高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鎮(zhèn)江徐州七校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∴.故選：C.2.已知平面向量，是兩個(gè)單位向量，且，的夾角為，則（）A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】由題意可得，則.故選：A3.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】在中，由正弦定理可知：，∴，，∴.故選：C.4.已知平面向量，滿足，且在上的投影向量為，則（）A.4 B. C.2 D.【答案】C【解析】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所?故選：C.5.鎮(zhèn)江蘇寧廣場(chǎng)地處鎮(zhèn)江商業(yè)的核心位置——大市口商圈；它是一座集辦公、酒店、零售、娛樂(lè)為一體的新城市綜合體，某同學(xué)為測(cè)量鎮(zhèn)江蘇寧廣場(chǎng)的高度，在蘇寧廣場(chǎng)的正東方向找到一座建筑物，高約為170m，在地面上點(diǎn)處（三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部，蘇寧廣場(chǎng)頂部的仰角分別為30°和45°，在處測(cè)得樓頂部的仰角為15°，則蘇寧廣場(chǎng)的高度約為（）A.320m B.340m C.360m D.380m【答案】B【解析】在中，，，∴.在中，，，，，∴由正弦定理可得，∴.在中，，，∴.故選：B.6.已知，，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】由得；由得.兩式相加：，即.兩式相減：，即.因?yàn)?，代入?故選：B.7.在中，角所對(duì)的邊分別為，，在邊上，是角的平分線，，，則的周長(zhǎng)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】已知，移項(xiàng)可得.因?yàn)椋ㄈ?，則，不滿足），所以，即.又因?yàn)椋?因?yàn)槭墙堑钠椒志€，所以.根據(jù)三角形面積公式，可得.可得：，即兩邊同時(shí)約去可得.由余弦定理，將，代入可得：，即，即.根據(jù)完全平方公式，可得，將其代入上式可得：，將代入上式可得：，解得（負(fù)值舍去）.的周長(zhǎng)為.故選：A.8.如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，，，，與交于點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由已知得：，設(shè)，所以，又點(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，解得，所以，又，因，，所以，則，故.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知i為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為-1C.若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則 D.若，為復(fù)數(shù)，則【答案】AD【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，其共軛復(fù)數(shù)的虛部為1，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，則，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，，D正確.故選：AD10.設(shè)非零向量，的夾角為，定義運(yùn)算．下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.C.若，則 D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，所以或，所以，故C正確；對(duì)于D，若，則，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（）A. B.為銳角三角形C. D.【答案】ABD【解析】已知，根據(jù)二倍角公式，可得，則，即.因?yàn)?，所以，可?則，可得.因?yàn)?，所以，，兩邊同時(shí)除以，可得，故A選項(xiàng)正確.由，可知與同號(hào)，又因?yàn)?，所以都是銳角.，所以也是銳角，因此為銳角三角形，故B選項(xiàng)正確.因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)余弦定理，由，可得.，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以.又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，而不成立，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】2【解析】∵向量，，，∴，解得.故答案為：.13.已知，，則______．【答案】【解析】已知，則，所以.又因?yàn)?，所?根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系，可得：可得：因?yàn)?，所?再根據(jù)二倍角公式，可得：①又因?yàn)棰诼?lián)立①②求解，因?yàn)?，所以?由①得，代入②可得：設(shè)（），則，兩邊同時(shí)乘以得：，解得或，即或.由于，則可以再縮小，因此.因此.由于，而，，則.故答案為：.14.《數(shù)書九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個(gè)問(wèn)題，分為九類，每類九個(gè)問(wèn)題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了：已知三角形三邊，求面積的公式．這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即：，現(xiàn)有的三邊滿足，則的最大值______．【答案】【解析】在中利用正弦定理，可化簡(jiǎn)為，設(shè)，則，則，則，則，則，因，則，得，得，則當(dāng)時(shí)，有最大值.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)滿足和均為實(shí)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．（1）求復(fù)數(shù)；（2）若是方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的值．解：（1）設(shè)，（），則，因?yàn)楹途鶠閷?shí)數(shù)，所以，，則，所以復(fù)數(shù)．（2）因?yàn)閦是方程的一個(gè)根，則有整理得：，所以，則16.已知，且.（1）求的值；（2）若，求的值.解：（1）因?yàn)?，且，所以，所以；?）由（1）知：，，所以，.17.已知點(diǎn)，，（1）若三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若為等腰三角形，求實(shí)數(shù)的值；（3）若四邊形為矩形，求向量與夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，共線，即，又，，則有，所以；（2）①若，取中點(diǎn)，則，又，，則中點(diǎn)，而，，得：，②若，取中點(diǎn)，則，又，，，由，得或3，由（1）得：時(shí)，三點(diǎn)共線，舍去．所以，③若，取中點(diǎn)，則，又，，，由，得，方程無(wú)解，綜上，或5；（3）設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，，又，，，則，，，則，，則，綜上，向量與夾角的余弦值為.18.在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答，問(wèn)題：在中，角所對(duì)的邊分別是，且______．（1）求角；（2）已知，為線段上的一點(diǎn)．①若是邊上的高，求的最大值；②若，求的最大值．解：（1）選擇①：條件即，由正弦定理可知，，在中，，所以，，所以，且，即，所以選擇②：條件即，即，在中，，所以，則，所以，所以選擇③：條件即，所以，在中，，所以．（2）①因?yàn)榈拿娣e，所以在中，由余弦定理得：所以，從而當(dāng)且僅當(dāng)取等．所以的最大值為②由正弦定理得：，R為外接圓半徑，因?yàn)椋瑒t因?yàn)?，故?dāng)，即時(shí)，取得最大值則BD的最大值為19.費(fèi)馬問(wèn)題是著名的幾何極值問(wèn)題，它是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得的點(diǎn)P就是它到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)P稱為費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)囊粋€(gè)內(nèi)角大于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：在中，角所對(duì)的邊分別是，若，．（1）求；（2）設(shè)