.3．（24-25高三·云南昭通·模擬）若正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用基本不等式將方程化成，取求解關(guān)于的一元二次不等式即得.【詳解】正實數(shù)滿足，又，則，當且僅當時取等號，設(shè)則，代入整理可得，解得或，因，故，故當時，取得最小值為2.故選：B.4．（24-25高三上·山東泰安·期末）若，則的最小值為（

）A．12 B．16 C．20 D．25【答案】C【分析】由，代入,求解一元二次不等式即可；【詳解】，當且僅當時取等號，即，即，因為，所以，所以的最小值為20，故選：C5．（24-25高三·山東濱州·模擬）若，，且，則的最小值為（

）A． B．25 C．5 D．1【答案】B【分析】根據(jù)利用基本不等式結(jié)合一元二次不等式運算求解.【詳解】因為，，且，即，且，當且僅當時等號成立，可得，解得或（舍去），所以，當且僅當，時等號成立，所以的最小值為.故選：B題型9構(gòu)造分母型：單分母基礎(chǔ)型形如pa+b=t，求型，則可以湊配（pa+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進行變換湊配。1．（24-25高二下·河北保定·階段練習）已知，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合條件可得，展開等式右側(cè)，結(jié)合基本不等式求其最小值即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，又，當且僅當時等號成立，，當且僅當時等號成立，，當且僅當時等號成立，三個等號可同時成立，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為，故選：A.2.（24-25高三上·山東臨沂·階段練習）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，，且，則，所以，當且僅當時，即當，時，所以的最小值為，因為恒成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B.3.（19-20高二上·天津·期中）已知，，，則的最小值是（

）A．3 B． C． D．9【答案】B【分析】先運用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡已知式為，結(jié)合所求式的結(jié)構(gòu)，將其化成，利用常值代換法將所求式湊成積為定值，借助于基本不等式求解即得.【詳解】由可得:,即,則則,當且僅當時,等號成立.由解得：，即當時，的最小值是.故選：B.4.（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知，若正實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得，然后利用基本不等式的常數(shù)代換技巧求解最值即可.【詳解】由題意得，故是定義在上的奇函數(shù)，由為增函數(shù)知是增函數(shù)，因為，所以，即，所以.故選：A5.（24-25高三上·河北石家莊·階段練習）已知非負實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可得，利用“”乘以構(gòu)建基本不等式，再根據(jù)不等式性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，則，所以，根據(jù)不等式性質(zhì)可知，當且僅當時等號成立，即滿足條件，所以，所以的最小值為.故選：B題型10構(gòu)造分母型：雙分母基礎(chǔ)型形如a+b=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進行變換湊配。1.．（24-25高一上·重慶·期中）已知實數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由已知條件構(gòu)造出所求代數(shù)式分母有關(guān)的等式，由基本不等式的巧用“1”求得最小值.【詳解】由，得，設(shè)，，則，，當且僅當，即，，時取等號.故選：C.2.（24-25高三·浙江金華·階段練習）已知且，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，求出，利用基本不等式求出的范圍，求出的范圍，判斷選項.【詳解】若，則，故，當且僅當，即取等號，由恒成立，即，則，故或.故選：B.3.（24-25高三·河南漯河·階段練習）已知實數(shù)，，滿足，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】變形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】實數(shù)，，滿足，故，即，故，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為1.故選：C4.（2025·福建泉州·二模）若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，，，將代數(shù)式與相乘，展開后可求出的最小值.【詳解】因為，，則，，由題意可知，則，，當且僅當時，即當時，等號成立，所以的最小值是.故選：B.5.（24-25高三·福建三明·階段練習）設(shè)正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，則，，代入所求式子，利用基本不等式中1的妙用求最小值．【詳解】∵正數(shù)滿足，∴，且，則，，設(shè)，，則，，，，∴，當且僅當，即時，等號成立，則的最小值為．故選：B．題型11構(gòu)造分母型：三角函數(shù)型三角函數(shù)型構(gòu)造：利用定值結(jié)構(gòu)構(gòu)造求解。利用三角函數(shù)兩角和與差等恒等公式求解1.（20-21高一上·山西臨汾·期末）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】，所以，，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值是.故選：A.2.（20-21高三陜西安康·階段練習）已知?角滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．18【答案】C【分析】計算出，再將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】，，、均為銳角，則，，，當且僅當時，等號成立．的最小值為8．故選：C3.（2023·河南開封·模擬預(yù)測）已知銳角滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】計算出，再將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】，，、均為銳角，則，，，當且僅當時，即當時，故，時等號成立.因此，的最小值為.故選：C4.（20-21高一上·黑龍江哈爾濱·期末）函數(shù)的最小值為（

）A． B．3C． D．【答案】C【分析】運用乘1法，可得，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】由三角函數(shù)的性質(zhì)知當且僅當，即，即，時，等號成立.故選：C5.（23-24高一上·浙江杭州·期末）設(shè)，則的最小值為.【答案】25【分析】利用二倍角公式及三角函數(shù)的有界性放縮，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由，得，當且僅當時，，因此，當且僅當時取等號，所以所求最小值為25.故答案為：25題型12構(gòu)造分母型：待定系數(shù)（湊配）型型如1．（21-22高三上·河南·階段練習）已知，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】，，當且僅，即時等號成立，所以的最小值為.故選：C2.（22-23高三上·河北保定·階段練習）不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，則有，所以，化簡后利用基本不等式可求得其最小值.【詳解】方程有兩個不等的實數(shù)根，，，即，，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：C3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）若，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，可將題目轉(zhuǎn)化為已知，求的最小值，再結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】設(shè)，則，且，題目轉(zhuǎn)化為已知，求的最小值，即，而，當且僅當，即時等式成立.所以.故選：C.4、（22-23高二下·浙江溫州·期中）點在線段上（不含端點），為直線外一點，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理推論可得且，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因為，所以，又點在線段上（不含端點），所以，且，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：D.5.（23-24高三上·四川巴中·開學考試）已知且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】令，結(jié)合可得，由此即得，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意得，，令，則，由得，故，當且僅當，結(jié)合，即時取等號，也即，即時，等號成立，故的最小值為9，故選：B題型13構(gòu)造分母：分離再構(gòu)造型對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解1.（21-22高三上·遼寧·階段練習）若實數(shù)（），則的最小值為（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意化簡得到，且，進而得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因為，且，所以，且，所以，當且僅當且，即，時，等號成立，所以的最小值為，故選：A．2.（2022·安徽·模擬預(yù)測）若實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對已知條件和要求最值的代數(shù)式恒等變形之后應(yīng)用均值不等式即可求解【詳解】因為，，所以，又所以當且僅當即，時，取等號所以故選：A3.（23-24高三·廣東佛山·階段練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值即可.【詳解】因為，所以，則．因為，所以，當且僅當，即，時，等號成立，故的最小值是．故選：A.4.（23-24高三·江蘇南通·階段練習）已知，，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】先根據(jù)題意得到，從而得到，再根據(jù)“1”的妙用及基本不等式即可求解．【詳解】由，，，則，則，所以．當且僅當，即，時，等號成立，所以的最小值為．故選：A．5.（24-25高一上·貴州貴陽·階段練習）若，，且，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．4【答案】B【分析】由變形可得，利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以，因為，，所以，同理，又，因為，，，由基本不等式就可得，所以，當且僅當，時等號成立，所以的最小值為.故選：B.題型14因式分解型1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）1.（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值.【詳解】由，得，又，，即，，則，即，解得，當且僅當，即，時，等號成立，所以，故選：C.2.（23-24高一上·福建龍巖·期末）已知，，且，則的最小值是（

）A． B．4 C． D．5【答案】D【分析】由已知可得，再根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】由，得，因為，，所以，，則，當且僅當，即，時，等號成立，所以的最小值是5．故選：D3.（24-25高三上·江蘇·階段練習）已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】A【分析】由條件可得，，變形代數(shù)式，利用基本不等式求其最小值.【詳解】因為，所以，因為，，所以，又，因為，，由基本不等式就可得，當且僅當，時等號成立，所以，當且僅當，時等號成立，所以的最小值為.故選：A4.（24-25高三·河北石家莊·階段練習）已知，且，則的最小值為.【答案】2【分析】先由題意得且，接著將代入整理得，再根據(jù)基本不等式中常數(shù)“1”的妙用方法即可計算求解.【詳解】因為，且，所以且，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為2.故答案為：2.5.（24-25高一上·河南·期末）設(shè)，，且，則的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)，得到，從而，再分，，，，，求解.【詳解】解：因為，所以，所以．當，時，，，所以，當且僅當，即，時等號成立；當，時，此時．不成立；當時，，此時；當，時，，，不成立；當，時，，，不成立；綜上，的最大值為，故答案為：題型15齊次同除換元型一般是齊次型分式，可以考慮同除，構(gòu)造單變量型，或者構(gòu)造對勾型?；疽?guī)律一般情況下，滿足（1）分式；（2）分子分母齊次。則可以同除構(gòu)造單變量來求最值。1.（23-24高三·上海浦東新·模擬）已知實數(shù)，則的最大值為．【答案】【分析】化簡整理后，將看成一個整理，利用基本不等式求最值即可.【詳解】，當且僅當，，即時，等號成立.故答案為：2.（22-23高三上·江蘇南通·階段練習）已知中有且僅有一個元素，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)已知求出，化簡，再換元利用基本不等式求解.【詳解】由于有且僅有一個元素，所以.所以.所以,設(shè)，所以.當且僅當時等號成立.所以的最小值為.故答案為：3.（2021高三·浙江杭州·階段練習）若，則的取值范圍是．【答案】【分析】由基本不等式可得，可得，可得，即有，化簡所求式子，運用對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．【詳解】解：，，，可得，當且僅當時取等號；可得，，可得，即有，則，可令，由在，遞減，可得，則的取值范圍是，故答案為：．4.（22-23高三·浙江·模擬）已知a，b，，記，則T最大值為.【答案】【解析】將分子分母同除以ac，利用基本不等式可得分母，再將，分子分母同除以b，利用基本不等式求解.【詳解】，而，，當且僅當時，等號成立，所以，.當且僅當，即時取等號，所以T最大值為故答案為：5.（22-23高一上·上海寶山·階段練習）已知為正實數(shù)，則的取值范圍是.【答案】【解析】先將分式的分子分母同除以，然后采用換元的方法令，根據(jù)基本不等式的變形求解出原式的最小值，再根據(jù)分析原式的最大值，由此求解出原式的取值范圍.【詳解】因為，令，因為，所以，所以原式，又因為，所以，所以，所以原式，取等號時，即，又因為時，，綜上可知原式的取值范圍是，故答案為：.題型16反解代入消元型條件等式和所求等式之間互化難以實現(xiàn)，可以借助反解代入消元，再重新構(gòu)造。當題目中有2個字母時，利用題目的方程將所求式子進行消元是常用方法.1.（2022·全國·高三專題練習）已知，且滿足，則的最小值為.【答案】/【分析】由題意，，故，結(jié)合均值不等式，即得解【詳解】∵，且滿足，∴，=，當且僅當時，的最小值為.故答案為：2.（2020·江蘇南京·南京市第五高級中學校考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為___________.【答案】/【分析】由條件可得且，利用基本不等式求解即可【詳解】由得，又，為正實數(shù)，所以，得，則，，當且僅當,即時取等號，所以的最小值為，故答案為：3.（2021·天津薊州·天津市薊州區(qū)第一中學?？寄M預(yù)測）設(shè)，，且，則的最小值為.【答案】【分析】由得到，再將化為積為定值的形式，根據(jù)基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：4.（2023·全國·高三專題練習）若均為非負實數(shù)，且，則的最小值為.【答案】1【解析】由條件可得，然后將變形為，運用基本不等式即可求出.【詳解】因為，且均為非負實數(shù)所以所以當且僅當即時取得最小值所以的最小值為1，此時故答案為：15.（2022秋·全國·高一專題練習）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為.【答案】【解析】由得出，進而可得出，然后利用基本不等式可求出所求代數(shù)式的最小值.【詳解】，，，，且，且.，當且僅當，即當時，等號成立.因此，的最小值為.故答案為：.題型17換元型換元型：1.二次配方型，可以三角換元2.和前邊分母構(gòu)造換元型一樣，可以代數(shù)換元，3.齊次分式同除型，可以代數(shù)換元，1.（22-23高三·浙江·階段練習）已知，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】設(shè)，，，即可表示出、、，再利用基本不等式計算可得.【詳解】解：設(shè)，，，則，，，且，，，∴，，，∴，令，∴.當且僅當，即，即時等號成立.（如，即時等號成立）.∴的最小值為；故選：B．2.（21-22高二下·河南洛陽·階段練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用雙換元法化簡后，根據(jù)基本不等式計算【詳解】，令，，則，，，當且僅當，即，時，等號成立，故有最小值．故選：B3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）若，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，可將題目轉(zhuǎn)化為已知，求的最小值，再結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】設(shè)，則，且，題目轉(zhuǎn)化為已知，求的最小值，即，而，當且僅當，即時等式成立.所以.故選：C.4.（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)令，故，，變形得到，由基本不等式“1”的代換求出的最小值，從而得到答案.【詳解】正數(shù)，，滿足，故，令，故，，，，當且僅當，即，時，等號成立，故.故選：D5.（24-25高三·河南新鄉(xiāng)·階段練習）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】把已知等式分解為，再令，解出，然后利用基本不等式求解；【詳解】因為，所以，令，則且，所以.當且僅當時等號成立.故選：C.題型18兩次均值型一般情況下均值用兩次，要保證相同字母“取等”條件和數(shù)值一致。兩次均值，逐次消去，取等條件一致才能成立1.（2022·全國·高一課時練習）已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計算作答.【詳解】因，則，當且僅當且，即時取“=”，所以當時，取最小值.故選：B2.（2021·全國·高三專題練習）已知，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用特殊值排除錯誤選項，由此得出正確答案.另可用基本不等式證明A選項正確.【詳解】當時，，，所以CD選項錯誤.當時，，，所以B選項錯誤.，即當且僅當或時等號成立.則，，解得.故選：A3.（2022秋·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習）設(shè)，則取得最小值時，的值為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【解析】轉(zhuǎn)化條件為原式，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】，當且僅當，即，，時，等號成立.故選：A.題型19萬能“K”型設(shè)K法的三個步驟：⑴、問誰設(shè)誰：求誰，誰就是K；⑵、代入整理：整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值1.（24-25高三上·山東聊城·階段練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】【分析】由條件結(jié)合基本不等式證明，解不等式可得結(jié)論.【詳解】由，得，所以，因為，，所以，所以，即，所以，當且僅當，且，即時，上式取“=”，所以的最小值為．故選：D.2.（24-25高三·河北·階段練習）已知，，，則的最小值為.【答案】6【分析】化簡可得，結(jié)合解不等式可得，解不等式可得結(jié)論.【詳解】因為，，所以，當且僅當時等號成立，所以，解得或（舍去），所以的最小值為.故答案為：.3.（22-23高二上·湖南懷化·期末）已知正數(shù)滿足：，則的最小值是．【答案】2.【解析】將等式兩邊同時乘以，然后利用基本求解出，同時分析取的條件是否滿足.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，取等號時，所以，所以，當時，符合條件，所以.故答案為：.【點睛】本題考查基本不等式的綜合應(yīng)用，對于轉(zhuǎn)化和計算的能力要求較高，難度較難.利用基本不等式求解最值時，注意分析取等號時對應(yīng)的條件是否滿足.4.4.（22-23高三·浙江麗水·階段練習）若正數(shù)滿足，且，則A．為定值，但的值不定 B．不為定值，但是定值C．，均為定值 D．，的值均不確定【答案】C【分析】由于x，y都是正數(shù)，可以根據(jù)不等式性質(zhì)得到，又，那么，再由，可知，能解出x和y的值．【詳解】由題得，因為，則有且，故有，解方程組，得，x，y均為定值，故選C．【點睛】本題主要考查不等式性質(zhì)的理解和應(yīng)用，屬于典型考題．題型20無條件：“裂項”型1.（24-25高三·上?！るA段練習）設(shè)是正實數(shù)，則的最大值為.【答案】【分析】依題意變形為，再結(jié)合基本不等式，令，即可求解.【詳解】，，，當，得，則，得，得或（舍），所以所以的最大值為.故答案為：2（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知x，y，z均為正實數(shù)，則的最大值為.【答案】【分析】將變?yōu)?，然后利用基本不等式求解即?【詳解】因為x，y，z均為正實數(shù)，所以，當且僅當時，等號成立.所以的最大值為.故答案為：.3.（22-23高三·湖北武漢模擬）是不同時為0的實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】若要使最大，則均為正數(shù)，即符號相同，不妨設(shè)均為正實數(shù)，則，當且僅當，且取等，即取等號，即則的最大值為，故選：A4.（23-24高一上·上海徐匯·期中）若x，y，z均為正實數(shù)，則的最大值是．【答案】【分析】將拆開為，同時用兩次均值不等式構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)即可.【詳解】，所以，當且僅當時取到等號，故答案為：題型21三元型不等式一般地，處理多元最值問題的思考角度有以下幾個：從元的個數(shù)角度，關(guān)鍵在于減元處理，代入消元、整體換元、三角換元等方法；從元的次數(shù)角度，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化目標函數(shù)（代數(shù)式），如一次二次比分式型，齊次比型，雙勾函數(shù)型等等；從元的組合結(jié)構(gòu)角度，關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)分析，將問題轉(zhuǎn)化為整體元的和、積、差、平方和、倒數(shù)和等并列結(jié)構(gòu)的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等號取到的條件.1.（24-25高三上·廣東深圳·期末）已知的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)條件得到，再通過轉(zhuǎn)化和構(gòu)造，利用基本不等式，即可求解.【詳解】由，得到，所以，則，又，所以，當且僅當，即時取等號，又，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，故答案為：.2.（24-25高三上·安徽合肥·階段練習）定義表示實數(shù)，中的較大者，若，，是正實數(shù)，則的最小值是．【答案】【分析】討論與的大小關(guān)系，在每種情況中分別用基本不等式和不等式的性質(zhì)確定的范圍，即可得解．【詳解】按和分類：記，當時，，，當且僅當，，時，等號成立；當時，，，當且僅當，，時，等號成立．綜上所述，的最小值是．故答案為：.3.（24-25高一上·重慶·期中）已知正實數(shù)、、滿足，則的最小值為，的最小值為.【答案】；/【分析】根據(jù)基本不等式中常值代換法可得第一空；利用兩次基本不等式計算即可.【詳解】因為，，所以，所以，當且僅當，即時取得最小值；易知，當且僅當?shù)谝粋€不等號可取等號，當且僅當?shù)诙€不等號可取等號.故答案為：；.4.（24-25高三·天津西青·階段練習）設(shè)正實數(shù)，，，滿足，則當取得最大值時，的最大值為【答案】/【分析】將化為，利用基本不等式可求出時，取最大值，進而化簡為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即得答案.【詳解】由題意知正實數(shù)，，，滿足，即，則，則，當且僅當，即時取等號，故，即最大值為，此時，故，當，即時，取最大值，故答案為：題型22壓軸小題綜合應(yīng)用1．（2025·湖南郴州·三模）（多選）設(shè)正實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A：設(shè)，整理可得得，結(jié)合運算求解；對于BD：利用基本不等式