概率統(tǒng)計與線性代數(shù)習題及參考答案一、概率統(tǒng)計部分1.隨機事件與概率計算袋中裝有5個紅球，3個白球，2個黑球，每次從中不放回地取1個球，連續(xù)取3次。求以下概率：（1）前兩次取到紅球，第三次取到白球；（2）三次取到的球顏色全不同；（3）至少有一次取到黑球。解答（1）設事件A為“前兩次取紅球，第三次取白球”。第一次取紅球的概率為5/10，第二次在剩余9球中取紅球的概率為4/9，第三次在剩余8球中取白球的概率為3/8。因此：P(A)=(5/10)×(4/9)×(3/8)=(1/2)×(4/9)×(3/8)=(1/2)×(1/6)=1/12。（2）設事件B為“三次顏色全不同”。顏色組合可能為紅、白、黑的排列，共3!=6種順序。以紅、白、黑順序為例，概率為(5/10)×(3/9)×(2/8)=(1/2)×(1/3)×(1/4)=1/24。同理，其他順序的概率相同（因乘法交換律，分子分母順序不影響乘積），故總概率為6×(1/24)=1/4。（3）設事件C為“至少有一次取到黑球”，其對立事件為“三次都未取到黑球”。袋中共有8個非黑球（5紅+3白），三次都取非黑球的概率為(8/10)×(7/9)×(6/8)=(4/5)×(7/9)×(3/4)=7/15。因此P(C)=1-7/15=8/15。2.條件概率與全概率公式某工廠有三條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種零件，產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，各生產(chǎn)線的次品率分別為5%、4%、2%。現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中隨機抽取1件，發(fā)現(xiàn)是次品，求該次品來自第一條生產(chǎn)線的概率。解答設事件A?、A?、A?分別表示“產(chǎn)品來自第一條、第二條、第三條生產(chǎn)線”，事件B表示“抽到次品”。已知P(A?)=0.25，P(A?)=0.35，P(A?)=0.4；P(B|A?)=0.05，P(B|A?)=0.04，P(B|A?)=0.02。根據(jù)全概率公式，P(B)=P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0125+0.014+0.008=0.0345。根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為P(A?|B)=[P(A?)P(B|A?)]/P(B)=0.0125/0.0345≈0.3623（即36.23%）。3.隨機變量的分布與數(shù)字特征設隨機變量X的概率密度函數(shù)為：f(x)={kx(1-x),0≤x≤1；0,其他}（1）求常數(shù)k；（2）求X的分布函數(shù)F(x)；（3）計算E(X)和D(X)。解答（1）由概率密度函數(shù)的歸一性，∫?∞^∞f(x)dx=1。因f(x)僅在[0,1]非零，故：∫?1kx(1-x)dx=k∫?1(x-x2)dx=k[(x2/2-x3/3)]?1=k(1/2-1/3)=k/6=1?k=6。（2）分布函數(shù)F(x)=P(X≤x)。當x<0時，F(xiàn)(x)=0；當0≤x≤1時，F(xiàn)(x)=∫??6t(1-t)dt=6∫??(t-t2)dt=6[t2/2-t3/3]??=6(x2/2-x3/3)=3x2-2x3；當x>1時，F(xiàn)(x)=1。因此：F(x)={0,x<0；3x2-2x3,0≤x≤1；1,x>1}（3）期望E(X)=∫?∞^∞xf(x)dx=∫?1x×6x(1-x)dx=6∫?1(x2-x3)dx=6[x3/3-x?/4]?1=6(1/3-1/4)=6×(1/12)=0.5。方差D(X)=E(X2)-[E(X)]2。計算E(X2)=∫?1x2×6x(1-x)dx=6∫?1(x3-x?)dx=6[x?/4-x?/5]?1=6(1/4-1/5)=6×(1/20)=0.3。因此D(X)=0.3-(0.5)2=0.3-0.25=0.05。4.二維隨機變量的聯(lián)合分布設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)={2e^(-x-2y),x>0,y>0；0,其他}（1）求邊緣概率密度f_X(x)和f_Y(y)；（2）判斷X與Y是否獨立；（3）計算P(X<1,Y<1)。解答（1）邊緣密度f_X(x)=∫?∞^∞f(x,y)dy。當x>0時，f_X(x)=∫?^∞2e^(-x-2y)dy=2e^(-x)∫?^∞e^(-2y)dy=2e^(-x)×(1/2)=e^(-x)；當x≤0時，f_X(x)=0。因此f_X(x)={e^(-x),x>0；0,其他}。同理，f_Y(y)=∫?∞^∞f(x,y)dx。當y>0時，f_Y(y)=∫?^∞2e^(-x-2y)dx=2e^(-2y)∫?^∞e^(-x)dx=2e^(-2y)×1=2e^(-2y)；當y≤0時，f_Y(y)=0。因此f_Y(y)={2e^(-2y),y>0；0,其他}。（2）由于f(x,y)=2e^(-x-2y)=e^(-x)×2e^(-2y)=f_X(x)f_Y(y)，對所有x,y成立，故X與Y獨立。（3）P(X<1,Y<1)=∫?1∫?12e^(-x-2y)dxdy=2∫?1e^(-x)dx∫?1e^(-2y)dy（因獨立）。計算得：∫?1e^(-x)dx=1-e^(-1)；∫?1e^(-2y)dy=(1-e^(-2))/2。因此P(X<1,Y<1)=2×(1-e^(-1))×(1-e^(-2))/2=(1-e^(-1))(1-e^(-2))≈(1-0.3679)(1-0.1353)≈0.6321×0.8647≈0.546。5.大數(shù)定律與中心極限定理某保險公司有10000個同類型的投保人，每個投保人在一年內發(fā)生事故的概率為0.05，且各投保人是否發(fā)生事故相互獨立。求一年內發(fā)生事故的投保人數(shù)量在450到550之間的概率（Φ(3.16)≈0.9992，Φ(1.58)≈0.9431，Φ(1)≈0.8413）。解答設X為一年內發(fā)生事故的投保人數(shù)量，則X~B(n=10000,p=0.05)。由中心極限定理，X近似服從正態(tài)分布N(np,np(1-p))，其中np=10000×0.05=500，np(1-p)=500×0.95=475，標準差σ=√475≈21.79。所求概率為P(450≤X≤550)。標準化得：P((450-500)/21.79≤(X-500)/21.79≤(550-500)/21.79)≈Φ(50/21.79)-Φ(-50/21.79)=Φ(2.29)-[1-Φ(2.29)]=2Φ(2.29)-1。計算50/21.79≈2.29，查標準正態(tài)分布表Φ(2.29)≈0.9890，故概率≈2×0.9890-1=0.9780（即97.8%）。二、線性代數(shù)部分1.行列式的計算計算四階行列式：D=|1201||3412||0123||2014|解答采用展開式或行變換化簡。這里用行變換：第一行r1，第二行r2，第三行r3，第四行r4。r2=r2-3r1：|1201||0-21-1||0123||2014|r4=r4-2r1：|1201||0-21-1||0123||0-412|現(xiàn)在行列式為上三角形式的一部分，按第一列展開，剩余三階行列式：D=1×|-21-1||123||-412|計算此三階行列式：按第一行展開：-2×(2×2-3×1)-1×(1×2-3×(-4))+(-1)×(1×1-2×(-4))=-2×(4-3)-1×(2+12)-1×(1+8)=-2×1-1×14-1×9=-2-14-9=-25因此原行列式D=1×(-25)=-25。2.矩陣的逆與伴隨矩陣設矩陣A=[210；121；012]（分號表示行），求A?1及伴隨矩陣A。解答首先求A的行列式|A|。用展開式：|A|=2×(2×2-1×1)-1×(1×2-1×0)+0×(1×1-2×0)=2×(4-1)-1×(2-0)+0=2×3-2=6-2=4≠0，故A可逆。伴隨矩陣A的元素為A_ij的代數(shù)余子式A_ij的轉置。計算各代數(shù)余子式：A??=(-1)^(1+1)×|21；12|=4-1=3A??=(-1)^(1+2)×|11；02|=-(2-0)=-2A??=(-1)^(1+3)×|12；01|=1-0=1A??=(-1)^(2+1)×|10；12|=-(2-0)=-2A??=(-1)^(2+2)×|20；02|=4-0=4A??=(-1)^(2+3)×|21；01|=-(2-0)=-2A??=(-1)^(3+1)×|10；21|=1-0=1A??=(-1)^(3+2)×|20；11|=-(2-0)=-2A??=(-1)^(3+3)×|21；12|=4-1=3因此A=[A_ij]^T=[3-21；-24-2；1-23]（轉置后行對應原列）。逆矩陣A?1=A/|A|=(1/4)[3-21；-24-2；1-23]。3.線性方程組的解求解非齊次線性方程組：x?+x?+x?+x?=5x?+2x?-x?+4x?=122x?-3x?-x?-5x?=-43x?+x?+2x?+11x?=22解答寫出增廣矩陣B=[A|b]，進行行初等變換：B=[1111|5][12-14|12][2-3-1-5|-4][31211|22]r2=r2-r1，r3=r3-2r1，r4=r4-3r1：[1111|5][01-23|7][0-5-3-7|-14][0-2-18|7]r3=r3+5r2，r4=r4+2r2：[1111|5][01-23|7][00-138|21][00-514|21]r3=-13r4+5r3（消去x?）：r3:00(-13×(-5)+5×(-13))x?+(-13×14+5×8)x?=-13×21+5×21計算系數(shù)：x?系數(shù)=65-65=0；x?系數(shù)=-182+40=-142；右邊=-273+105=-168得：-142x?=-168?x?=168/142=84/71≈1.183回代r4:-5x?+14×(84/71)=21?-5x?=21-1176/71=(1491-1176)/71=315/71?x?=-63/71≈-0.887r2:x?-2×(-63/71)+3×(84/71)=7?x?+126/71+252/71=7?x?=7-378/71=(497-378)/71=119/71≈1.676r1:x?+119/71+(-63/71)+84/71=5?x?+(119-63+84)/71=5?x?+140/71=5?x?=5-140/71=(355-140)/71=215/71≈3.028因此方程組的唯一解為x?=215/71，x?=119/71，x?=-63/71，x?=84/71。4.向量組的線性相關性設向量組α?=(1,2,3),α?=(2,1,0),α?=(1,-1,-3)，判斷其線性相關性；若相關，求一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表示。解答構造矩陣A=[α?^T,α?^T,α?^T]，進行行變換：A=[121;21-1;30-3]r2=r2-2r1，r3=r3-3r1：[121;0-3-3;0-6-6]r3=r3-2r2：[121;0-3-3;000]矩陣的秩為2（非零行有2行），小于向量個數(shù)3，故向量組線性相關。極大線性無關組可選α?,α?（因前兩列對應主元列）。設α?=k?α?+k?α?，即：1=k?×1+k?×2-1=k?×2+k?×1-3=k?×3+k?×0由第三個方程：-3=3k??k?=-1。代入第一個方程：1=-1+2k??2k?=2?k?=1。驗證第二個方程：-1=2×(-1)+1×1=-2+1=-1，成立。因此α?=-α?+α?。5.特征值與特征向量設矩陣A=[122；212；221]，求A的特征值和特征向量，并判斷A是否可對角化。解答特征方程為|A-λE|=0，計算行列式：|1-λ22||21-λ2||221-λ|將第二、三行加到第一行，得：|5-λ5-λ5-λ||21-λ2||221-λ|提取第一行公因子(5-λ)：(5-λ)|111||21-λ2||221-λ|展開三