高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省宜昌市部分省級示范高中2025學年高一下學期4月期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，且，圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.3.已知，，，則實數(shù)的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，，因此實數(shù)的大小關系是.故選：B4.在中，角所對的邊分別為，且，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】由余弦定理得：，則，所以，由此知△ABC為直角三角形.故選：B5.下列各式的值為的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A選項，，A不滿足；對于B選項，，B不滿足；對于C選項，，C滿足；對于D選項，，D不滿足.故選：C.6.如圖，在四邊形中，，，設，，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.7.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A選項，函數(shù)的定義域為，因為，，故，所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，A不滿足；對于B選項，對于函數(shù)，由可得，解得，所以，函數(shù)的定義域為，因為，故函數(shù)為奇函數(shù)，因為內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，外層函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，B不滿足；對于C選項，函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為偶函數(shù)，C不滿足；對于D選項，對任意的，，即函數(shù)的定義域為，，即函數(shù)為奇函數(shù)，因為，內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，在定義域上為增函數(shù)，D滿足.故選：D.8.已知函數(shù)，若在上無零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，因為且，則，因為函數(shù)在上無零點，故，所以，，解得，由，解得，，當時，可得，當時，可得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，則下列結論正確的是（）A.若、可以作為基底，則B.若，則C.若在上的投影向量為，則D.若與的夾角為，則或【答案】ACD【解析】已知向量，，易知、均為非零向量，對于A選項，若、可以作為基底，則、不共線，可得，解得，所以A對；對于B選項，，則，解得或，所以B錯；對于C選項，在上的投影向量為，即，解得，所以C對；對于D選項，因為與的夾角為，則，即，整理可得，解得或，所以D對.故選：ACD.10.函數(shù)的部分圖象如圖，圖象與軸交于點，與軸交于點，點在圖象上，點、關于點對稱，則下列正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關于點對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象向右平移后，得到函數(shù)的圖象，則為偶函數(shù)【答案】BC【解析】對于A選項，因為點與點關于點對稱，則點，結合圖形可知，函數(shù)的最小正周期為，A錯；對于B選項，，且函數(shù)在附近單調(diào)遞增，故，所以，又因為，故，所以，，因為，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，B對；對于C選項，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，C對；對于D選項，函數(shù)的圖象向右平移后，得到的圖象，則函數(shù)為奇函數(shù)，D錯.故選：BC.11.設表示不超過的最大整數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數(shù)”進行計費，以下關于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A.，B.，若，則C.，D.不等式的解集為或【答案】BCD【解析】對于A，，則，故，故A不成立.對于B，，則，故，所以，故B成立.對于C，設，其中，則，，若，則，，故；若，則，，故，故C成立.對于D，由不等式可得或，故或，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)則______．【答案】【解析】因為函數(shù)因為，，即，故答案為.13.在中，分別為的中點，則__________.【答案】－4【解析】由已知，，．故答案為：．14.記的內(nèi)角所對的邊分別為、、，已知，，點在邊上，若，，則的值為________.【答案】【解析】如下圖所示：由題意可知，則，所以，，所以，，即①，由余弦定理可得②，又因為，聯(lián)立①②可得，代入②可得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量滿足，且與的夾角為.（1）若，求實數(shù)的值；（2）求與的夾角的余弦值.解：（1）因為，所以，即，即，所以，解得.（2）因為，，所以，即與的夾角的余弦值為.16.（1）已知，均為銳角且，，求的值；（2）已知，，求的值.解：（1），，，

則，.（2），即又，即.17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，邊上的中線，求的面積及邊上的高.解：（1）因為，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，因為，所以，即，所以，因為，所以；（2）因為為邊上的中線，所以，兩邊同時平方得，因為，，所以，得，所以，解得或（舍去），所以的面積，由余弦定理得，所以設邊上的高為，因為的面積，所以，得.18.已知，，函數(shù)，的最小正周期為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當時，求的最值及取到最值時的值；（3）若函數(shù)在上有兩個不同的零點、，求實數(shù)的取值范圍，并求的值.解：（1）因為，，所以，，，

，因為函數(shù)的最小正周期為，則，可得，故.由可得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）令，由可得，即，故當時，即當時，取得最大值，

當時，即當時，取得最小值.（3）函數(shù)所在上有兩個不同的零點、，由可得，由可得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，解得，故實數(shù)的取值范圍是，由可得，所以，直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，因為，所以點、關于直線對稱，所以，因此.19.意大利著名畫家、數(shù)學家、物理學家達芬奇在他創(chuàng)作《抱銀貂的女子》時思考過這樣一個問題：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的懸鏈線問題，懸鏈線在工程上有廣泛的應用.在恰當?shù)淖鴺讼抵?，這類曲線的函數(shù)表達式可以為，其中、為非零實數(shù).（1）利用單調(diào)性定義證明：當時，在上單調(diào)遞增；（2）當時，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若為奇函數(shù)，函數(shù)，，探究是否存在實數(shù)，使的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：（1）當時，，，則，由，得，則，，于是，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）函數(shù)的定義域為R，，則為偶函數(shù)，不等式，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則依題意，不等式對恒成立，當時，，，因此對恒成立，令，而，則，當時，，，當