4/43.1.4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算一、學(xué)習(xí)重點(diǎn)1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算；2.空間向量平行和垂直的條件；3.兩個(gè)向量夾角與向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式。二、學(xué)習(xí)難點(diǎn)向量坐標(biāo)的確定及坐標(biāo)計(jì)算公式應(yīng)用三、知識(shí)梳理1.空間直角坐標(biāo)系及空間向量的坐標(biāo)(1)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸、y軸、z軸的正方向引單位向量，這三個(gè)互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底{}，這個(gè)基底叫做_______；單位向量都叫做_________。(2)空間向量的坐標(biāo)：已知任一向量，根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一實(shí)數(shù)組（a1，a2，a3），使分別為向量在方向上的分向量，有序?qū)崝?shù)組（a1，a2，a3）叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的_______，上式可簡記作＝________。2.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則設(shè)＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）則向量運(yùn)算坐標(biāo)表示加法＝_____________減法＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）數(shù)乘＝（）數(shù)量積·＝a1b1+a2b2+a3b33.空間向量平行和垂直的條件：設(shè)＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）(1)∥（）____________當(dāng)與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行時(shí)∥______________(2)⊥________________________（且）。4.兩向量夾角與向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式：(1)設(shè)＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），則｜｜＝_______________＝_____________，｜｜＝_________________＝____________________，cos<，>______________________＝_____________________。(2)設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則＝_________________＝___________________，｜｜＝__________________.四、典型例題類型一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算在運(yùn)算中注意相關(guān)公式的靈活運(yùn)用，如（）·（）＝＝｜｜2－｜｜2；（）·（）＝（）2等。例1.已知＝（2，－3，5），＝（－3，1，－4）。求2－3，｜｜，（2+3）·（－2），cos（，）。變式訓(xùn)練：已知＝（－3，2，5），＝（1，5，－1），求：(1)+3；(2)·（+3).類型二空間向量的平行與垂直問題例2.已知空間三點(diǎn)A（－2，0，2）、B（－1，1，2）、C（－3，0，4），設(shè)＝，＝。(1)設(shè)｜｜＝3，∥，求；(2)若k+與k－2互相垂直，求k。變式訓(xùn)練：（1）已知向量＝（2，4，5），＝（3，x，y），若∥，求x，y的值。(3)已知：＝（2，4，x），＝（2，y，2），若｜｜＝6，且⊥，求x+y的值。類型三利用向量法解決夾角和距離問題例3.如圖棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1的中點(diǎn)。(1)求證：EF⊥CF；(2)求與所成角的余弦；(3)求CE的長。變式訓(xùn)練：如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是正方形BCC1B1