第4講基本不等式 【知識點(diǎn)3】與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問 a＋b基本不等式：

的算術(shù)平均數(shù)，x，yxyPx＝y(tǒng)x＋y2

?

2 ab≤(

≤

【例1（2022秋?射陽縣校級月考）若ab0，且ab，則下列不等式一定成立的是 a2

1

ba

ab【例2（2024?城西區(qū)校級月考《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是CABACaBCbOAB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于點(diǎn)D，連接OD，AD，BD，過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為點(diǎn)E，則該圖形可以完成的無字證明為( ab

ab(a0,b

a2b2…2ab(a0,b (a0,b0)11

a2

a

(a0,b3（2021?浙江月考）pab0，命題q

a2

(ab

，則p是q成立的 充分不必要條 B．必要不充分條C．充分必要條 D．既不充分也不必要條【例4（2022秋?三水區(qū)校級月考）設(shè)a0，b0，則下列不等式中一定成立的是 A．a(chǎn)b1…

B．(ab

a2 C．2ab D．(ab)(11)…a 【例5（2025?河北模擬）已知a0，b0，2ab1，則1a的最小值為 B．

2】利用基本不等式求最值【例6（2025?五華區(qū)模擬）已知x0，y0，且xyxy80，則xy的最小值為 【例7（2025?廣東模擬）x0y0xyxy，則1x

y

的最小值為 B．

D．【例8（2024秋?漯河期末）已知實(shí)數(shù)x0，y0，且2xy1，則12的最小值為 4

9（2025?深圳期中）f(xx

x

1(x1)的最小值為 10（2025?新疆校級一模）x(0y2x

2x

的最小值為 C． 3第第PAGE5 共8【例11（2024?鄭州期末）設(shè)正數(shù)ab121，若不等式a2b…x24x9m 意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 m?

m?

【例12（2025?宜春校級開學(xué)）已知x0，y0，且x2yxy0，若x2ym恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (,8)．【例13（2024秋?紅河州期末）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且滿足1 2，若對于任意1?x?4 b不等式ab…x24xm恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 [6，)14（2024?榆林期末）已知m0n0，且m2n21mn m2n2…

11

m2

m3n3?【例15（2024?湖南學(xué)業(yè)考試）已知m1n0m22mn0，若不等式m

mλ立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為 4第第PAGE6 共816（2024?昌吉州期末）800xx2產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 A．12 B．24 C．36 D．4010.25x天，為了使每個面包的總成本最小，則每天應(yīng)制作 A．20 B．30 C．40 D．50【例18（2024?廣州期末）某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m10080總造價是 A．160000 B．179200 C．198400 D．297600【例19（2024?科爾沁區(qū)校級期末）一天，陶淵明采菊東籬下．想用一段長為36m圍成一個一邊靠墻（墻體足夠長）的矩形菜園，問這個矩形菜園的最大面積是 )m2 【例20（2024秋?柳州期末）某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，欲用柵欄圍成一個面積為100平方米的矩形植物園種植花卉，如圖假設(shè)矩形植物園的長為x，寬為y．則至少需要40 5【例21（2025春?吉林期中）在函數(shù)f(x)6xx2的圖象與x軸圍成的封閉圖形內(nèi)作一內(nèi)接矩形ABCD，則可作矩形的最大面積為(

6

22（2025?蓮湖區(qū)期中）zabi(abR，且ab0)z2z1

的最小值是 D．923（2025?太原期中）ABCBCDABAC EFAEmAB(m0) AFnAC(n0)，則m4n的最小值為 B．

D．【例24（2024?石嘴山期末）ylogxax12(a0a1的圖象恒過定點(diǎn)(k,bmnbk且m0，n0，則41的最小值為

D．9x2【例25（2024秋?光明區(qū)校級期末）已知函數(shù)f(x) 3x)1，正實(shí)數(shù)a9x2f(2af(b4)24b

2ab

的最小值為 第第PAGE1 共18第4講基本不等式 【知識點(diǎn)3】與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問 a＋b基本不等式：

的算術(shù)平均數(shù)，x，yxyPx＝y(tǒng)x＋y2

?

2 ab≤(

≤

【例1（2022秋?射陽縣校級月考）若ab0，且ab，則下列不等式一定成立的是 a2【答案】

1

ba

ab【分析】舉反例a1b2ABD錯誤，利用基本不等式可判斷C【解答】A，若a1b2，則a2b2AB，若a1b211B 對于C，Qab0，b0a0，又ab baababaa

2，故C對于D，若a1，b2，則ab ，故D錯誤C【例2（2024?城西區(qū)校級月考《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是CABACaBCbOAB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于點(diǎn)D，連接OD，AD，BD，過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為點(diǎn)E，則該圖形可以完成的無字證明為( ab

ab(a0,b

a2b2…2ab(a0,b (a0,b0)11

a2

a

(a0,b【答案】【分析】ab

abAC選項(xiàng)；由于a2b2在該圖中沒有相應(yīng)的線段與之BD選項(xiàng)．【解答】解：由CABACa，BCb，OABABABabOAOBODabRtACD∽RtDCBCDAC，即CD2ACBCab 所以CD ；在Rt△OCD中，ODCD，即ab

ab(a0,b當(dāng)ODABOCabab

ab(a0b0)ARtOCDRtDEC∽RtDCOCDDE 所

DE a a 由于CDDE

1 當(dāng)abCDDE

1

，所以C由于a2b2BD中的不等式無法證明．C．3（2021?浙江月考）pab0，命題q

a2

(ab

，則p是q成立的 A．充分不必要條 B．必要不充分條C．充分必要條 D．既不充分也不必要條a2

ab 【分析】命題q

a2ab

(a

0a2

ab 【解答】q

a2ab

(a

0a、bRp是q成立的充分不必要條件．A．【例4（2022秋?三水區(qū)校級月考）設(shè)a0，b0，則下列不等式中一定成立的是 ab1…

(ab

a2 2ab D．(ab)(11)…a 【分析】ACDB【解答】解：Qa0b0ab

1…

… 當(dāng)且僅當(dāng)ab，且

，即ab

2Aa2b2

ab (a

ab

a2 ) 0 ) B Qab…

0，2ab

aba

2當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，a

不一定成立，故CQ(ab11)2ba4，當(dāng)且僅當(dāng)abD 【例5（2025?河北模擬）已知a0，b0，2ab1，則1a的最小值為 B．

【答案】【分析】【解答】解：由2ab1a0b01a2aba2ba4 當(dāng)且僅當(dāng)ab且2ab1，即ab1C2】利用基本不等式求最值【例6（2025?五華區(qū)模擬）已知x0，y0，且xyxy80，則xy的最小值為 【答案】【分析】【解答】解：由題意可知xyxy8 8即xy 80 t(t0)，則t22t8…0解得t4或t?2（舍 4，xy…16xy4時，等號成立．C．【例7（2025?廣東模擬）x0y0xyxy，則1x

y

的最小值為 B．

D．【分析】y的表達(dá)式，由基本不等式可得1x

y

【解答】x0y0xyxyy

x

0x1y1

x

1

xx2(x所以1x

y

x

當(dāng)且僅當(dāng)x

2(x1x1

2所以1x

y

的最小值為22B【例8（2024秋?漯河期末）已知實(shí)數(shù)x0，y0，且2xy1，則12的最小值為 4

【答案】【分析】【解答】x0y0，且2xy1y4x 則12(2xy)(12)4y4x4 8，當(dāng)且僅當(dāng)y2x，集x1，y1時取等號y4x C9（2025?深圳期中）f(xx

x

1(x1)的最小值為 【答案】【分析】(x1)x【解答】x1(x1)xf(xx

x

1x1

x

2

24C．

x

x210（2025?新疆校級一模）x(0y2x

2x

的最小值為 C． 【分析】【解答】x(02xy2x 2x12x

2x 2x當(dāng)且僅當(dāng)2x1A．

2x

x13【例11（2024?鄭州期末）設(shè)正數(shù)ab121，若不等式a2b…x24x9m 意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 m?

m?

【分析】由已知結(jié)合基本不等式可求a2b的最小值，然后結(jié)合恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化及二【解答】解：因?yàn)檎龜?shù)ab121 2b2a 所以a2ba2b1252b2a2b2a

9，當(dāng)且僅當(dāng)ab3若不等式a2b…x24x9mx恒成立，則9…x24x9m恒成立，所以m…x24x恒成立，x2x24x故m…4．B．【例12（2025?宜春校級開學(xué)）已知x0，y0，且x2yxy0，若x2ym恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (,8)．【答案】(,8)【分析】利用乘“1”x2y第第PAGE9 共18【解答】x0y0x2yxy012 x4y x2yx2y124x4yx4y

x4y121y2x4 x2ym恒成立，所以m8．(,8)．【例13（2024秋?紅河州期末）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且滿足1 2，若對于任意1?x?4 b不等式ab…x24xm恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 [6，)【答案】[6【分析】先利用基本不等式“1”的妙用求得ab的最小值，從而得到任意1?x?4，不等式恒【解答】解：因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，且滿足1 2 b所以aba(b2)2[a(b2)](1 )3b2

2(b2)

3

2(bb2b2 2(bb2

2(b2)

，即a2b4則由題意可得6…x24xm在x[1，4]上恒成立，即m…x24x6在x[1，4]上恒成立，只需m…(x24x6) f(xx24x6，其在[12]上單調(diào)遞減，在[24]上單調(diào)遞增，f(x)x24x6x4f（4）424466，所以m…6，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[6．故答案為：[6)．14（2024?榆林期末）已知m0n0，且m2n21mn m2n2…

11

m2

m3n3?【分析】由重要不等式可得出

2

2 mn1，再利用基本不等式及不等式的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；分析可知，關(guān)于n的二次方程n2mnm210有實(shí)根，由△0可判斷C選項(xiàng)；由基本不等式可得出mn?2，再利用立方和D選項(xiàng)．【解答】解：因?yàn)閙0n0，且m2n21mnA，由重要不等式可得

2

m21mn1 ，則m2n2?2當(dāng)且僅當(dāng)mn1AB，由重要不等式可得1mnm2n22mn，可得mn?1，當(dāng)且僅當(dāng)mn1時，等號成立，11

2，當(dāng)且僅當(dāng)mn1B對于C，由題意可知，關(guān)于n的二次方程n2mnm210有實(shí)根，m24(m21)43m20，即m24，解得23m23，2 2又因?yàn)閙0，所以，0m ，故C對D，由m2n21mn可得(mn)213mn mn 3(m由基本不等式可得(m

13mn13 )1 可得(mn)2

1，即(mn)2?4因?yàn)閙0n0，則mn0mn?2，當(dāng)且僅當(dāng)mn1時，等號成立，m3n3mn)(m2mnn2mn?2DBCD【例15（2024?湖南學(xué)業(yè)考試）已知m1n0m22mn0，若不等式m

mλ立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為 【答案】【分析】根據(jù)“1”【解答】解：因?yàn)閙22mn0mm22mn 所 m20，即m11 所以 m( m)(m1n)11 m(mm m m(m 2

4，當(dāng)且僅 m(m1)，即m3,n3時等號成立m(m mm(m m(m故λ?4．C．416（2024?昌吉州期末）800xx2產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 A．12 B．24 C．36 D．40【分析】yy800x yminx【解答】y800x y800x2800x800x

40x40 40y最小．D．10.25x天，為了使每個面包的總成本最小，則每天應(yīng)制作 A．20 B．30 C．40 D．50【答案】【分析】y400x 個面包的平均存留時間為0.25x 所以總成本為400

y400x2400x20 x4040C．【例18（2024?廣州期末）某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m10080總造價是 A．160000 B．179200 C．198400 D．297600【答案】【分析】xy4個面，計算出建造這個水池的總造價是100xy2(xy380【解答】xy則3xy4800y16004 x100xy2(xy)380160000480(x1600)160000480xx1600x40C．

198400【例19（2024?科爾沁區(qū)校級期末）一天，陶淵明采菊東籬下．想用一段長為36m圍成一個一邊靠墻（墻體足夠長）的矩形菜園，問這個矩形菜園的最大面積是 )m2 【答案】【分析】xm，由已知表示出另一邊長，再求出矩形面積的表達(dá)式，法(i利用基本不等式即可求出菜園的最大面積；法(ii【解答】xm0x36因?yàn)榛h笆的長為36m36xm法(iSx36x1x36x)?1x36x)2162 x36xx18時等號成立，所以矩形菜園的最大面積是162m2．法(ii)Sx36x1(x236x(0x36) x18，而18(036)所以x18時，則 1(1823618)162 即矩形的面積的最大值為162m2．C．【例20（2024秋?柳州期末）某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，欲用柵欄圍成一個面積為100平方米的矩形植物園種植花卉，如圖假設(shè)矩形植物園的長為x，寬為y．則至少需要40 【答案】【分析】xy100，周長為2(xy【解答】xy100L2(xyx0y0，則2(xy)2

2

40xy105【例21（2025春?吉林期中）在函數(shù)f(x)6xx2的圖象與x軸圍成的封閉圖形內(nèi)作一內(nèi)接矩形ABCD，則可作矩形的最大面積為(

6

【分析】ABA(x6xx2B(6x6xx2ABCD的面積可表示為S(x)(62x)(6xx2x(03)，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可．【解答】ABA(x6xx2B的坐標(biāo)為(6x6xx2，ABCD的面積可表示為S(x)(62x)(6xx2x(03)，所以S(x)2(6xx262x)26x236x36令S(x)0，解得x3 或x3 （舍去，又因?yàn)镾(x)在(0,33)上單調(diào)遞增，在(33所以矩形的最大面積為S(33)236 B22（2025?蓮湖區(qū)期中）zabi(abR，且ab0)z2z1

的最小值是 D．9【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算及概念先求出ab【解答】zabi(abR，且ab0)z2a2bi(a2bi)(a2bi)a2b244biz a2 (a2bi)(a2 (a2)2則a2b241

a2b2a2b21

a25

9

b2當(dāng)且僅當(dāng)b22a2，即a24b2