2.2拋物線的簡單性質(二)學習目標1.掌握拋物線的幾何特性.2.學會解決直線與拋物線相關的綜合問題．知識點直線與拋物線的位置關系思考1直線與拋物線有哪幾種位置關系？思考2若直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物線一定相切嗎？梳理直線與拋物線的位置關系與公共點個數．位置關系公共點個數相交有兩個或一個公共點相切有且只有一個公共點相離無公共點直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數決定于關于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的個數．當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有________個不同的公共點；當Δ＝0時，直線與拋物線有________個公共點；當Δ<0時，直線與拋物線________公共點．當k＝0時，直線與拋物線的對稱軸____________，此時直線與拋物線有________個公共點．類型一直線與拋物線的位置關系例1已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線C：y2＝4x，問：k為何值時，直線l與拋物線C有兩個交點，一個交點，無交點？反思與感悟直線與拋物線交點的個數，等價于直線方程與拋物線方程聯立得到的方程組解的個數．注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數為0的情況．跟蹤訓練1設拋物線y2＝8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l斜率的取值范圍是()A．[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)] B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]類型二弦長與中點弦問題例2已知拋物線y2＝6x，過點P(4,1)引一條弦P1P2使它恰好被點P平分，求這條弦所在的直線方程及|P1P2|.反思與感悟中點弦問題解題策略兩方法跟蹤訓練2已知拋物線C1：x2＝4y的焦點F也是橢圓C2：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的一個焦點，C1與C2的公共弦的長為2eq\r(6)，過點F的直線l與C1相交于A，B兩點，與C2相交于C，D兩點，且eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))同向．(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直線l的斜率．類型三拋物線中的定點(定值)問題例3在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A、B兩點．(1)如果直線l過拋物線的焦點，求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值；(2)如果eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．反思與感悟在直線和拋物線的綜合題中，經常遇到求定值、過定點問題，解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數法等，解決這類問題的關鍵是代換和轉化．跟蹤訓練3如圖，過拋物線y2＝x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB、AC交拋物線于B、C兩點，求證：直線BC的斜率是定值．1．過點P(0,1)與拋物線y2＝x有且只有一個交點的直線有()A．4條 B．3條C．2條 D．1條2．若拋物線y2＝2x上有兩點A，B，且AB垂直于x軸，若|AB|＝2eq\r(2)，則拋物線的焦點到直線AB的距離為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)3．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且|AK|＝eq\r(2)|AF|，則△AFK的面積為()A．4 B．8C．16 D．324．設O為坐標原點，F為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上任意一點，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，則點A的坐標為________．5．已知A，B為拋物線E上不同的兩點，若拋物線E的焦點為(1,0)，線段AB恰被M(2,1)所平分．(1)求拋物線E的方程；(2)求直線AB的方程；(3)求弦AB的長．求拋物線的方程常用待定系數法和定義法：直線和拋物線的弦長問題、中點弦問題及垂直、對稱等可利用判別式、根與系數的關系解決；拋物線的綜合問題要深刻分析條件和結論，靈活選擇解題策略，對題目進行轉化．

答案精析問題導學知識點思考1三種：相離、相切、相交．思考2不一定，當平行或重合于拋物線的對稱軸的直線與拋物線相交時，也只有一個交點．梳理兩一沒有平行或重合一題型探究例1解由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．(1)若直線與拋物線有兩個交點，則k2≠0且Δ>0，即k2≠0且16(1－k2)>0，解得k∈(－1,0)∪(0,1)．所以當k∈(－1,0)∪(0,1)時，直線l和拋物線C有兩個交點．(2)若直線與拋物線有一個交點，則k2＝0或當k2≠0時，Δ＝0，解得k＝0或k＝±1.所以當k＝0或k＝±1時，直線l和拋物線C有一個交點．(3)若直線與拋物線無交點，則k2≠0且Δ<0.解得k>1或k<－1.所以當k>1或k<－1時，直線l和拋物線C無交點．跟蹤訓練1C[準線方程為x＝－2，Q(－2,0)．設l：y＝k(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.當k＝0時，x＝0，即交點為(0,0)；當k≠0時，由Δ≥0，得－1≤k<0或0<k≤1，綜上，k的取值范圍是[－1,1]．]例2解方法一由題意易知直線方程的斜率存在，設所求方程為y－1＝k(x－4)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝kx－4k＋1，))得ky2－6y－24k＋6＝0.當k≠0時，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①設弦的兩端點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，∴y1＋y2＝eq\f(6,k)，y1y2＝eq\f(6－24k,k).∵P1P2的中點為(4,1)，∴eq\f(6,k)＝2，∴k＝3，適合①式．∴所求直線方程為y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，∴|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(1＋\f(1,9))eq\r(22－4×－22)＝eq\f(2\r(230),3).方法二設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．則yeq\o\al(2,1)＝6x1，yeq\o\al(2,2)＝6x2，∴yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(6,y1＋y2)＝3，∴所求直線的斜率k＝3，故所求直線方程為y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－11，,y2＝6x，))得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，∴|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(1＋\f(1,9))·eq\r(22－4×－22)＝eq\f(2\r(230),3).跟蹤訓練2解(1)由C1方程可知F(0,1)，∵F也是橢圓C2的一個焦點，∴a2－b2＝1，又∵C1與C2的公共弦的長為2eq\r(6)，C1與C2的圖像都關于y軸對稱，∴易得C1與C2的公共點的坐標為(±eq\r(6)，eq\f(3,2))，∴eq\f(9,4a2)＋eq\f(6,b2)＝1，又∵a2－b2＝1，∴a2＝9，b2＝8，∴C2的方程為eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,8)＝1；(2)如圖，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，∵eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))同向，且|AC|＝|BD|，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，∴x1－x2＝x3－x4，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4，設直線l的斜率為k，則l的方程：y＝kx＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))可得x2－4kx－4＝0，由根與系數的關系可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(y2,9)＋\f(x2,8)＝1，))得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，由根與系數的關系可得x3＋x4＝－eq\f(16k,9＋8k2)，x3x4＝－eq\f(64,9＋8k2)，又∵(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4，∴16(k2＋1)＝eq\f(162k2,9＋8k22)＋eq\f(4×64,9＋8k2)，化簡得16(k2＋1)＝eq\f(162×9k2＋1,9＋8k22)，∴(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±eq\f(\r(6),4)，即直線l的斜率為±eq\f(\r(6),4).例3解(1)由題意知，拋物線的焦點為(1,0)，設l：x＝ty＋1，代入拋物線方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)設l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.因為eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，∴b2－4b＝－4，解得b＝2，故直線過定點(2,0)．跟蹤訓練3證明方法一設kAB＝k(k≠0)．∵直線AB，AC的傾斜角互補，∴kAC＝－k(k≠0)，即直線AB的方程是y＝k(x－4)＋2.由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4＋2，,y2＝x，))消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解，∴4xB＝eq\f(16k2－16k＋4,k2)，即xB＝eq\f(4k2－4k＋1,k2).以－k代換xB中的k，得xC＝eq\f(4k2＋4k＋1,k2).∴kBC＝eq\f(yB－yC,xB－xC)＝eq\f(kxB－4＋2－[－kxC－4＋2],xB－xC)＝eq\f(kxB＋xC－8,xB－xC)＝eq\f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2＋2,k2)－8)),\f(－8k,k2))＝－eq\f(1,4).∴直線BC的斜率為定值．方法二設B(yeq\o\al(2,1)，y1)，C(yeq\o\al(2,2)，y2)，則kBC＝eq\f(y2－y1,y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1))＝eq\f(1,y2＋y1).∵kAB＝eq\f(y1－2,y\o\al(2,1)－4)＝eq\f(1,y1＋2)，kAC＝eq\f(y2－2,y\o\al(2,2)－4)＝eq\f(1,y2＋2)，由題意得kAB＝－kAC，∴eq\f(1,y1＋2)＝－eq\f(1,y2＋2)，則y1＋y2＝－4，則kBC＝－eq\f(1,4)，為定值．當堂訓練1．B2.A3.B4.(1，±2)5．解(1)由于拋物線的焦點為(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，所以所求拋物線的方程為y2＝4x.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝4x1，①yeq\