新版八年級上冊知識點總結(jié)三角形與三角形有關(guān)的線段三角形按邊分類可分為不等邊三角形和等腰三角形（等邊三角形是特殊的等腰三角形）。三角形的三邊關(guān)系為：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。例如，已知三角形的兩邊長分別為3和5，設(shè)第三邊長為x，則5-3<x<5+3，即2<x<8。三角形的高、中線和角平分線是三角形中的重要線段。從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。三角形的三條高所在直線相交于一點，銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部；直角三角形有兩條高即兩條直角邊，三條高的交點在直角頂點上；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，三條高所在直線的交點在三角形外部。連接三角形一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線。三角形的三條中線相交于一點，這個點叫做三角形的重心。三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個小三角形。例如，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，則S△ABD=S△ACD。三角形一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。三角形的三條角平分線相交于一點，且這個點在三角形內(nèi)部。與三角形有關(guān)的角三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°?？梢酝ㄟ^多種方法證明，如將三角形的三個內(nèi)角剪下來拼在一起，能得到一個平角。在實際應(yīng)用中，已知三角形中兩個角的度數(shù)，可根據(jù)內(nèi)角和定理求出第三個角的度數(shù)。例如，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，則∠C=180°-50°-60°=70°。三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角。三角形的外角和是360°。三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。例如，在△ABC中，∠ACD是△ABC的一個外角，則∠ACD=∠A+∠B。利用這個性質(zhì)可以解決很多與角度計算有關(guān)的問題。多邊形及其內(nèi)角和在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……n邊形（n為大于等于3的正整數(shù)）。多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。從n邊形的一個頂點可以引出（n-3）條對角線，把n邊形分成（n-2）個三角形；n邊形一共有$\frac{n(n-3)}{2}$條對角線。多邊形內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于（n-2）×180°。推導(dǎo)過程是通過從n邊形的一個頂點出發(fā)，連接其余各頂點，將n邊形分割成（n-2）個三角形，利用三角形內(nèi)角和為180°得到。例如，求八邊形的內(nèi)角和，將n=8代入公式，可得（8-2）×180°=1080°。多邊形的外角和：多邊形的外角和都等于360°，與邊數(shù)無關(guān)。全等三角形全等三角形的性質(zhì)能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。例如，若△ABC≌△DEF，則AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。三角形全等的判定判定方法一：三邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。例如，已知在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，則△ABC≌△DEF。利用這個判定方法可以通過測量三條邊的長度來判斷兩個三角形是否全等。判定方法二：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。這里強(qiáng)調(diào)的是兩邊及其夾角，而不是兩邊及其中一邊的對角。例如，在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，則△ABC≌△DEF。判定方法三：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“角邊角”或“ASA”）。比如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，那么△ABC≌△DEF。判定方法四：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成“角角邊”或“AAS”）。例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，則△ABC≌△DEF。判定方法五：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）。這是直角三角形特有的全等判定方法。在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，則Rt△ABC≌Rt△DEF。角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。例如，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，則PD=PE。角的平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。若PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，且PD=PE，則點P在∠AOB的平分線上。軸對稱軸對稱如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。例如，等腰三角形、矩形、正方形、圓等都是軸對稱圖形。把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點。線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。例如，直線l是線段AB的垂直平分線，點P在直線l上，則PA=PB。線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。若PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上。作軸對稱圖形幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點，再連接這些對應(yīng)點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形。在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對稱的點橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。例如，點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點P1的坐標(biāo)為（x，-y），關(guān)于y軸的對稱點P2的坐標(biāo)為（-x，y）。等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。例如，在△ABC中，AB=AC，則∠B=∠C。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）。等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）。例如，在△ABC中，∠B=∠C，則AB=AC。等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°。等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸。等邊三角形的判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC=$\frac{1}{2}$AB。整式的乘法與因式分解整式的乘法同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即$a^m\cdota^n=a^{m+n}$（m，n都是正整數(shù)）。例如，$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7$。冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即$(a^m)^n=a^{mn}$（m，n都是正整數(shù)）。比如，$(3^2)^3=3^{2×3}=3^6$。積的乘方：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。即$(ab)^n=a^nb^n$（n是正整數(shù)）。例如，$(2xy)^3=2^3x^3y^3=8x^3y^3$。單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。例如，$3x^2y\cdot2xy^2=(3×2)x^{2+1}y^{1+2}=6x^3y^3$。單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。即$m(a+b+c)=ma+mb+mc$。例如，$2x(3x^2-2x+1)=2x\cdot3x^2-2x\cdot2x+2x\cdot1=6x^3-4x^2+2x$。多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$。例如，$(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$。乘法公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。例如，$(3x+2)(3x-2)=(3x)^2-2^2=9x^2-4$。完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。例如，$(x+3)^2=x^2+2×x×3+3^2=x^2+6x+9$，$(2x-1)^2=(2x)^2-2×2x×1+1^2=4x^2-4x+1$。添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號。例如，$a+b+c=a+(b+c)$，$a-b-c=a-(b+c)$。整式的除法同底數(shù)冪的除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即$a^m\diva^n=a^{m-n}$（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）。例如，$x^5\divx^2=x^{5-2}=x^3$。規(guī)定：$a^0=1$（a≠0），即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。例如，$12x^3y^2\div3x^2y=(12÷3)x^{3-2}y^{2-1}=4xy$。多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。即$(a+b+c)\divm=a\divm+b\divm+c\divm$（m≠0）。例如，$(6x^3-3x^2)\div3x=6x^3\div3x-3x^2\div3x=2x^2-x$。因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做因式分解，也叫做分解因式。提公因式法：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。例如，$3x^2-6x=3x(x-2)$。公式法：利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$和完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$進(jìn)行因式分解。例如，$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$，$x^2+6x+9=x^2+2×3x+3^2=(x+3)^2$。分式分式一般地，如果A、B（B≠0）表示兩個整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。當(dāng)B=0時，分式無意義；當(dāng)A=0且B≠0時，分式的值為0。例如，對于分式$\frac{x-1}{x+2}$，當(dāng)x=-2時，分式無意義；當(dāng)x=1時，分式的值為0。分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。即$\frac{A}{B}=\frac{A\cdotC}{B\cdotC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A\divC}{B\divC}$（C≠0）。利用分式的基本性質(zhì)可以對分式進(jìn)行約分和通分。約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。例如，$\frac{6x^2y}{8xy^2}=\frac{2xy\cdot3x}{2xy\cdot4y}=\frac{3x}{4y}$。通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母。取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。例如，對于分式$\frac{1}{2x}$和$\frac{1}{3y}$，最簡公分母是6xy，通分后分別為$\frac{3y}{6xy}$和$\frac{2x}{6xy}$。分式的運算分式的乘法：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。即$\frac{a}\cdot\frac{c}z3jilz61osys=\frac{ac}{bd}$。例如，$\frac{x}{y}\cdot\frac{y^2}{x^2}=\frac{xy^2}{x^2y}=\frac{y}{x}$。分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。即$\frac{a}\div\frac{c}z3jilz61osys=\frac{a}\cdot\fracz3jilz61osys{c}=\frac{ad}{bc}$。例如，$\frac{2}{x}\div\frac{4}{x^2}=\frac{2}{x}\cdot\frac{x^2}{4}=\frac{2x^2}{4x}=\frac{x}{2}$。分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分別乘方。即$(\frac{a})^n=\frac{a^n}{b^n}$（n為正整數(shù)）。例如，$(\frac