/2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)(時(shí)間:120分鐘;分值:150分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.1.設(shè)z=11+i+i,A.12 B.22 C.2.已知事件A，B相互獨(dú)立，且PAA.16 B.112 C.13 3.如圖，在四邊形ABCD中,DC=2AB,BE=3A.78a+C.78a+4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若B=πA.3 23 B.2C.3或3 D.35.已知向量a,b滿足(a—2b)·(a+b)=3,且|a|═2,|b|=1,則a與b的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°6.某校期中考試后，為分析100名高三學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，整理他們的數(shù)學(xué)成績(jī)得到如圖所示的頻率分布直方圖.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)為75B.a=0.05C.估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的75百分位數(shù)約為85D.估計(jì)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生的平均分為87.507.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加必修一數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)答，每輪競(jìng)答由甲、乙各答一題，已知甲每輪答對(duì)的概率為35，乙每輪答對(duì)的概率為2A.3875 B.2875 C.415 8.如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,PA=PB=4,PC=PD=22該棱錐的高為()A.1 B.2 C.2 D.3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若復(fù)數(shù)z=2+i，則下列命題是真命題的是()A.z?B.C.D.若z是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的根,則10.下列對(duì)各事件發(fā)生的概率判斷正確的是()A.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是13，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為B.4張卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為1C.甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中各任取一個(gè)球，則取到不同顏色球的概率為12D.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為19，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是11.一塊正方體形木料如圖所示，其棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)P在線段A?C?上，且A1CA.PC⊥BDB.截得的兩個(gè)幾何體分別是三棱柱和四棱臺(tái)C.截面的面積為(6D.以點(diǎn)A為球心，AB長(zhǎng)為半徑的球面與截面的交線長(zhǎng)為3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.給出下列命題：①任意兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小;②若z=a+bi(a,b∈R),則當(dāng)且僅當(dāng)a=0且b=0時(shí),z=0;③若z?,z?∈C,且.z12+z22=0,則z13.若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r?,r?且r1r2=3,則此圓臺(tái)的內(nèi)切球(與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切14.在平行四邊形OACB中,已知.A(2,23),B(3,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為,平行四邊形OACB的面積是·四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sin(1)求角C的大小;(2)若b=6,且△ABC的面積為63，求△ABC的周長(zhǎng).16.(15分)如圖,在直三棱柱ABC-A?B?C?中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA?=2,M,N分別為A?B?,A?A的中點(diǎn).(1)求BN的長(zhǎng);(2)求A?B與B?C所成角的余弦值;(3)求證:BN⊥平面C?MN.

17.(15分)近些年來(lái)，我國(guó)外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣騎手穿梭在城市的大街小巷，成為一道亮麗的風(fēng)景線.某課外實(shí)踐小組隨機(jī)調(diào)查了該市的10名外賣騎手，統(tǒng)計(jì)他們的日單量(平均每天送的外賣單數(shù))，數(shù)據(jù)如下表：31373832334224203726(1)估計(jì)該市的外賣騎手日單量大于30的概率；(2)求這10名外賣騎手日單量的平均數(shù)和方差；(3)若表中第一行數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的外賣騎手來(lái)自甲公司，第二行數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的外賣騎手來(lái)自乙公司，試判斷：哪家公司的外賣騎手日單量的差異更大?(直接給出結(jié)論即可，不需要寫(xiě)計(jì)算過(guò)程)18.(17分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形，AB‖CD,AD=AB=12(1)求證:AC⊥AD;(2)求證:△ADP為直角三角形;(3)若PC=AD=1,求四棱棱P-ABCD的體積.

19.(17分)兩名優(yōu)秀學(xué)子小明、小華同學(xué)獨(dú)立地參加中國(guó)科技大學(xué)少科班的入學(xué)面試，入學(xué)面試時(shí)共有3道題目，答對(duì)2道題則通過(guò)面試(前道題都答對(duì)或都答錯(cuò)，第3道題均不需要回答).已知小明答對(duì)每道題目的概率均為35，小華答對(duì)每道題目的概率依次為23,23(1)求事件A發(fā)生的概率P(A);(2)求事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB);(3)求小明、小華兩人恰有一人通過(guò)面試的概率.數(shù)學(xué)答案1.B[∵z=11+i+i=2.A[由PA=13,得3.C.DE=DA+AB4.A[由題意及正弦定理bsinB=asinA,得312=3sinA,解得sinA=32又{0<A+π6<π,0<A<π,故0<A<5π6,于是A=π3或5.C[由(a-2b)·(a+b)=3,可得(a2+a?b-2b?a-2b2=3,即a2-a?b-2b2-3,,又|a|=2,|b|=1,所以226.B[估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)為70+802=75(分)，A選項(xiàng)正確;根據(jù)題意可得(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,∴a=0.005，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵前四組的頻率依次為0.1,0.15,0.35,0.3,∴估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的75百分位數(shù)約為80+0.75-0.1-0.15-0.350.037.B[設(shè)A?，A?分別表示甲兩輪答對(duì)1道，2道題目的事件，B?，B?分別表示乙兩輪答對(duì)1道，2道題目的事件，則PA1=35×1-35+1-35×35=1225,PA2=352=925,P8.D[如圖,底面ABCD為正方形,分別取AB,CD的中點(diǎn)E,F,連接PE,PF,EF,則PE⊥AB,EF⊥AB,且PE∩EF=E,PE,EF?平面PEF,可知AB⊥平面PEF,且AB?平面ABCD,所以平面PEF⊥平面ABCD,過(guò)P作EF的垂線,垂足為O,即PO⊥EF,因?yàn)槠矫鍼EF∩平面ABCD=EF,PO?平面PEF,所以PO⊥平面ABCD,由題意可得:PE=23,PF=2,EF=4,則PE2+PF2=EF2,即PE⊥PF,則9.ACD[對(duì)于A選項(xiàng),z·z=(2+i)(2--i)=5,A.對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閕2024=i4506=1,故zi2024=z=2+i,B錯(cuò);對(duì)于C選項(xiàng),,5∣-i∣=5=∣z∣,10.AC[對(duì)于A，該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈，則該生在前2個(gè)路口不是紅燈，第3個(gè)路口是紅燈，所求概率為1-132×13=427,A正確；對(duì)于B，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，不同結(jié)果為12，13,14,23,24,34,共6個(gè),取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果為12,14,23,34,共4個(gè),概率為式可得解得PA=P11.ACD[對(duì)于A,如圖,連接AC,由CC?⊥平面AB-CD,BD?平面ABCD,得CC?⊥BD.又AC⊥BD,AC∩CC?=C,AC?平面ACC?A?,CC??平面ACC?A?,所以BD⊥平面ACC?A?.又PC?平面ACC?A?,所以PC⊥BD,正確;對(duì)于B,過(guò)點(diǎn)P作直線平行于B?C?,分別交A?B?,C?D?于N,M兩點(diǎn),連接BN,CM,顯然MN∥B?C?∥BC,所以四邊形BCMN為過(guò)點(diǎn)P及直線BC的正方體的截面，截得的兩個(gè)幾何體分別是三棱柱和四棱柱，錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B，得C1MC1D1=PC1A1C1=13,則C1M=3,CM=32+312.①③④[對(duì)①，當(dāng)兩復(fù)數(shù)均為實(shí)數(shù)時(shí)，可比較大小，故①錯(cuò)；②顯然正確；對(duì)③，若z1=i,z2=1,則滿足z12+z22=0,,但z?≠z13.12π[設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為O?，O?，則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心O一定在O?O?的中點(diǎn)處，設(shè)球O與母線AB切于M點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AB，所以O(shè)M=OO1=OO2=R(R為球O的半徑)，所以△AOO?與△AOM全等,所以MA=r?,同理BM=r?,所以.AB=r1+r2,14.2+31+234[設(shè)C(x,y),由題意得:OA=223,OB=31,所以O(shè)C=OA+OB=(2+15.解(1)由sin2C=3sinC,得2sinCcosC=3sinC,即(2)因?yàn)镾△ABC=63,所以由余弦定理得c2=所以c=23,所以△ABC的周長(zhǎng)為16.解(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),∴∣∴線段BN的長(zhǎng)為3(2)依題意得A?(1,0,2),C(0,0,0),B?(0,1,2)、∴∴又∣∴故A?B與B?C所成角的余弦值為30(3)依題意得A?(1、0、2),C?(0、0、2)、B(0.1、0)、N(1,0、1),iM∴BN∴C∴∴BN又∵C1M∩C1N=C1,C∴BN⊥平面C?MN.17.解(1)10名外賣騎手中有7人的日單量大于30，頻率為7因此估計(jì)該市的外賣騎手日單量大于30的概率為7(2)平均數(shù)為x=30+方差為s2=(3)乙公司的外賣騎手日單量的差異更大.理由如下：甲公司的外賣騎手日單量的極差為38—31=7，乙公司的外賣騎手日單量的極差為42—20=22，由于22>7，故乙公司的外賣騎手日單量的差異更大.18.解(1)作AE⊥DC,E為垂足,如圖,在等腰梯形ABCD中，設(shè)AD=AB=BC=1∴DE=∴AC=∴A(2)∵PC⊥PD,平面ADP⊥平面PCD,平面ADP∩平面PCD=PD、PC?平面PCD.∴PC⊥平面ADP,又AD?平面ADP,∴PC⊥AD,又AC⊥AD,∵AC∩PC=C,AC,PC?平面ACP.∴AD⊥平面ACP,∵AP?平面ACP,∴AD⊥AP.∴∠DAP=90°,即△ADP為直角三角形.(3)由(1)知在等腰梯形ABCD中AE=32S∴又PC⊥平面ADP,△ADP為直角三角形,PD⊥PC,∴DP=∴∴19.解(1)若事件A發(fā)生，則小明前兩題都答對(duì)或