2026年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)——專題06抽象函數(shù)大全培優(yōu)歸類題型1抽象函數(shù)基礎(chǔ)：單調(diào)性型證明解答抽象函數(shù)問題，用賦值法進(jìn)行解答就是一種行之有效的方法.賦值主要從以下方面考慮：①

令等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值；②

令或，且，判定抽象函數(shù)的單調(diào)性；③

令，判定抽象函數(shù)的奇偶性；④

換為，確定抽象函數(shù)的周期；⑤

用或換x為等來解答有關(guān)抽象函數(shù)的其它一些問題.1．（24-25云南昭通·模擬）已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（

）A． B． C．為增函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【分析】利用賦值法求出、及的值，從而判斷AB；令，結(jié)合的值，可得，從而判斷CD.【詳解】對于A，令，則，又因為，所以，令，則，解得，故A錯誤；對于B，令，則，又，解得，故B錯誤；對于C，令，則有，又因為，所以，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確；對于D，由C可知，為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.故選：C.2．（24-25高三·河北保定·階段練習(xí)）已知定義域為的函數(shù)滿足，，且時，，則下列說法正確的（

）A． B．為減函數(shù)C．為奇函數(shù) D．不等式的解集為【答案】D【分析】首先令得到，令，求出可判斷A；當(dāng)時，由可得進(jìn)而確定單調(diào)性可判斷B；令，結(jié)合得可判斷C；根據(jù)的單調(diào)性和解不等式可判斷D.【詳解】令，則，得，對于A，令，則，故A錯誤；對于B，若，則，此時，所以，即時，，所以為上的增函數(shù)，故B錯誤；對于C，令，則，所以，不滿足，所以不是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為為上的增函數(shù)，且，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，不等式的解集為，故D正確.故選：D3．（24-25高三安徽蚌埠·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為，對、，滿足，當(dāng)時，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，且，則，利用函數(shù)單調(diào)性的定義推導(dǎo)出函數(shù)在上單調(diào)遞減，計算得出，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的定義域和單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式組，解之即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，對、，滿足，又當(dāng)時，，令，且，則，則，所以，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，，則不等式可化為，所以，，解得．因此，不等式的解集為.故選：B.4．（24-25高三·湖北武漢·模擬）已知函數(shù)的定義域為，對任意的，都有，當(dāng)時，，且，若，則不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D【分析】先由題設(shè)結(jié)合賦值法求出和，接著求出函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性解不等式得，解該不等式即可得解.【詳解】因為對任意的，都有，，且，所以，且，設(shè)任意，則，則，又，所以，若，則當(dāng)時，，則，矛盾，所以，所以，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以不等式等價于，所以，故即，解得.所以不等式的解集是.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵1是巧妙賦值求出求出和，關(guān)鍵2是由所給條件結(jié)合單調(diào)性定義求出函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).題型2抽象函數(shù)基礎(chǔ)：奇偶性型抽象函數(shù)奇偶性證明，嚴(yán)格遵守奇偶性定義，構(gòu)造f（x）與f（-x）的關(guān)系。1．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足：對于任意的x，，都有成立，且，則（

）A．2025 B．2024 C．1013 D．1012【答案】C【分析】賦值法依次求出的值，以及關(guān)系式，進(jìn)而推得，求出函數(shù)的周期.進(jìn)而結(jié)合的值，可得出當(dāng)i為偶數(shù)時，；當(dāng)i為奇數(shù)時，根據(jù)二項式定理展開式得出除以4的余數(shù)為1，即可得出對應(yīng)值，求和即可得出答案.【詳解】令時，因為，所以.令，則，所以.令，則，所以，則，所以4為的一個周期.又，所以由周期性可知，即．當(dāng)i為偶數(shù)時，為偶數(shù)，所以；當(dāng)i為奇數(shù)時，設(shè)，則，故被4除的余數(shù)為1，所以，所以．故選：C．【點睛】方法點睛：求解與抽象函數(shù)有關(guān)的值時，常采用賦值法，代入計算.2．（2025·甘肅定西·模擬預(yù)測）若定義在上的函數(shù)滿足對任意均有，則稱為“函數(shù)”.已知為“函數(shù)”，且，，則（

）A． B．0 C． D．1【答案】A【分析】由新定義賦值得的圖象關(guān)于直線對稱，進(jìn)一步賦值得為奇函數(shù)，是周期為8的周期函數(shù)，故只需求出的值即可.【詳解】令，則，所以；令，則，所以的圖象關(guān)于直線對稱；令，則，因為不恒成立，所以恒成立，所以為奇函數(shù)，所以，所以，所以是周期為8的周期函數(shù)，令，則，解得，又為奇函數(shù)，所以，所以.故選：A.3．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域為，且對任意的實數(shù)，都有，且，則下列說法錯誤的是（

）A．為偶函數(shù) B．為周期函數(shù)且周期為12C． D．【答案】D【分析】用代替，可得，可判斷C；用替換，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得A正確；用替換，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得B正確；由函數(shù)的周期性可得D錯誤.【詳解】因為，用代替，可得，令，得，即，令，得，所以，C正確；用替換，可得，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，A正確；用替換，可得，所以，所以，所以，即．所以，故是以12為周期的周期函數(shù)，B正確；，所以；，，，所以，D錯誤.故選：D.4．（2025·山東·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】利用賦值法可得是以4為周期的周期函數(shù)，利用周期性可得答案.【詳解】令，則，可得，令，則，可得，令，則，可得，令，則，可得，令，則，可得，令，則，可得，可得是以4為周期的周期函數(shù)，則.故選：D.題型3抽象函數(shù)基礎(chǔ)：周期型在賦值判斷基礎(chǔ)上，可以借助類比“正余弦函數(shù)周期”方式來判斷抽象函數(shù)的周期。1．（2025·河北保定·一模）已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法可得，且為奇函數(shù)，再結(jié)合已知的偶函數(shù)求得8為的一個周期，借助性質(zhì)求出目標(biāo)值.【詳解】函數(shù)的定義域為，且有，令，得，解得；令，得，則，而，即不恒為0，因此，函數(shù)為奇函數(shù)，由為偶函數(shù)，得，則，于是，，8為的一個周期，由，得，即，因此，所以.故選：B【點睛】思路點睛：涉及抽象函數(shù)等式問題，利用賦值法探討函數(shù)的性質(zhì)，再借助性質(zhì)即可求解.2．（24-25高三上·河北衡水·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足且，有，且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合題設(shè)賦值可得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及定義域即可求解.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，可轉(zhuǎn)化為，即，即.因為滿足且，有，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，解得，即不等式的解集為.故選：C.3．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且，，則（

）A． B．1 C．0 D．【答案】B【分析】由已知結(jié)合賦值法推出函數(shù)為偶函數(shù)，進(jìn)而采用變量代換的方法，推出函數(shù)的對稱中心，進(jìn)而推出其周期，再結(jié)合賦值法求得，，，，結(jié)合函數(shù)的周期性，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域為，且，，令，則，即，故為偶函數(shù)；又由為奇函數(shù)，可得，令，則，得，又由可得的圖象關(guān)于點成中心對稱，則；又由可得，又結(jié)合為偶函數(shù)，則，故，即4為的周期，故，則，故故選：B.4．（24-25高三·山西呂梁·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，．若對任意實數(shù)，都有，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】利用賦值可得到遞推關(guān)系，再證明周期性，即可求解.【詳解】將用替換，由對任意實數(shù)，都有，可得，由，所以，即，所以，所以函數(shù)的周期，令，則，因為，所以，所以．故選：D題型4抽象模型：直線型線性抽象函數(shù)，過原點型：--過原點直線型f（x）=kx1．（23-24高三上·北京·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．給出以下四個結(jié)論：①；②可能是偶函數(shù)；③在上一定存在最大值；④的解集為．其中正確的結(jié)論為（

）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】C【分析】令，即可判斷①；令，結(jié)合奇偶性得定義即可判斷②；設(shè)，結(jié)合當(dāng)時，，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷③④.【詳解】對于①，令，則，所以，故①正確；對于②，令，則，所以，所以為奇函數(shù)，又當(dāng)時，，所以不是常函數(shù)，不可能是偶函數(shù)，故②錯誤；對于③，設(shè)，則，則，所以，所以是減函數(shù)，所以在上一定存在最大值，故③錯誤；對于④，因為為減函數(shù)，，由，得，解得，所以的解集為，故④正確.故選：C.2．（23-24高三·四川成都·階段練習(xí)）若且函數(shù)在上單調(diào)，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件先分析出的奇偶性和單調(diào)性，然后根據(jù)條件將轉(zhuǎn)化為（為實數(shù)），再根據(jù)單調(diào)性和奇偶性解不等式求出解集.【詳解】令，所以，所以，令，所以，所以且的定義域為關(guān)于原點對稱，所以是奇函數(shù)；又因為且在上單調(diào)，所以在上單調(diào)遞增；又因為，所以，所以不等式等價于，又因為在上單調(diào)遞增，所以，故選：A.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性判斷、根據(jù)單調(diào)性解不等式，對學(xué)生的分析與轉(zhuǎn)化問題的能力要求較高，難度較難.3．（22-23高三·重慶沙坪壩階段練習(xí)）已知連續(xù)函數(shù)對任意實數(shù)恒有,當(dāng)時,,,則以下說法中正確的是(

)①②是上的奇函數(shù)③在上的最大值是④不等式的解集為A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】因為函數(shù)對任意實數(shù)恒有,當(dāng)時,,,先證明其奇偶性和單調(diào)性,在逐項判斷,即可求得答案..【詳解】奇偶性證明:令令即又故是定義域為的奇函數(shù)單調(diào)性證明:任取且,則;令時,時,又為奇函數(shù)在上是減函數(shù);對于①,因為,故①正確;對于②,因為是定義域為的奇函數(shù),故②正確;對于③,,可得令,可得,,,在上是減函數(shù)在上的最大值是,故③正確；對于④,不等式即則在上是減函數(shù),解得:或,故④錯誤.故選:C．【點睛】本題考查了判斷抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,解函數(shù)不等式,解題關(guān)鍵是掌握判斷奇偶性和單調(diào)性的方法,靈活使用賦值法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.4．（22-23高三·云南玉溪·階段練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)對任意實數(shù)x，y滿足，且，則的值為（

）A． B． C．0 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)條件令，求出，再令，，得出，即可得出的值.【詳解】由題意令，則有，故得令，，則有又∴∴故選:B【點睛】本題主要考查了抽象函數(shù)求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.題型5抽象模型：上下平移型線性抽象函數(shù)上下平移型，不過原點直線型型：1．（24-25高三·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，對任意實數(shù)，滿足，且，當(dāng)時，．給出以下結(jié)論：①；②；③為上減函數(shù)；④為奇函數(shù)；其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④【答案】A【分析】利用抽象函數(shù)的關(guān)系式，令判斷①的正誤；令，判斷②的正誤；令，可得當(dāng)時，，再令，結(jié)合單調(diào)性的定義判斷③的正誤；令判斷④的正誤；【詳解】因為，故令，可得，即，解得，故①正確；令，，可得，又，即，解得，再令，可得，即，故②正確；令，可得，即因為，則，可得，所以，令，不妨設(shè)，可得，即，因為，則，則，可得，即，所以為上增函數(shù)，故③錯誤；令，可得，即，整理得，所以為奇函數(shù)，故④正確；故選：A．2．（24-25高一上·河南駐馬店·期末）已知函數(shù)對于任意、，總有，且當(dāng)時，，若，則不等式的解集為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，分析出函數(shù)是柯西函數(shù)方程，所以，代入求出，根據(jù)代入計算即可.【詳解】令，可得，可得，令，則，對任意的、，總有，則，這是柯西函數(shù)方程.由于當(dāng)時，，可得對于時，，表明是一個線性函數(shù)，形式為，，因此.因為，所以將代入，得到，即，因此函數(shù)，又因為，所以，即，因此，不等式的解集為.故選：D.3．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）若對，，有，則函數(shù)在上的最大值和最小值的和為（

）A．4 B．8 C．6 D．12【答案】B【分析】利用賦值法可得以及，即可構(gòu)造函數(shù)，判斷奇偶性，即可根據(jù)奇偶性的性質(zhì)可得為奇函數(shù)以及最值.【詳解】，．有，取，則，故，取，則，故，令，則,故為奇函數(shù)，，設(shè)，，故為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，故，則，故故函數(shù)在上的最大值和最小值的和是8，故選：B．4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，對任意實數(shù)x，y都有，當(dāng)時，，且，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意利用定義證明函數(shù)在R上單調(diào)遞增，繼而轉(zhuǎn)化不等式，求解即可.【詳解】任取，從而,因為，所以，所以，則在R上單調(diào)遞增．不等式等價于不等式，即．因為在R上單調(diào)遞增，所以，解得．故選：A.題型6抽象模型：一元二次型一元二次函數(shù)型模型：模型特征：線性抽象+xy型1．（24-25高三上·山東菏澤·模擬）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，則（

）A．4 B．8 C．14 D．16【答案】C【分析】依題意利用賦值法代入計算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意令，則，可得，再令，則，可得.故選：C2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，若，則（

）A．25 B．125 C．625 D．15625【答案】C【分析】利用賦值法結(jié)合條件可得進(jìn)而即得；或構(gòu)造函數(shù)求解.【詳解】解法一：由題意取，可得即知則.解法二：令，則，所以，即，所以，則.解法三：由可構(gòu)造滿足條件的函數(shù)，可以快速得到.故選：C.3．（23-24高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【分析】分別令，，得出與的關(guān)系后可得結(jié)論．【詳解】令，得；令，，得；令，得.將以上三式相加得，即.故選：A．4．（2023·全國·三模）已知對于每一對正實數(shù)，，函數(shù)滿足：，若，則滿足的的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】利用遞推式判斷在上的符號及單調(diào)性，并得到，即可判斷的個數(shù).【詳解】令且均屬于，則，又，所以，所以當(dāng)，，所以，滿足僅有，即僅有1個.故選：A題型7抽象模型:一元三次型一元三次模型1．（21-22高三上·黑龍江牡丹江·模擬）已知函數(shù)對任意的實數(shù)都有，且，若當(dāng)，且時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令可得，利用累加法可求時的解析式，利用參變分離及基本不等式可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】令可得，化簡可得，故，，累加可得，，不等式等價于，因為，故在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故選A.【點睛】本題考查函數(shù)解析式的求法以及含參數(shù)的不等式恒成立問題，屬于中檔題，注意利用參變分離可把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.2．（2024·青?！ざ＃┮阎x在R上的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為f'x，且滿足，，，給出下列四個結(jié)論：①為奇函數(shù)；②；③：④在0,1上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號為（

）A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】令求出.令可判斷①；令，得，再求出、可判斷③；利用累加法求出f'x可判斷②；利用導(dǎo)數(shù)可判斷④.【詳解】對于①，令，得，所以.令，得，所以為奇函數(shù)，故①正確；對于③，令，得，所以，，故③錯誤.對于②，因為，所以，，，，，以上各式相加得，所以，故②正確.對于④，當(dāng)x∈0,1時，f'x<0，所以故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：②中的解題的關(guān)鍵點是利用累加法求出的解析式.3．（多選）（24-25高三上·陜西安康·開學(xué)考試）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，當(dāng)時，，且，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．C．在上單調(diào)遞增 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義計算判斷AB；利用單調(diào)性定義推理判斷C；利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，賦值計算，結(jié)合函數(shù)的周期計算判斷D.【詳解】對于A，取，得，解得，取，則，即，又，因此為奇函數(shù)，A錯誤；對于B，，解得，因此，B正確；對于C，，則，，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，C正確；對于D，取，則，求導(dǎo)得，于是，解得，由，求導(dǎo)得，則，，又函數(shù)的周期為4，，所以，D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：探討抽象函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是適當(dāng)?shù)刭x值，結(jié)合已知確定函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及相關(guān)函數(shù)值.4．（多選）（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知非常數(shù)函數(shù)的定義域為，且，則（

）A． B．或C．是上的增函數(shù) D．是上的增函數(shù)【答案】AC【分析】A.令判斷；B.令，分別令，判斷；CD.由，令判斷.【詳解】解：在中，令，得，即．因為函數(shù)為非常數(shù)函數(shù)，所以，A正確．令，則．令，則，①令，則，②由①②，解得，從而，B錯誤．令，則，即，因為，所以，所以C正確，D錯誤．故選：AC題型8抽象模型:正切函數(shù)型分式正切函數(shù)兩角和公式型1．（多選）（20-21高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）下列指定的函數(shù)中，一定有的有（

）A．指定的函數(shù)是奇函數(shù)；B．指定的函數(shù)滿足：，都有；C．指定的函數(shù)滿足：，都有且當(dāng)時，；D．設(shè)，指定的函數(shù)滿足：都有.【答案】BD【解析】由在處可能沒有意義可判斷A；令可判斷B；令可判斷C；直接可計算，即可判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)在處可能沒有意義，所以A錯；對于B，令中得，所以B對；對于C，令，因為有，∴，，所以C錯；對于D，由，所以D對.故選：BD.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的相關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.2．（多選）（22-23高三上·福建寧德·期末）已知函數(shù)滿足有定義，，當(dāng)時，，且當(dāng)都有意義時，，則以下說法正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是周期函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABC【分析】利用賦值法能夠確定選項ABD，利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷C.【詳解】由題知，令，，則有，當(dāng)時，解得；令，且在定義域內(nèi)，則，則，即，是奇函數(shù)，A正確；由題知，=，所以周期為，故B正確；由，而，所以D選項錯誤；關(guān)于C，對于任意，且，有，因為，，所以，所以也即，所以在上單調(diào)遞增；且在時，；任取，且，則，，且，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上是增函數(shù)，故C正確.故選：ABC3．（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且，，則（

）A．B．為偶函數(shù)C．為周期函數(shù)，且4為的周期D．【答案】ACD【分析】對于選項A：令中，即可得出答案；對于選項B：令中，得出，根據(jù)已知得出其定義域關(guān)于軸對稱，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得出答案；對于選項C：令中，得出，即可根據(jù)周期定義得出答案；對于選項D：根據(jù)周期得出答案.【詳解】A選項：令，得，故A正確.B選項：令，則，因此，又的定義域為，關(guān)于軸對稱，所以為奇函數(shù)，故B錯誤.C選項：令，則，所以，因此，所以為周期函數(shù)，且周期為4，故C正確.D選項：，故D正確.故選：ACD.4.（2007·山東·高考真題）給出下列三個等式：，，．下列函數(shù)中不滿足其中任何一個等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)指、對數(shù)的運算性質(zhì)，和角公式，逐一驗證各個選項滿足的某個等式即可判斷作答【詳解】對于A，因，則滿足，A不是；對于C，因，則滿足，C不是；對于D，因，則滿足，D不是；對于B，顯然不能變形，，因此不滿足三個等式中任一個，B是.故選：B題型9抽象模型:余弦與雙曲余弦型余弦與雙曲余弦模型1．定義域為的函數(shù)，對任意，且不恒為0，則下列說法錯誤的是（

）A． B．為偶函數(shù)C． D．若，則【答案】D【分析】對于A，令，或，結(jié)合不恒為0，可得，由此即可判斷；對于B，由，不妨令，即可判斷；對于C，令，通過換元即可判斷；對于D，令，得關(guān)于1,0中心對稱，結(jié)合為偶函數(shù)，可得為周期為4的函數(shù)，算出即可判斷.【詳解】對于A，令，有，所以或，若，則只令，有，即恒為0，所以只能，故A正確；對于B，由A可知，不妨令，有，即，且函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，它關(guān)于原點對稱，所以偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，故B正確；對于C，令，有，令，由x∈R，得，所以當(dāng)時，有，即當(dāng)x∈R時，，故C正確；對于D，若f1=0，令，有，所以關(guān)于1,0中心對稱，又為偶函數(shù)，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，又，f1=0所以，所以，所以，故D錯誤.故選：D.2.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．為奇函數(shù) C．有零點 D．【答案】D【分析】利用賦值法，結(jié)合奇函數(shù)的定義、零點的定義逐一判斷即可.【詳解】A：在中，令，得，因為，所以，所以本選項不正確；B：函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，由上可知，顯然不符合f-x=-fC：在中，令，得，或，顯然函數(shù)y=fxD：在中，令，得，所以本選項正確，故選：D3.函數(shù)的定義域為，且，.若對任意實數(shù)，都有，則（

）A． B．-1C．0 D．1【答案】D【解析】將用替換，用替換，可得，從而可得，進(jìn)而可得，可求出函數(shù)的周期，再令，可求出，由即可求解.【詳解】將用替換，用替換，由對任意實數(shù)，都有，可得，由，所以，即，所以，所以函數(shù)的周期，令，則，因為，所以，所以，故選：D【點睛】本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，利用函數(shù)的周期性定義求出函數(shù)的周期，解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法，此題屬于中檔題.4.設(shè)函數(shù)的定義域為R，且，，若對于任意實數(shù)x，y，恒有則下列說法中不正確的是A． B．C． D．【答案】D【分析】令，即可求解，令，，即可求出，令，，可得結(jié)論，令，，.【詳解】由題意，令，可得，，，故A正確，令，，可得，，故B正確令，，可得，，；，，故C正確，令，，可得，，故D錯誤，故選D．題型10抽象模型:正弦與雙曲正弦型正弦與雙曲正弦型：1．（2024·廣西南寧·一模）已知函數(shù)的定義域為，且當(dāng)時，，則（

）A． B．是偶函數(shù) C．是增函數(shù) D．是周期函數(shù)【答案】C【分析】對A，令求解即可；對B，令化簡可得即可；對C，設(shè)，結(jié)合題意判斷判斷即可；對D，根據(jù)是增函數(shù)判斷即可.【詳解】對A，令，則，得，故A錯誤；對B，令，得，由整理可得，將變換為，則，故，故，故是奇函數(shù)，故B錯誤；對C，設(shè)，則，且，故，則.又，是奇函數(shù)，故是增函數(shù)，故C正確；對D，由是增函數(shù)可得不是周期函數(shù)，故D錯誤.故選：C2．（24-25高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，，且當(dāng)時，，則下列正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是周期函數(shù)C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】D【分析】對于A，令，得，令，整理得到判定；對于B，先證明是增函數(shù)，可得不是周期函數(shù)判斷；對于C，D運用單調(diào)性可判斷.【詳解】對于A，令，則，得，令，得，由整理可得，由題干可知不恒為0，故，即，故是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，A錯誤；對于B，設(shè)，則，則，且，故，則，又，是奇函數(shù)，故是增函數(shù)，由是增函數(shù)可得不是周期函數(shù)，故B錯誤；對于C，時，，，，，C錯誤；對于D，時，，，，D正確.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，在對應(yīng)的區(qū)間上賦值，再不斷變換求解即可.3．（23-24高二下·浙江溫州·期末）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．【答案】B【分析】利用賦值判斷A，令可判斷C，令，結(jié)合條件求出函數(shù)周期可判斷BD.【詳解】令，則，解得，故A正確；令，則，即，因為不恒為0，所以，且定義域為，故函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；令，則，因為不恒為0，且，所以只能，從而，周期為4，顯然，故B錯誤D正確.故選：B4．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且當(dāng)時，，則下列正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．是周期函數(shù)C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，【答案】D【分析】對于A,令，得，令，將變換為，得到判定；對于B，先證明是增函數(shù)，可得不是周期函數(shù)判斷；對于C，D運用單調(diào)性可判斷.【詳解】對于A,令，則，得，令，得，由整理可得.將變換為，則，故，故，故是奇函數(shù)，故A錯誤.對于B，,設(shè)，則，且，故，則.又是奇函數(shù)，故是增函數(shù)，可得不是周期函數(shù)，故B錯誤.對于C，時，故C錯誤；對于D，時，.故D正確.故選：D.題型11抽象模型：對數(shù)反比例型對數(shù)反比例型：1．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，對任意的，，都有，且當(dāng)時，恒成立.若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，得，令，得，得為奇函數(shù).令，得，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性將不等式化為，結(jié)合函數(shù)的定義域和可求出結(jié)果.【詳解】在中，令，得，得，在中，令，得，即，所以為奇函數(shù)，令，則，所以，因為，所以，，所以，因為，所以，所以，，所以，因為當(dāng)時，恒成立，所以恒成立，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由及函數(shù)的定義域可知，，又由已知，可得，可得，由得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，因為，，所以，所以，所以，結(jié)合，可得.故選：D2．（22-23高三·浙江·模擬）定義在的函數(shù)，當(dāng)時，若，，，則P，Q，R的大小為A． B． C． D．【答案】D【分析】在已知等式中取，可求得，x=0,則-f(y)=f(-y),故函數(shù)在(-1,1)上是奇函數(shù)，再由已知等式把化為一個數(shù)的函數(shù)值，通過做差則三個數(shù)的大小即可比較．【詳解】取，則，所以，，令x=0,則-f(y)=f(-y),故函數(shù)在(-1,1)上是奇函數(shù)，當(dāng)-1<x<0時，f(x)<0,則當(dāng)0<x<1時，f(x)>0,所以P>R,Q>R,由，得：=所以所以所以．故選D．【點睛】本題考查了不等關(guān)系與不等式，考查了特值思想，解答此題的關(guān)鍵是能夠運用已知的等式證出函數(shù)是給定區(qū)間上的減函數(shù)，同時需要借助于已知等式把P化為一個數(shù)的函數(shù)值，屬于中檔題．兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得