突破點(diǎn)8獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析[核心知識(shí)提煉]提煉1變量的相關(guān)性(1)正相關(guān)：在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域．(2)負(fù)相關(guān)：在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域．(3)相關(guān)系數(shù)r：當(dāng)r>0時(shí)，兩變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)|r|≤1且|r|越接近于1，相關(guān)程度越高，當(dāng)|r|≤1且|r|越接近于0，相關(guān)程度越低．提煉2線性回歸方程方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))稱為線性回歸方程，其中eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\o(y,\s\up7(－))－eq\o(b,\s\up7(^))eq\o(x,\s\up7(－)).回歸直線恒過(guò)樣本中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．提煉3獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)確定分類變量，獲取樣本頻數(shù)，得到2×2列聯(lián)表．(2)求觀測(cè)值：k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).(3)根據(jù)臨界值表，作出正確判斷．如果k≥kα，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”．[高考真題回訪]回訪1變量的相關(guān)性1．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()圖8-1A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B．2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)D．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)D[對(duì)于A選項(xiàng)，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確．對(duì)于B選項(xiàng)，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確．對(duì)于C選項(xiàng)，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確．由圖知2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D.]2．(2012·全國(guó)卷)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－1 B．0C.eq\f(1,2) D．1D[樣本點(diǎn)都在直線上時(shí)，其數(shù)據(jù)的估計(jì)值與真實(shí)值是相等的，即yi＝eq\o(y,\s\up7(^))i，代入相關(guān)系數(shù)公式r＝eq\r(1－\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up7(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝1.]3．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)．(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．(ⅰ)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？(ⅱ)在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．(精確到0.01)附：樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關(guān)系數(shù)r＝[解](1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(16,i＝1))\o(,\s\do4())xi－\x\to(x)i－8.5,\r(\o(∑,\s\up7(16,i＝1))\o(,\s\do4())xi－\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up7(16,i＝1))\o(,\s\do4())i－8.52))≈eq\f(－2.78,0.212×\r(16)×18.439)≈－0.18． 2分由于|r|<0.25，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。? 4分(2)(ⅰ)由于eq\x\to(x)＝9.97，s≈0.212，因此由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)以外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查． 6分(ⅱ)剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,15)(16×9.97－9.22)＝10.02，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02． 8分eq\o(∑,\s\up7(16,i＝1))xeq\o\al(2,i)≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134， 10分剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為eq\f(1,15)(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為eq\r(0.008)≈0.09． 12分回訪2獨(dú)立性檢驗(yàn)4．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：圖8-2(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解](1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62. 3分(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法34665分K2的觀測(cè)值k＝eq\f(200×62×66－34×382,100×100×96×104)≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． 8分(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg到55kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法． 12分熱點(diǎn)題型1回歸分析題型分析：高考命題常以實(shí)際生活為背景，重在考查回歸分析中散點(diǎn)圖的作用、回歸方程的求法和應(yīng)用，難度中等．【例1】在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5組數(shù)據(jù)，得到一個(gè)變量y關(guān)于x的回歸方程模型，其對(duì)應(yīng)的數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521(1)試作出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝eq\f(k,x)＋m哪一個(gè)適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立變量y關(guān)于x的回歸方程；(3)根據(jù)(2)中所求的變量y關(guān)于x的回歸方程預(yù)測(cè)：當(dāng)x＝3時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值為多少？(保留四位有效數(shù)字)[解](1)作出變量y與x之間的散點(diǎn)圖，如圖所示，2分由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，那么y＝eq\f(k,x)＋m適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型． 4分(2)由(1)知y＝eq\f(k,x)＋m適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt＋m，由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表如下：t4210.50.25y16125216分作出y與t的散點(diǎn)圖，如圖所示．8分由圖可知y與t近似地呈線性相關(guān)關(guān)系．又eq\o(t,\s\up7(－))＝1.55，eq\o(y,\s\up7(－))＝7.2，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi＝94.25，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(2,i)＝21.3125，所以k＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\o(t,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)＝eq\f(94.25－5×1.55×7.2,21.3125－5×1.552)≈4.1344，m＝eq\o(y,\s\up7(－))－keq\o(t,\s\up7(－))＝7.2－4.1344×1.55≈0.8，所以y＝4.1344t＋0.8，所以y關(guān)于x的回歸方程為y＝eq\f(4.1344,x)＋0.8． 10分(3)由(2)得y關(guān)于x的回歸方程是y＝eq\f(4.1344,x)＋0.8，當(dāng)x＝3時(shí)，可得y＝eq\f(4.1344,3)＋0.8≈2.178． 12分[方法指津]1．正確理解計(jì)算eq\o(b,\s\up7(^))，eq\o(a,\s\up7(^))的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵．其中回歸直線必過(guò)樣本中心(eq\o(x,\s\up7(－))，eq\o(y,\s\up7(－)))．2．在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值．[變式訓(xùn)練1]二手車經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的A型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)x與銷售價(jià)格y(單位：萬(wàn)元/輛)進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)：使用年數(shù)x234567售價(jià)y201286.44.43z＝lny3.002.482.081.861.481.10下面是z關(guān)于x的折線圖：圖8-3(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)某輛A型號(hào)二手車當(dāng)使用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約為多少；(eq\o(b,\s\up7(^))，eq\o(a,\s\up7(^))小數(shù)點(diǎn)后保留兩位數(shù)字)(3)基于成本的考慮，該型號(hào)二手車的售價(jià)不得低于7118元，請(qǐng)根據(jù)(2)求出的回歸方程預(yù)測(cè)在收購(gòu)該型號(hào)二手車時(shí)車輛的使用年數(shù)不得超過(guò)多少年．參考公式：eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n,i＝1))\o(,\s\do4())xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up7(n,i＝1))\o(,\s\do4())xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n))\o(,\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)eq\x\to(y),eq\o(∑,\s\up7(n))eq\o(,\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)，r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n,i＝1))\o(,\s\do4())xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up7(n,i＝1))\o(,\s\do4())xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up7(n,i＝1))\o(,\s\do4())yi－\x\to(y)2)).參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up7(16,i＝1))xiyi＝187.4，eq\o(∑,\s\up7(16,i＝1))xizi＝47.64，eq\o(∑,\s\up7(16,i＝1))xeq\o\al(2,i)＝139，eq\r(\o(∑,\s\up7(6,i＝1))\o(,\s\do4())xi－\x\to(x)2)＝4.18，eq\r(\o(∑,\s\up7(6,i＝1))\o(,\s\do4())yi－\x\to(y)2)＝13.96，eq\r(\o(∑,\s\up7(6,i＝1))\o(,\s\do4())zi－\x\to(z)2)＝1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈－0.34.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024080】[解](1)由題意，知eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5， 1分eq\x\to(z)＝eq\f(1,6)×(3.00＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2， 2分又eq\o(∑,\s\up7(16,i＝1))xizi＝47.64，eq\r(\o(∑,\s\up7(6,i＝1))\o(\s\do4())xi－\x\to(x)2)＝4.18，eq\r(\o(∑,\s\up7(6,i＝1))\o(,\s\do4())zi－\x\to(z)2)＝1.53，∴r＝eq\f(47.64－6×4.5×2,4.18×1.53)＝－eq\f(6.36,6.3954)≈－0.99，∴z與x的相關(guān)系數(shù)大約為－0.99，說(shuō)明z與x的線性相關(guān)程度很高． 4分(2)eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(47.64－6×4.5×2,139－6×4.52)＝－eq\f(6.36,17.5)≈－0.36， 5分∴eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(z)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝2＋0.36×4.5＝3.62，∴z與x的線性回歸方程是eq\o(z,\s\up7(^))＝－0.36x＋3.62， 6分又z＝lny，∴y關(guān)于x的回歸方程是eq\o(y,\s\up7(^))＝e－0.36x＋3.62. 7分令x＝9，得eq\o(y,\s\up7(^))＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，∵ln1.46≈0.38，∴eq\o(y,\s\up7(^))＝1.46，即預(yù)測(cè)某輛A型號(hào)二手車當(dāng)使用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約為1.46萬(wàn)元． 8分(3)當(dāng)eq\o(y,\s\up7(^))≥0.7118，即e－0.36x＋3.62≥0.7118＝eln0.7118＝e－0.34時(shí)，則有－0.36x＋3.62≥－0.34，解得x≤11，因此，預(yù)測(cè)在收購(gòu)該型號(hào)二手車時(shí)車輛的使用年數(shù)不得超過(guò)11年． 12分熱點(diǎn)題型2獨(dú)立性檢驗(yàn)題型分析：盡管全國(guó)卷Ⅰ在近幾年未在該點(diǎn)命題，但其極易與分層抽樣、古典概型等知識(shí)交匯，是潛在的命題點(diǎn)之一，需引起足夠的重視．【例2】(2017·長(zhǎng)沙二模)某學(xué)校的特長(zhǎng)班有50名學(xué)生，其中有體育生20名，藝術(shù)生30名，在學(xué)校組織的一次體檢中，該班所有學(xué)生進(jìn)行了心率測(cè)試，心率全部介于50次/分到75次/分之間，現(xiàn)將數(shù)據(jù)分成五組，第一組[50,55)，第二組[55,60)，……，第五組[70,75]，按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖8-4所示，已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為a∶4∶10.圖8-4(1)求a的值，并求這50名學(xué)生心率的平均值；(2)因?yàn)閷W(xué)習(xí)專業(yè)的原因，體育生常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉，藝術(shù)生則很少進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉，若從第一組和第二組的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，該學(xué)生是體育生的概率為0.8，請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為心率小于60次/分與常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉有關(guān)？說(shuō)明你的理由．心率小于60次/分心率不小于60次/分合計(jì)體育生20藝術(shù)生30合計(jì)50參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.[解](1)因?yàn)榈诙M數(shù)據(jù)的頻率為0.032×5＝0.16，故第二組的頻數(shù)為0.16×50＝8，所以第一組的頻數(shù)為2a，第三組的頻數(shù)為20，第四組的頻數(shù)為16，第五組的頻數(shù)為4.所以2a＝50－20－16－8－4＝2，故a＝1. 3分所以這50名學(xué)生的心率平均值為52.5×eq\f(2,50)＋57.5×eq\f(8,50)＋62.5×eq\f(20,50)＋67.5×eq\f(16,50)＋72.5×eq\f(4,50)＝63.7. 5分(2)由(1)知，第一組和第二組的學(xué)生(即心率小于60次/分的學(xué)生)共10名，其中體育生有10×0.8＝8(名)，故列聯(lián)表補(bǔ)充如下：心率小于60次/分心率不小于60次/分合計(jì)體育生81220藝術(shù)生22830合計(jì)104050所以K2＝eq\f(50×8×28－2×122,10×40×20×30)≈8.333＞7.879，故有99.5%的把握認(rèn)為心率小于60次/分與常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉有關(guān)． 12分[方法指津]求解獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題時(shí)要注意：一是2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)與公式中各個(gè)字母的對(duì)應(yīng)，不能混淆；