2004年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析

(1)填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(1)若lim-^^~(cosx-6)=5,貝ijt=1,6=-4.

xfoex-a

【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.

【詳解】因?yàn)閘im&^lcosx—/?)=5,且limsinx?(cosx-Z))=0,所以

x

x-?oe-aXTO

lim(ex-6Z)=0,得a=l.極限化為

XTO

cinxx

lim--------(cosx-6)=lim—(cosx-b)=l-b=5f得b=-4.

x—>o/—Qx—>ox

因此，<7=1,b=—4.

【評(píng)注】一般地，已知lim2啦=A,

g(x)

(1)若g(x)f0,則/(x)f0；

(2)若,f(x)r0,且ZxO,則g(x)->0.

⑵設(shè)函數(shù)/(〃/)由關(guān)系式/[xg(y),y]=x+g(y)確定,其中函數(shù)g(y)可微，且g(y)wO,

則立=.

dudvg2(v)

【分析】令〃二次⑺，u=可得到/(〃/)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可.

【詳解】令〃=xg(y),v=y,則/(〃，u)=」一+gW，

g(v)

所以，紅，,亞=一冬也

dug(v)dudvg(V)

⑶設(shè)/(x)={Z]，則f{x-V)dx=--

-1,x>—2一2

[2

【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x-\=t,再利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)

的積分性質(zhì)即可.

【詳解】令x-1=t,fif(t)dt=fif(x)dt

【評(píng)注】一般地，對(duì)于分段函數(shù)的定積分，按分界點(diǎn)劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解.

22

(4)二次型f(xl,x2,x3)-區(qū)+x2)+(x2-x3)4-(X3+xj2的秩為2.

【分析】二次型的秩即對(duì)應(yīng)的矩陣的秩，亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，于是利用初等變換

或配方法均可得到答案.

【詳解一】因?yàn)?(國戶2，/)=(再+/)2+(%2-W)2+。3+匹>

=2Xj2+2X2+2X2+2X,X+2Xj%-

23232X2X3

，211、

于是二次型的矩陣為A=12-1

JT2,

-12、"1-12、

由初等變換得AT03-3T03-3

、03-3,、000,

從而尸(/)=2,即二次型的秩為2.

【詳解二】因?yàn)?區(qū),x2，%3)=(陽+七)2+(%2—/)2+(/+%,)2

22

2xJ+2X2+2X3+2X,X2+2xtx3—2x2x3

2x

=2區(qū)+(/+^X3)+~(2_》3)2

2

=2必2+|y2,

…11

X

其中必=X]+]工2+5X3,y2=^2~3-

所以二次型的秩為2.

(5)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則P{X>J而}=

e

【分析】根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.

【詳解】由于DX=《，X的分布函數(shù)為

1-e3x>0,

%x)=?

0,x<0.

故

P{X>4DX}=1-P{X<4DX}=1-P{X<-}=1-F(-)=

22e

【評(píng)注】本題是對(duì)重要分布，即指數(shù)分布的考查，屬基本題型.

(6)設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(人,小)，總體y服從正態(tài)分布N(〃2，/),

X，X2,…x4和匕,八,…4分別是來自總體x和丫的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則

22

之（乜-了）+￡（4一歹）

2

Ei=l/=1a

%+%一2

【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征即可得答案.

2222

【詳解】因?yàn)镋[-^—Y(Xi-X)]=a,￡[—^-￡(ry-D]=<7,

?i-1,=i%T/=i

故應(yīng)填cr2.

【評(píng)注】本題是對(duì)常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征的考查.

二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有?項(xiàng)符合題目要求,

把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))

(7)函數(shù)/(x)=e?sm(x-2)在下列9個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.

x(x—l)(x—2)

(A)(-l,0).(B)(0,1).(C)(l,2).(D)(2,3).[A]

【分析】如/(x)在(a,6)內(nèi)連續(xù)，且極限lim/(x)與lim/(x)存在，則函數(shù)/(x)

x—>a+x->b~

在(a,6)內(nèi)有界.

【詳解】當(dāng)XR0,1,2時(shí)，/(x)連續(xù)，而limf(x)=---------，hm/(x)=----------,

x--i+18x-(r4

lim/(x)=:-----?,lim/(x)=oo,lim/(x)=oo,

,r->0+4x—>1x—>2

所以,函數(shù)/(x)在(-1,0)內(nèi)有界,故選(A).

【評(píng)注】一般地，如函數(shù)/(x)在閉區(qū)間出，句上連續(xù)，則/(x)在閉區(qū)間出，句上有界；如函數(shù)/(x)在開區(qū)間(。,

份內(nèi)連續(xù)，且極限lim/(x)與lim/(x)存在，則函數(shù)/(x)在開區(qū)間①")內(nèi)有界.

x->a+x->b-

(8)設(shè)/(X)在(-00,+oo)內(nèi)有定義，且limf(x)=a,

X->00

g(X)=1X,則

0,x=0

(A)x=0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B)x=0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).

(C)x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).

(D)g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與。的取值有關(guān).[D]

【分析】考查極限limg(x)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元“=

x—>0X

可將極限limg(x)轉(zhuǎn)化為limf{x}.

x-?()x—>00

【詳解】因?yàn)閘img(x)=lim/d)=lim/(”)=。(令〃=▲),又g(0)=o,所以，

x->0x-?0X〃->ooX

當(dāng)a=0時(shí)，limg(x)=g(0),即g(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，

x70

limg(x)Hg(0),即x=0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)，因此，g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性

x—>0

與。的取值有關(guān)，故選(D).

【評(píng)注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性.

(9)設(shè)/(x)=lx(l-x)l,則

(A)x=O是/(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(B)x=O不是/(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y=/.(x)的拐點(diǎn).

(C)x=0是/(x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(D)x=O不是/(x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).IC]

【分析】由于/(x)在x=0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，

考查/(x)在x=0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷拐點(diǎn)情況.

【詳解】設(shè)0<6<1,當(dāng)xe(-3,0)u(0,6)時(shí)，/(x)>0,而/(0)=0,所以x=0是/(x)

的極小值點(diǎn).

顯然，x=0是/(x)的不可導(dǎo)點(diǎn).當(dāng)xe(-5,0)時(shí)，fix')=-x(l-x),./"(x)=2>0,

當(dāng)x€(O,B)時(shí)，/(x)=x(l-x),f"(x)=-2<0,所以(0,0)是曲線y=./'(x)的拐點(diǎn).

故選(C).

【評(píng)注】對(duì)于極值情況，也可考查/(x)在x=0的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷.

(10)設(shè)有下列命題：

0000

⑴若Z(〃2"_]+〃2”)收斂，則X"”收斂?

n=\〃=1

0000

(2)若收斂，則Z〃"+1000收斂.

n={n=\

00

(3)若lim■>1,則發(fā)散

〃f8Un“1

000000

(4)若￡(〃“+V”)收斂，則，Z%都收斂.

n=\n=\n=\

則以上命題中正確的是

(A)⑴(2).(B)⑵(3).(C)⑶(4).(D)(1)(4).[B]

【分析】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來說明4個(gè)命題的正確性.

0000

【詳解】(1)是錯(cuò)誤的，如令〃“=(-1)",顯然，Z〃〃分散，而Z(〃2"T+〃2”)收斂.

n=\n=\

(2)是正確的，因?yàn)楦淖?、增加或減少級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的收斂性.

00

(3)是正確的，因?yàn)橛蒷im%旦>1可得到人不趨向于零(〃一8),所以發(fā)散.

〃一-

〃n=\

ii0000

(4)是錯(cuò)誤的，如令〃顯然，Yun,Z%都發(fā)散，而

〃〃?=1〃=］

00

Z(〃“+v”)收斂.故選(B).

n=\

【評(píng)注】本題主要考查級(jí)數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型.

(11)設(shè)/'(x)在［a,b］上連續(xù)，且f'(a)>0,f'(b)<0,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

(A)至少存在一點(diǎn)x()e(a,b),使得/(x。)>/(a).

(B)至少存在一點(diǎn)x。e(a,b),使得/(x0)>/(/>).

(C)至少存在一點(diǎn)X。e(a,b),使得/'(xo)=0.

(D)至少存在一點(diǎn)x()e(a,Z)),使得/(x())=0.［D］

【分析】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，由排除法可選出錯(cuò)誤選項(xiàng).

【詳解】首先，由已知/'(X)在［a,b］上連續(xù)，且/'(a)〉0,/'(b)<0,則由介值定理，

至少存在一點(diǎn)Xow(a,b),使得/'(Xo)=o；

另外，/(〃)=lim-/⑴二/(“)〉0,由極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)x()e(aM

x->a+X-a

使得>0,即/(殉)>/(。).同理，至少存在一點(diǎn)出€(a/)

xo~a

使得/(而)>f(b).所以，(A)(B)(C)都正確，故選(D).

【評(píng)注】本題綜合考查了介值定理與極限的保號(hào)性，有一定的難度.

(12)設(shè)〃階矩陣/與3等價(jià)，則必有

(A)當(dāng)I41=a(aH0)時(shí),\B\=a.(B)當(dāng)IZ1=K0)時(shí)，IB1=-a.

(C)當(dāng)l/HO時(shí)，181=0.(D)當(dāng)INI=0時(shí)，181=0.IDJ

【分析】利用矩陣/與3等價(jià)的充要條件：r(Z)="8)立即可得.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)IZI=0時(shí).，“/)<〃，又4與B等價(jià),故?8)<〃，即181=0,故選(D).

【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣等價(jià)、行列式的考查，屬基本題型.

(13)設(shè)〃階矩陣/的伴隨矩陣。0,若是非齊次線性方程組4t=6的

互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組4t=0的基礎(chǔ)解系

(A)不存在.(B)僅含一個(gè)非零解向量.

(C)含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量.(D)含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量.[B]

【分析】要確定基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)，實(shí)際上只要確定未知數(shù)的個(gè)數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.

【詳解】因?yàn)榛A(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)=〃-"〃)，而且

n,r(A)-n,

—*1,F(T4)—n—\,

0,r(A)<?-1.

根據(jù)已知條件N*wO,于是尸(4)等于〃或〃一1.又=有互不相等的解，

即解不惟一，故〃(/)=〃—1.從而基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量，即選(B).

【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣N與其伴隨矩陣Z*的秩之間的關(guān)系、線性方程組解的結(jié)構(gòu)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查.

(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,l),對(duì)給定的ae(0,1),數(shù)4滿足P{X>%}=a,

若尸{IXI<x}=a,則x等于

(A)(B)2k.(C)色.(D)wt_a.[C]

2~2~

【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性和幾何意義即得.

【詳解】由尸{IXI<x}=a,以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得

1—a

P[X>x}=-^.故正確答案為(C).

【評(píng)注】本題是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，嚴(yán)格地說它的上分位數(shù)概念的考查.

三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

(15)(本題滿分8分)

2

1cosX

求lim(—Z-------).

x->0sinxx

【分析】先通分化為“9”型極限，再利用等價(jià)無窮小與羅必達(dá)法則求解即可.

o

2222

■、4皿、../1cosxx..x-sinxcosx

【詳解】hm(-z------=hm--------z-z------

x—0sinxxxf0xsinx

c1.4

x2--sin22x2x——sin4xi

1.?v1-C0S4XA5迎二4

=lim----^—7---------=lim------z----=lim-----—

x-?0x4x->04/x-o6x2xfo6x23

【評(píng)注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對(duì)于“9”型極限，應(yīng)充分利用等價(jià)無窮小替換來簡(jiǎn)化計(jì)算.

o

(16)(本題滿分8分)

求JJ(/2+y2+y)da，其中。是由圓/+/=4和(%+1)2+聲=i所圍成的平面區(qū)域(如圖).

D

【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓2=｛。4)|/+^244｝減去小圓

22

D2=｛(XJ)I(x+1)+y<1],再利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算即可.

【詳解】令。]={(x,y)I產(chǎn)+y2?4},。2={(X,y)I(X+1)2+/W1},

由對(duì)稱性，\\ydu=0.

D

jjy/x2+y2da=jjy/x2+y2da-JJ/

D￡)iD2

(?24<*27r網(wǎng)，八f-2cos。T,

=[dO[r~dr-\d0\r~dr.

JoJoJ色Jo

2

1673216小小

=---------=—(3乃—2)

399

所以，jj(7?+y2+y)da=y(3/r-2).

D

【評(píng)注】本題屬于在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的基本題型，對(duì)于二重積分，經(jīng)常利用對(duì)稱性及將一個(gè)復(fù)雜

區(qū)域劃分為兩個(gè)或三個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域來簡(jiǎn)化計(jì)算.

(17)(本題滿分8分)

設(shè)/(x),g(x)在口，勾上連續(xù)，且滿足

1/(/)龍>Jg⑴出，xe[a,b),Jf(t)dt=fg⑴出.

JaJaJa

證明：\rbxf(x)dx<<bfxg(x)dx.

Ja'Ja

【分析】令尸(x)=/(x)-g(x)，G(x)=[》(/)d/,將積分不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式即可.

【詳解】令尸(x)=/(x)-g(x),G(x)=jF(t)dt,

由題設(shè)G(x)>0,xe[a,b],

G(q)=G(b)=0,G'(x)=F(x).

從而xF{x}dx=J,xdG(x)=xG(x)|：-『G(x)以=-G{x}dx,

由于G(x)>0,xG[a,h],故有

-『G(x心<0,

即［bxF(x)dx<0.

J。

因此xf(x)dx<j"xg(x)公.

JaJ。

【評(píng)注】引入變限積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法.

(18)(本題滿分9分)

設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=100-5P,其中價(jià)格Pe(0,20),Q為需求量.

(I)求需求量對(duì)價(jià)格的彈性Ed(Ed>0);

(II)推導(dǎo)^%)(其中R為收益)，并用彈性E"說明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)，降低價(jià)格反而使

dP

收益增加.

PdQ

【分析】由于%>0,所以J；由Q=PQ及E”=可推導(dǎo)

~QdP~QdP

&QQF).

PdQP

【詳解】⑴Ed

QdP20-P

(II)由R=PQ,得

P^dQ

=0(1+)=0(1—J).

%。+嚕~QdP

p

又由=1,得P=IO.

"20-P

dR

當(dāng)10<P<20時(shí)，E>1,于是一<0,

ddP

故當(dāng)10<P<20時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加.

【評(píng)注】當(dāng)￡〃>()時(shí)，需求量對(duì)價(jià)格的彈性公式為%=(筆=-，*

利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個(gè)常用的公式：

dR=(l—Ed)Qdp,噌=(l—Ed)Q,M=(l-3)p,

apaQEd

-=\-E(收益對(duì)價(jià)格的彈性).

Epd

(19)(本題滿分9分)

設(shè)級(jí)數(shù)

x4x6x8

---------1---------------1-----------------+???(-00<x<+00)

2-42-4-62-4-6-8

的和函數(shù)為S(x).求：

(I)S(x)所滿足的一階微分方程；

(II)S(x)的表達(dá)式.

【分析】對(duì)S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達(dá)式.

Y

【詳解】⑴5(%)=—+4-----------------+

2.42-4-62-4-6-8

易見5(0)=0,

S\x)-----F-------H----------------F

22-42-4-6

=x(匕土+^-

+???)

22-42-4-6

Y

=x[y+5(x)].

因此S(x)是初值問題

y'=xy+—,y(0)=0的解.

(II)方程/=肛+]的通解為

一的聯(lián)氣+0

--1+Ce2,

2

由初始條件y(0)=0,得C=l.

22

"x2-

故y=—1+e2-1,因此和函數(shù)S(x)=—1+e2-1.

【評(píng)注】本題綜合了級(jí)數(shù)求和問題與微分方程問題，2002年考過類似的題.

(20)(本題滿分13分)

T

設(shè)%=(1,2,0)7,a2=(l,a+2,—3a)。a3=(-1,-b-2,a+2b),夕=(1,3,—3)。

試討論當(dāng)4/為何值時(shí),

(I)(不能由四,0￡2，。3線性表示;

(H)用可由四,6(2，。3唯?地線性表示，并求出表示式；

(III)夕可由外,仁2，。3線性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.

42，&3+A

【分析】將可否由四,。線性表示的問題轉(zhuǎn)化為線性方程組占四a24-k3a3=§

是否有解的問題即易求解.

【詳解】設(shè)有數(shù)匕，左2,&，使得

k]a]+k2a2+k3a3-[i.(*)

記2=(四〃2，。3).對(duì)矩陣(4￡)施以初等行變換，有

-11-11--i1-1r

(4口)=2a+2-b—23T0a-h1

0—3Qa+2b—300a-b0

(I)當(dāng)4=0時(shí)，有

~11-11■

(4吁00—61

000-1

可知r(/)Kr(44).故方程組(*)無解，夕不能由囚,。2，々3線性表示.

(II)當(dāng)。H0,且。工6時(shí)，有

r1001--

-11-11a

1

(4夕)一＞0Q-b1-010

00a-b00010

r(A)=r(A,。)=3,方程組(*)有唯一解：

=1——,h=',左3=0.

aa

此時(shí)用可山外,儀2，%唯一地線性表示，其表示式為

B=Q—)<Xj4—%.

aa

(III)當(dāng)a=bw0時(shí)，對(duì)矩陣(4￡)施以初等行變換,有

「100

11-11

(4夕)->0a-b1->01-1

a

00a-b00000

r(A)=r(A,仍=2,方程組(*)有無窮多解，其全部解為

=1--,k-,=—+c,左3=。，其中c為任意常數(shù).

aa

0可由囚,。2，。3線性表示，但表示式不唯一，其表示式為

0=(1---)(Z|+(—1c)o,2+co>3.

aa

【評(píng)注】本題屬于常規(guī)題型，曾考過兩次(1991,2000).

(21)(本題滿分13分)

設(shè)〃階矩陣

(\b…b\

Jjb???

(I)求N的特征值和特征向量；

(II)求可逆矩陣尸，使得為對(duì)角矩陣.

【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算問題，通?？捎汕蠼馓卣鞣匠?/p>

-41=0和齊次線性方程組JE-A)x=0來解決.

【詳解】(I)1°當(dāng)6Ho時(shí)，

A—1-b…—b

—bA—1…-b

\kE-A\=

—b—h…A-l

=[A-l-(n-l)/>][A-(l-6)]"-1,

得N的特征值為4=1+5—1)8,&=3=4=1—6.

對(duì)4=1+(Z?—Y)h,

’1)6—h…-h、[”I)-1??-1、

—b(〃―1)6???-b-1(〃-1)??-1

XtE-A=->

b—[???

k-—h…\-1(〃一?

tt-1-1…—J/]1-11

-177—1…—]-i-1n-\?,—1-1

->::f:??

-1—1…77—1--i-1—1??n-\-1

1000…oj、000???0，

'11??,1]_〃、q0…0-1、

0n…0-n0…0-1

—T

00???〃一〃00…1-1

、°o0???0；、0000）

解得百=…,1）"所以z的屬于人的全部特征向量為

垢=%（1,覃,…?（左為任意不為零的常數(shù)）.

對(duì)刈=1—b,

'-b1、

-b0

砧—/=.

~b0>

得基礎(chǔ)解系為

。2=(1,TO,…,0)7,芻=(l,O,-l,-,O)r,-,e?=(1,0,0,--l)r.

故N的屬于石的全部特征向量為

左2。2+%3<?3+（左2，左3,…，熊是不全為零的常數(shù)）?

2°當(dāng)6=0時(shí),

A-10?-0

02-1?-0

"E—"1=

00-,A—1

特征值為4=-=4=1，任意非零列向量均為特征向量.

（II）r當(dāng)6Ho時(shí)，〃有"個(gè)線性無關(guān)的特征向量，令。=?,&,…，0），則

n+（〃—1）力

2°當(dāng)6=0時(shí)，A=E,對(duì)任意可逆矩陣P,均有

P-'AP=E.

【評(píng)注】本題通過考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計(jì)算，齊次線性方程組的求解和矩陣

的對(duì)角化等問題，屬于有一點(diǎn)綜合性的試題.另外,本題的解題思路是容易的，只要注意矩陣中含有一個(gè)未

知參數(shù)，從而一般要討論其不同取值情況.

（22）（本題滿分13分）

設(shè)/,8為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（/）=；,P（8IZ）=g,P（/I8）=g,令

叱[1,4發(fā)生,v[1,B發(fā)生,

0,/不發(fā)生，[0,8不發(fā)生.

求

（I）二維隨機(jī)變量（x,y）的概率分布；

（H）x與丫的相關(guān)系數(shù)PxY-

(iii)z=x?+y2的概率分布.

【分析】本題的關(guān)鍵是求出（x,y）的概率分布,于是只要將二維隨機(jī)變量（x,y）的各取值對(duì)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)事

件/和8表示即可.

【詳解】(I)因?yàn)槭?48)=尸(4)P(3IZ)=,，于是P(5)=P(AB)=-

12P(A\B)6

則有P{X=l,y=l}=P(48)=-1-,

一1

尸{X=1,y=0}=P(AB)=P(A)-P(AB)=-,

6

一1

P{X=0.Y=l}=P(AB)=P(B)-P(AB)=—,

------2

P{X=0,y=0}=P(/?8)=1—P(4u3)=1—[P(4)+P(B)-P(AB)]=1,

即（x,y）的概率分布為:

(II)方法一：因?yàn)镋X=P{A)=-,EY=P(B)=L,E(XY)=—,

4612

,1,1

EX2=P(A)=~,EY2=P(5)=-,

46

35

DX=EX2-(EX)2=—,DY=EY2-(EY)2=—,

1616

Cov(X,D=E(XY)-EXEY=—,

_Cov(x,y)__j__叵

所以x與y的相關(guān)系數(shù)PxY~ylDX-DY—后一］5

方法二：X,Y的概率分布分別為

X|01Y|01

315r

P--P--

4466

則EX=L”=LDX—,DY=—,E(XY)=—,

46163612

故Cov(X,Y)=E(")-EX?EY=,從而

Cov(X,K)_V15

PL甌廊F

(III)Z的可能取值為：0,1,2.

P{z=0}=P{x=o,y=0}=g,

尸億=1}=P{x=i,y=0}+p{x=o,y=1}=L

4

尸{z=2}=尸{x=i,y=i}=',

即Z的概率分布為：

Z012

P211

3412

【評(píng)注】本題考查了二維離散隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布，數(shù)字特征和二維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布等計(jì)算問

題，屬于綜合性題型

(23)(本題滿分13分)

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F（x,a，B）=?x>a,

x<a9

其中參數(shù)a>0,4>1.設(shè)X|,Xz，…,X”為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,

(I)當(dāng)a=1時(shí)，求未知參數(shù)尸的矩估計(jì)量；

(H)當(dāng)a=1時(shí)，求未知參數(shù)§的最大似然估計(jì)量；

(III)當(dāng)夕=2時(shí)，求未知參數(shù)a的最大似然估計(jì)量.

【分析】本題是一個(gè)常規(guī)題型，只要注意求連續(xù)型總體未知參數(shù)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)都須已知密度函數(shù),

從而先由分布函數(shù)求導(dǎo)得密度函數(shù).

【詳解】當(dāng)a=l時(shí)，X的概率密度為

0,x<1,

(I)由于

EX=尸世==

所以，參數(shù)夕的矩估計(jì)量為夕=(二.

(II)對(duì)于總體X的樣本值匹,％2,…,%，似然函數(shù)為

W)=fl/(x,；a)=yxM2fx“嚴(yán)'巧〉1(，=1，2，一.，〃)，

,=I〔0,其他

當(dāng)為>l(i=l,2,)時(shí)，認(rèn)。)>0,取對(duì)數(shù)得

InL(B)=〃In4一(S+1)工In巧，

/=1

對(duì)夕求導(dǎo)數(shù)，得

即nL(S)]n—、.

---------=----/inx：f

dBPA

n

解得口

令嗎產(chǎn)十A。，

/=!

于是用的最大似然估計(jì)量為

B=^-

rn

Zlnx,

i=l

(III)當(dāng)￡=2時(shí)，X的概率密度為

2a2

/(居夕)=〈不x>a,

0,x<a,

對(duì)于總體X的樣本值x”…，貓，似然函數(shù)為

2"a2n

x>a(i=1,2,…M,

￡(￡)=口/(巧；。)=<(x/2…x〃)3，i

0,其他.

當(dāng)x,>a(i=l,2,…時(shí)，a越大，A(a)越大，即a的最大似然估計(jì)值為

a=mini，》?，…,x“},

于是a的最大似然估計(jì)量為

a=mm{X?X2,-,Xn].

2005年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析

一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

2x

(1)極限limxsin^—=_2_.

18+J

【分析】本題屬基本題型，直接用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】limxsin^^=limx^^=2.

IX-+1-J.J

(2)微分方程初'+N=0滿足初始條件共1)=2的特解為中=2.

【分析】直接積分即可.

【詳解】原方程可化為(中)'=0,積分得孫=C,

代入初始條件得C=2,故所求特解為xy=2.

(3)設(shè)二元函數(shù)z=+(x+l)ln(l+y),則龍[)、=2edx+(e+2)dy.

【分析】基本題型，直接套用相應(yīng)的公式即可.

Qz

【詳解】學(xué)=/+，+加+y+ln(l+y),

dx

dy1+y

于是dz=2edx+(e+2)dy.

(4)設(shè)行向量組(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,?),(4,3,2,1)線性相關(guān)，且awl,則2=1.

【分析】四個(gè)4維向量線性相關(guān)，必有其對(duì)應(yīng)行列式為零，由此即可確定a.

【詳解】由題設(shè)，有

2111

21aa11

=(a—l)(2a—1)=0,得a=l,a=—,但題設(shè)awl,故。=一.

321(722

4321

(5)從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X,再從1,2,…,X中任取一個(gè)數(shù)，記為Y,則

13

P[Y=2}=—.

48

【分析】本題涉及到兩次隨機(jī)試驗(yàn)，想到用全概率公式，且第一次試驗(yàn)的各種兩兩互不相容的結(jié)果即

為完備事件組或樣本空間的劃分.

【詳解】口丫=2}=P{x=i}P{y=2|x=1}+px=2}P{y=2|x=2}

+P{X=3}P{Y=2|x=3}+P{X=4}P{Y=4X=4}

10111、13

=-x(0+-+-+—)=—.

423448

(6)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為

01

00.4a

1b0.1

已知隨機(jī)事件{X=0}與{X+y=1}相互獨(dú)立，則a=0.4,b=0.1

【分析】首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的獨(dú)立性又可得一等式，由此可確定

a,b的取值.

【詳解】由題設(shè)，知a+b=0.5

又事件{X=0}與{X+Y=l}相互獨(dú)立，于是有

P{X=o,x+y=1}=p{x=0}P{x+y=1},

即a=(0.4+a)(a+/)),由此可解得a=0.4,b=0.1

二、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求,

把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))

(7)當(dāng)a取下列哪個(gè)值時(shí)，函數(shù)/(x)=2d—9/+12x-。恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.[B]

【分析】先求出可能極值點(diǎn)，再利用單調(diào)性與極值畫出函數(shù)對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)單圖形進(jìn)行分析，當(dāng)恰好有一個(gè)極

值為零時(shí)，函數(shù)f(x)恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

【詳解】f\x)=6x2-18x+12=6(x-l)(x-2),知可能極值點(diǎn)為x=l,x=2,且

/(l)=5-a,/(2)=4-a,可見當(dāng)a川時(shí):函數(shù)f(x)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，故應(yīng)選(B).

2222222

(8)設(shè)/]=jjcosy/x+yda,I2=||cos(x+y)da,I3=|jcos(x+y)da,其中

DDD

D={(x,y)\x2+y2<1},則

(A)/3>/2>/,.(B)Zj>/2>Z3.

(C)Z2>7,>73.(D)73>7,>Z2.[A]

【分析】關(guān)鍵在于比較，出+口2、/+)2與(/+72)2在區(qū)域。={(居內(nèi),2+>;241}上的大小

【詳解】在區(qū)域Z)={(x,y),2+/41}上，有04，+/41,從而有

y>1>-yjx2+y2>x2+y2>(x2+y2)2>0

TT

由于cosx在(0,—)上為單調(diào)減函數(shù)，于是

2

0<cos,r+F<cos(x2+/)4cos(x2+^2)2

因此jjcosJ」+/db<|jcos(x2+y2)d(y<JJcos(x?+/)2db,故應(yīng)選(A).

DDD