高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市武昌區(qū)2025屆高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè)（三模）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合A={xlgx<1}，B=xx=4k+1A．3,6,9 B．1,5,9 C．5,9 D．1,3,5,7,9【答案】B【解析】由lgx<1得，lgx<lg10，所以對(duì)于集合B，因?yàn)閗∈Z，所以當(dāng)k=0時(shí)，x=1當(dāng)k=1時(shí)，x=5；當(dāng)k=2時(shí)，x=9；∴A∩B=1,5,9故選：B.2．已知復(fù)數(shù)z滿足2+iz=1，則z?zA．15 B．55 C．19【答案】A【解析】由z=12+i所以z?z故選：A.3．拋物線x2A．y=2 B．y=-2 C．x=-2 D．x=2【答案】B【解析】由拋物線方程可知，拋物線焦點(diǎn)在y軸正半軸，且2p=8，所以所求準(zhǔn)線方程為y=-4．如圖，某社區(qū)為墻面A、B、C、D四塊區(qū)域宣傳標(biāo)語(yǔ)進(jìn)行涂色裝飾，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域（共邊）不能用同一顏色，若只有4種顏色可供使用，則恰好使用了3種顏色的涂法有（

）ABCDA．12種 B．24種 C．48種 D．144種【答案】C〖祥解〗由題，三種顏色的涂法有兩種，即A與D同色或B與C同色，由計(jì)數(shù)原理列式求解.【解析】三種顏色的涂法有兩種，即A與D同色或B與C同色，所以恰好使用3種顏色的涂法有C43故選：C.5．已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，若a1a8=2a4A．18 B．14 C．4 D【答案】A【解析】已知等比數(shù)列an，則a因?yàn)閍4≠0，所以a5又a3+a7=因?yàn)榈缺葦?shù)列an為遞增數(shù)列，則a3=所以a7a3故a1故選：A.6．已知函數(shù)fx=x3-6x+7，直線l是曲線y=fx的切線，如果切線l與曲線A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【解析】函數(shù)fx=x設(shè)切點(diǎn)為a,fa，則切線斜率為又fa所以切線方程為y-a化簡(jiǎn)得y=3將切線l方程和曲線y=fxx整理得x3因式分解得x-a2解得x=a或x=-2a，因?yàn)榍芯€l與曲線y=fx所以a=-2a，解得a=0，此時(shí)切線方程為y=-6x+7，對(duì)應(yīng)唯一一條滿足條件的直線，故選：B.7．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠A．a(chǎn)-b-c B．a(chǎn)+b【答案】D【解析】如下圖所示：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA所以a?b=b?c對(duì)A，a-b-對(duì)B，a+b-對(duì)C，a+b-對(duì)D，a+a+a+b-53c與AB1、故選：D.8．已知服從二項(xiàng)分布的似然函數(shù)為L(zhǎng)p=Cnkpk1-pn-k（其中p表示成功的概率，n為樣本總數(shù)，k為成功次數(shù)）．現(xiàn)有一個(gè)研究團(tuán)隊(duì)研究發(fā)現(xiàn)概率p與參數(shù)θ0<θ<1的取值有關(guān)，該團(tuán)隊(duì)提出函數(shù)模型為p=18log2θ+5．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，若參數(shù)θ=θ0A．116 B．18 C．14【答案】B【解析】首先給出了函數(shù)f(p)=-lnC可得：f=k然后令f'(p)=0，即k交叉相乘可得k(1-p)=(n-k)p,展開(kāi)得k-kp=np-kp,移項(xiàng)可得np=k，解得p=k因?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0，所以參數(shù)p的極大似然估計(jì)值為kn已知k=5，n=20，則kn已知函數(shù)模型p(θ)=18(log2θ+5)令p(θ)=14，即1所以θ=2-3=18,所以故選:B.二、多選題9．已知函數(shù)fx=sinA．fx的最小正周期為B．fx在區(qū)間0,C．fx的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為D．fx圖象上所有的點(diǎn)向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由周期公式可得最小正周期為2π對(duì)于B，由x∈0,π6，則2x-π6對(duì)于C，當(dāng)x=7π12對(duì)于D，fx圖象上所有的點(diǎn)向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到gx故選：ABC10．已知圓O:x2+y2=8，直線l與圓O交于Ax1,y1，Bx2,yA．∠AOB=B．△PAB面積的最大值為6C．直線l的方程為y=-2x+2D．滿足到直線l的距離為2的點(diǎn)P有且僅有3個(gè)【答案】BD【解析】對(duì)于A，依題意，OA?則cos∠AOB=OA?OB|OA|?|對(duì)于B，|AB|=2|OA|cosπ6=26，圓心O因此點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為32，△PAB面積的最大值為12×2對(duì)于C，由x1+y1=x2設(shè)直線l的方程為y=-x+m，則|m|2=2，解得m=±2得x1+y1m>0，即m>0，因此m=2，直線對(duì)于D，由圓O半徑為22，圓心O到直線AB距離為2得圓O上到直線AB距離為2的點(diǎn)有且僅有3個(gè)，因此符合條件的點(diǎn)P有且僅有3個(gè)，D正確.故選：BD11．某乒乓球比賽采用單淘汰制，即參賽選手按照隨機(jī)組合方式逐輪進(jìn)行比賽，每場(chǎng)比賽負(fù)方淘汰，勝方晉級(jí)到下一輪，直到最終決出冠亞軍．現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)員k（k∈N*且k≥2）名，隨機(jī)編號(hào)到對(duì)陣位置，且所有運(yùn)動(dòng)員在任何一場(chǎng)比賽中獲勝的概率均為12A．若k=8，則甲、乙在第1輪比賽中相遇的概率為1B．若k=16，則甲、乙在第2輪比賽中相遇的概率為2C．若k=2n（n∈N*且n≥4D．若k=2n【答案】ACD【解析】對(duì)于A，k=8時(shí)，甲的位置確定后，乙需在剩余7個(gè)位置中選擇同一組的1個(gè)位置，概率為17，故A對(duì)于B，當(dāng)k=16時(shí)，甲、乙在第2輪相遇，則甲、乙需在第一輪均晉級(jí)概率為1415×14=730，又在第2對(duì)于C，當(dāng)k=2nn≥4時(shí)，甲、乙兩人在第m所以甲、乙兩人在第4輪比賽中相遇的概率為124-1k-1對(duì)于D，當(dāng)k=212n-1故選：ACD.三、填空題12．某商場(chǎng)為優(yōu)化服務(wù)，對(duì)顧客做滿意度問(wèn)卷調(diào)查，滿意度采用計(jì)分制（滿分100）．現(xiàn)隨機(jī)抽取了其中10個(gè)數(shù)據(jù)依次為80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為．【答案】88【解析】10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大為80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，則10×25%=2.5故答案為：88.13．已知sinα-β=13，且tan【答案】1【解析】由tanαtanβ由sinα-β=1則2cosαsinβ=1所以sinα+β則cos2α+2β故答案為：1914．在幾何中，單葉雙曲面是一種典型的直紋面如圖1所示，因其具有優(yōu)良的穩(wěn)定性和美觀性，常被應(yīng)用于大型建筑結(jié)構(gòu)（如廣州電視塔）．單葉雙曲面的形成過(guò)程可通過(guò)“雙曲狹縫”演示：如圖2，直桿m與固定軸l成一定夾角，且均和連桿垂直．當(dāng)直桿m繞固定軸l旋轉(zhuǎn)時(shí)，其軌跡形成單葉雙曲面．若用過(guò)單葉雙曲面固定軸的平面截取該曲面，所得交線為雙曲線的一部分．在某科技館的演示中，立板上的雙曲狹縫即為直桿運(yùn)動(dòng)軌跡（雙曲面）被立板面截取的雙曲線的一部分，因此直桿旋轉(zhuǎn)時(shí)可始終穿過(guò)兩條彎曲的狹縫．若直桿m與固定軸l所成角的大小為30°，則該雙曲線的離心率為【答案】2【解析】模型轉(zhuǎn)換后如圖所示，OA⊥AB,CB⊥平面OAB,∠ACB=30°，設(shè)CB=y,OB=x，因?yàn)镺A⊥AB,CB⊥平面OAB,∠ACB=30°，所以CB⊥AB，所以在Rt△ABC中可得：AB=BC在Rt△OAB中可得：O即x2OA故答案為：2.四、解答題15．已知函數(shù)fx=（1）若a=1，求函數(shù)fx（2）當(dāng)x≥0時(shí)，fx≥x，求實(shí)數(shù)解：（1）已知f(x)=ex-ax，當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex令f'(x)=0，即ex當(dāng)x<0時(shí)，ex<1，所以f'當(dāng)x>0時(shí)，ex>1，所以f'綜上所得，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥x，即ex-ax≥x，移項(xiàng)可得當(dāng)x=0時(shí)，e0-(a+1)×0=1≥0，此時(shí)a當(dāng)x>0時(shí)，ex令g(x)=exx(x>令g'(x)=0，即ex(x-1)x2=0，因?yàn)閑當(dāng)0<x<1時(shí)，x-1<0，所以g當(dāng)x>1時(shí)，x-1>0，所以g'(x)則g(x)在x=1處取得極小值，也是最小值，g(1)=e所以a+1≤e，解得a≤實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞16．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosB=79，a=4，角B的角平分線交AC于點(diǎn)D（1）求CD的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積．解：（1）由cosB=79因?yàn)閏osB=79所以B2∈0,又BD是角B的角平分線，則在△BCD中，由余弦定理得CD2=B（2）由（1）知cosB2=由cosB=79又BD是角B的角平分線，由S△ABC則12則12×4c×4所以S△ABC17．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1AC⊥平面A（1）證明：A1B⊥平面（2）求BC（3）求平面AA1B（1）證明：因?yàn)锳B=AA1，所以四邊形所以A1B⊥AB1，又所以AC⊥A1B，因?yàn)锳C∩AB1=A，AC?平面所以A1B⊥平面（2）解：在△ABC中，由AC=23，AB=2，∠CAB=所以BC=A如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OA1，因?yàn)锳B=BC，所以O(shè)B⊥AC，因?yàn)槠矫鍭1AC⊥平面ABC，平面A1所以O(shè)B⊥平面A1AC，因?yàn)镺A所以O(shè)B⊥OA1，因?yàn)锳C⊥A1B，AC⊥OB，A且A1B∩OB=B，所以AC⊥平面因?yàn)镺A1?平面OBA1，所以AC⊥O所以A1C=AA1=2，在Rt△AOA1在Rt△BOA1中，可知因?yàn)锳1C1解得：BC（3）解：由（2），以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OB，OC，OA1所在方向分別為x軸，y軸，則A(0,-3,0)，C(0,3,0)，所以A1B=(1,0,-1)，A設(shè)平面AA1B則n1?A1B設(shè)平面A1BC的法向量為則m?A1B=0m?所以平面A1BC的一個(gè)法向量為設(shè)平面AA1B與平面A則cosθ=|cos<所以平面AA1B與平面A18．圖1是一種可以作出橢圓的工具．O是滑槽AB（AB足夠長(zhǎng)）的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DN=ON，MD=2DN．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫(huà)出的曲線為橢圓．當(dāng)MN=kk>0時(shí)，記畫(huà)出的曲線為Ck．以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖（1）求曲線C3（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的任一直線l與曲線C3交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，與曲線C1交于A1，B1兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1的任一直線與C（i）求證：EF=3（ii）求四邊形PEQF面積的取值范圍．解：（1）當(dāng)k=3時(shí)，設(shè)點(diǎn)Dt,0得MD=2DN，且所以t-x,0-y=2x0即t-x=2x0-2t由于當(dāng)點(diǎn)D不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也不動(dòng)，所以t不恒等于0，于是t=2x0，所以x0=x所以C3C3的方程為（2）（i）同理可得曲線C1的方程為x不妨設(shè)OA1與OE同向，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，OE=3OA當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=tx，由x216+y24同理可得OA12對(duì)于任意直線均滿足OE=3OA1，所以（ii）由（i）可知，四邊形PEOF面積是△OPQ面積的6倍，當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程x=m,m∈-所以S△OPQ當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程y=kx+m,m≠0,Px由x216+y24=1所以x3直線PQ與C1由x216+y24=所以S△OPQ令m24k四邊形PEQF面積的取值范圍是0,3219．用符號(hào)A表示集合A中元素的個(gè)數(shù)．對(duì)于實(shí)數(shù)集合A和B，且A≥2，B≥2，定義兩個(gè)集合：①和集②鄰差集DA=ak+1-（1）已知集合A=1,3,5，B=2,4，求DA+B（2）已知集合A=2nn=1,2,???,100，B=（3）若A與B都是由mm≥3,m∈N*個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，證明：A+B（1）解：∵A=1,3,5，B=2,4，∴