2.9.函數(shù)模型及應(yīng)用

考點(diǎn)函數(shù)模型及應(yīng)用

1.(2024北京,7,4分,易)生物豐富度指數(shù)d=是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo),其中S,N分別表示河流中

S-1

的生物種類(lèi)數(shù)與生物個(gè)體總數(shù),生物豐富度指數(shù)d?越?N大,水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類(lèi)數(shù)S沒(méi)有

變化,生物個(gè)體總數(shù)由N1變?yōu)镹2,生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則()

A.3N2=2N1B.2N2=3N1

C.=D.=

2332

2121

NDNNN

7

①

①

由題意知S-1得=,

②

??N1=2.1②,??N22

S-1??N13

??N2=3.15,

即3lnN2=2lnN1,即ln=ln,所以=,故選D.

3232

N2N1N2N1

2.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅰ,10,5分,中)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲

音的強(qiáng)弱,定義聲壓級(jí)Lp=20×lg,其中常數(shù)p0(p0>0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值,p是實(shí)際聲壓.下

?

表為不同聲源的聲壓級(jí):?0

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車(chē)1060~90

混合動(dòng)力汽車(chē)1050~60

電動(dòng)汽車(chē)1040

已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1,p2,p3,

則()

A.p1≥p2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.p1≤100p2

答案ACD對(duì)于C,由題意知20×lg=40,即lg=2,所以p3=100p0,故C正確.

?3?3

?0?0

對(duì)于A(yíng),由題意知≥,所以20×lg≥20×lg,所以p1≥p2,故A正確.

?1?2

12

?????0?0

對(duì)于B,=20×lg∈[50,60],所以≤lg≤3,

?25?2

2

???02?0

所以∈[,3],即3,故錯(cuò)誤

p215p010p0p2≤10p0=10p3B.

2

對(duì)于D,=020×lg∈[60,90],所以3≤lg≤,

?1?19

1

???0?02

所以∈[3,],因?yàn)椤蔥,5],所以,故正確,故選

p110p019p0100p219p010p0p1≤100p2DACD.

22

00

3.(2013課標(biāo)Ⅰ理,11,5分)已知函數(shù)f(x)=若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是()

2

??+2x,x≤0,

A.(-∞,0]B.(-∞,1]ln(?+1),?>0.

C.[-2,1]D.[-2,0]

答案D由題意作出y=|f(x)|=的圖象:

2

??2x(x≤0),

ln(?+1)(?>0)

由題意結(jié)合圖象知,當(dāng)a>0時(shí),y=ax與y=ln(x+1)在x>0時(shí)必有交點(diǎn),所以a≤0.當(dāng)x≥0時(shí),|f(x)|≥ax顯然

成立;當(dāng)x<0時(shí),|f(x)|=x2-2x≥ax,則a≥x-2恒成立,又x-2<-2,∴a≥-2.綜上,-2≤a≤0,故選D.

評(píng)析本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合的能力.借助基本初等函數(shù)的圖象縮小參數(shù)范圍是解

題關(guān)鍵.

4.(2011課標(biāo)理,12,5分)函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx(-2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等

1

于()1??

A.2B.4C.6D.8

答案D函數(shù)y==和y=2sinπx的圖象有公共的對(duì)稱(chēng)中心(1,0),畫(huà)出二者圖象如圖所示,易知

1?1

1????1

y=與y=2sinπx(-2≤x≤4)的圖象共有8個(gè)交點(diǎn),不妨設(shè)其橫坐標(biāo)為x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,且

1

x1<1x?2<?x3<x4<x5<x6<x7<x8,由對(duì)稱(chēng)性得x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2,∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8,故選D.

5.(2011課標(biāo)文,12,5分)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函

數(shù)y=|lgx|的圖象的交點(diǎn)共有()

A.10個(gè)B.9個(gè)C.8個(gè)D.1個(gè)

答案A在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出f(x)和y=|lgx|的圖象,如圖.又lg10=1,由圖象知選A.

評(píng)析本題考查函數(shù)的圖象、周期等相關(guān)知識(shí),考查學(xué)生作圖、用圖能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

6.(2022北京,7,4分,應(yīng)用性)在北京冬奧會(huì)上,國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷

制冰技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系,其中

T表示溫度,單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()

A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí),二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時(shí),二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)T=360,P=729時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

答案D對(duì)于A(yíng),當(dāng)T=220,P=1026時(shí),lgP=lg1026=3+lg1.026∈(3,4),由題圖可知,二氧化碳處于固態(tài),

∴A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,當(dāng)T=270,P=128時(shí),lgP=lg128=2+lg1.28∈(2,3),由題圖可知,二氧化碳處于液態(tài),∴B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,當(dāng)T=300,P=9987時(shí),lgP=3+lg9.987≈4,

由題圖可知,二氧化碳處于固態(tài),∴C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,當(dāng)T=360,P=729時(shí),lgP=lg729=2+lg7.29∈(2,3),由題圖可知,二氧化碳處于超臨界狀態(tài),∴D正確.

故選D.

7.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感

染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)

rt

模型:I(t)=e描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0,T近似滿(mǎn)足

R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1

倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

答案B因?yàn)镽0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指數(shù)增長(zhǎng)率r==0.38,設(shè)累計(jì)感染病例增加1倍需要的時(shí)間

?0?1

?

為t天,則I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,兩邊取自然對(duì)數(shù)得lne0.38t=ln2,即0.38t=ln2,又ln2≈0.69,所以

t=≈1.8.故選B.

ln20.69

0.38≈0.38

8.(2020北京,15,5分)為滿(mǎn)足人民對(duì)美好生活的向往,環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理,排放未達(dá)標(biāo)的

企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=f(t),用-的大小評(píng)價(jià)在[a,b]這段時(shí)

?(?)??(?)

???

間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.

給出下列四個(gè)結(jié)論:

①在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);

②在t2時(shí)刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);

③在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo);

④甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中,在[0,t1]的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①②③

命題意圖:本題以環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水處理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改這個(gè)情境為載體,貼

近生活,要求考生能夠在短時(shí)間內(nèi)審清題意,理清解決問(wèn)題的思路,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題,體現(xiàn)試

題的教育價(jià)值.考查學(xué)生的抽象概括、直觀(guān)想象、分析和解決具有實(shí)際意義問(wèn)題的能力,同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)

合思想.

審題指導(dǎo):與函數(shù)和導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,需要先把實(shí)際問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題,理解一段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污

水治理能力的強(qiáng)弱的計(jì)算式,并把這個(gè)計(jì)算式與其幾何意義聯(lián)系起來(lái),再逐步對(duì)四個(gè)結(jié)論去偽存真.

解題思路:設(shè)y=-,由已知條件可得甲、乙兩個(gè)企業(yè)在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi)污水治理能力強(qiáng)弱的數(shù)值計(jì)算

?(?)??(?)

???

式為-(難點(diǎn):準(zhǔn)確理解表達(dá)式的幾何意義是解題的關(guān)鍵),由題圖易知y甲>y乙,即甲企業(yè)的污水治理

?(?2)??(?1)

?2??1

能力比乙企業(yè)強(qiáng),所以①對(duì);

由題意知在某一時(shí)刻企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱由這一時(shí)刻的切線(xiàn)的斜率的絕對(duì)值表示,所以②對(duì);

在t3時(shí)刻,由題圖可知甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達(dá)標(biāo)排放量以下,所以③對(duì);

由計(jì)算式-可知,甲企業(yè)在[0,t1]