第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年甘肅省平?jīng)鲆恢懈叨ㄏ拢┢谥袛?shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列求導(dǎo)運(yùn)算中錯(cuò)誤的是(

)A.(3x)′=3xln3 B.(2.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若bsinB?asinA=5csinC，cosA=12，則bcA.6 B.5 C.4 D.33.過(guò)點(diǎn)(?1,1)的直線l與曲線f(x)=x3?x2?2x+1A.不存在 B.?1 C.3 D.3或?14.設(shè)f(x)是定義在[?3,3]上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f(x)圖象如圖所示，且f(x)在x=1處取得極大值，則f(x)?f′(x)>0的解集為(

)A.(?3,?1)∪(0,1)

B.(?3,?1)∪(1,3)

C.(?1,0)∪(0,1)

D.(?1,0)∪(1,3)5.投擲3枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A=“這3枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，事件B=“恰有1枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則P(B|A)=(

)A.12 B.34 C.146.平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，∠A1AD=∠A1AB=πA.0

B.32

C.127.已知函數(shù)f(x)=ln(x2+1A.(13,+∞) B.(1,+∞) C.(?∞,8.如圖，在菱形ABCD中，AB=433，∠BAD=60°，沿對(duì)角線BD將△ABD折起，使點(diǎn)A，C之間的距離為22，若P，Q分別為線段BD，A.平面ABD⊥平面BCD

B.線段PQ的最小值為2

C.當(dāng)AQ=QC，4PD=DB時(shí)，點(diǎn)D到直線PQ的距離為1414

D.當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點(diǎn)時(shí)，PQ與二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1m11則下列選項(xiàng)正確的是(

)A.m=14 B.P(|X?3|=1)=512

C.10.已知和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線與兩條直線相交的點(diǎn)所形成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段.兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條異面直線的距離.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E在BD上，且BE=13BDA.線段EF是異面直線BD與CB1的公垂線段

B.異面直線AA1與BD的距離為12

C.點(diǎn)D1到直線EF的距離為14311.已知函數(shù)f(x)=x2x?1A.f(x)的定義域?yàn)镽

B.f(x)是偶函數(shù)

C.f(x)是奇函數(shù)

D.對(duì)任意的x∈(?∞,0)∪(0,+∞)，f(x)>?2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.向量a=(?1,x,4)與b=(2x,?8,y)共線，且方向相同，則x+y=______．13.某校面向高一全體學(xué)生共開(kāi)設(shè)3門(mén)體育類(lèi)選修課，每人限選一門(mén).已知這三門(mén)體育類(lèi)選修課的選修人數(shù)之比為6：3：1，考核優(yōu)秀率分別為20%、16%和12%，現(xiàn)從該年級(jí)所有選擇體育類(lèi)選修課的同學(xué)中任取一名，其成績(jī)是優(yōu)秀的概率為_(kāi)_____．14.已知f(x)=?1x+x,g(x)=x2?4x?3，若?x1∈[?2,?1]，?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1，若a1，a2，a5成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x2?10x+12lnx．

(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)求17.(本小題15分)

為積極響應(yīng)國(guó)家醫(yī)藥衛(wèi)生體制改革及2023年全國(guó)文化科技“三下鄉(xiāng)”活動(dòng)要求，真正讓“人民至上”理念落實(shí)落地，著力推動(dòng)優(yōu)質(zhì)醫(yī)療資源重心下移、力量下沉，不斷增強(qiáng)醫(yī)療服務(wù)的“深度”和“溫度”.我市人民醫(yī)院打算從各科室推薦的6名醫(yī)生中任選3名去參加“健康送下鄉(xiāng)，義診暖人心”的活動(dòng).這6名醫(yī)生中，外科醫(yī)生、內(nèi)科醫(yī)生、眼科醫(yī)生各2名．

(1)求選出的外科醫(yī)生人數(shù)多于內(nèi)科醫(yī)生人數(shù)的概率；

(2)設(shè)X表示選出的3人中外科醫(yī)生的人數(shù)，求X的分布列，均值，方差．18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥BC.點(diǎn)E在線段PC上．

(1)若3PE=EC，在PB上找一點(diǎn)F，使得E，F(xiàn)，A，D四點(diǎn)共面，并說(shuō)明理由；

(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離；

(3)若直線AE與平面ABCD所成角的正弦值為3010，求二面角E?AD?B19.(本小題17分)

已知橢圓ω：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A(?2,0)，且a=2b．

(Ⅰ)求橢圓ω的方程；

(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C(1,0)的直線l與橢圓ω交于P，Q兩點(diǎn)，且直線l與x軸不重合，直線AP，AQ分別與y軸交于M答案解析1.【答案】C

【解析】解：對(duì)A：(3x)′=3xln3，故A正確；

對(duì)B：(lnxx)′=1x?x?lnxx2=1?lnxx2，故B正確；

對(duì)C：(sinx+lna)′=cosx，故2.【答案】A

【解析】【分析】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理與余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理，化簡(jiǎn)運(yùn)算，得解．【解答】

解：由正弦定理及bsinB?asinA=5csinC得，b2?a2=5c2，

由余弦定理得，cosA=b2+c3.【答案】D

【解析】解：∵f(x)=x3?x2?2x+1，∴f(?1)=1，f′(x)=3x2?2x?2，

當(dāng)(?1,1)為切點(diǎn)時(shí)，kl=f′(?1)=3；

當(dāng)(?1,1)不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(a,a3?a2?2a+1)，a≠?1，

則f′(a)=3a2?2a?2，

∴切線方程為y?(a3?a2?2a+1)=(3a2?2a?2)(x?a)，

又切線過(guò)點(diǎn)(?1,1)，∴1?(a3?a2?2a+1)=(3a2?2a?2)(?1?a)，

整理得a4.【答案】A

【解析】解：由圖可得：x∈(0,1)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，則f′(x)>0，所以f(x)?f′(x)>0，

x∈(1,3)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞減，則f′(x)<0，所以f(x)?f′(x)<0，

因?yàn)閒(x)是定義在[?3,3]上的奇函數(shù)，

所以當(dāng)x∈(?3,?1)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，則f′(x)<0，所以f(x)?f′(x)>0，

x∈(?1,0)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞增，則f′(x)>0，所以f(x)?f′(x)<0，

綜上：f(x)?f′(x)>0的解集為(?3,?1)∪(0,1)．

故選：A．5.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，因?yàn)槊棵恩蛔映系狞c(diǎn)數(shù)有奇數(shù)1，3，5三個(gè)，偶數(shù)有2，4，6三個(gè)，

若3枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，則3枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)或偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)，

共兩種情況，

可得P(A)=C31C31C31+3C31C31C31C61C61C61=6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題．

利用兩異面直線的方向向量結(jié)合向量夾角公式即可求解．【解答】

解：由題意，AA1?AB=AA1?AD=1×1×cosπ3=12，

AB?AD=0，又DC=7.【答案】A

【解析】解：g(x)=f(x)+1=ln(x2+1+x)?2ex+1+1=ln(x2+1+x)+ex?1ex+1，

由于x2+1+x>|x|+x≥0，所以g(x)的定義域?yàn)镽，

g(?x)=ln(x2+1?x)+e?x?1e?x+1

=ln[(x2+1?x)(x2+1+x)x8.【答案】C

【解析】解：取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC，

∵在菱形ABCD中，AB=433,∠BAD=60°，

∴OA=OC=2，又AC=22，

∴OA2+OC2=AC2，所以O(shè)A⊥OC，

又易知OA⊥BD，OC⊥BD，

因?yàn)镺A⊥OC，OA⊥BD，OC∩BD=O，

所以O(shè)A⊥平面BDC，

因?yàn)镺A?平面ABD，

所以平面ABD⊥平面BDC，故A正確；

以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，

則B(233,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),D(?233,0,0)，

當(dāng)AQ=QC，4PD=DB時(shí)，Q(0,1,1),P(?33,0,0)，

PQ=(33,1,1),DP=(33,0,0)，

所以點(diǎn)D到直線PQ的距離為d=DP2?(PQ?DP|PQ|)2=147，故C錯(cuò)誤；

設(shè)P(a,0,0)，設(shè)CQ=λCA=λ(0,?2,2)，可得Q(0,2?2λ,2λ)，

|PQ|=a2+(2?2λ)2+(2i)2=a2+8(λ?9.【答案】ABD

【解析】解：由分布列的性質(zhì)可得13+m+14+16=1，解得m=14，故A正確．

因?yàn)镻(|X?3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=14+16=512，故B正確．

因?yàn)镋(X)=1×110.【答案】ACD

【解析】解：建系如圖，

則B(0,0,0)，D(1,1,0)，C(1,0,0)，B1(0,0,1)，

D1(1,1,1)，E(13,13,0)，F(xiàn)(23,0,13)，

∴EF=(13,?13,13)，BD=(1,1,0)，

CB1=(?1,0,1)，ED1=(23,23,1)，ED=(23,23,0)，

對(duì)A選項(xiàng)，∵EF?BD=13?13=0，EF?CB1=?13+13=0，

∴EF⊥BD，EF⊥CB1，∴線段EF是異面直線BD與CB1的公垂線段，∴A選項(xiàng)正確；

對(duì)B選項(xiàng)，易知AC⊥BD，AC⊥AA1，

∴異面直線AA1與BD11.【答案】BD

【解析】解：當(dāng)x=0時(shí)，2x?1=0，

所以f(x)的定義域?yàn)??∞,0)∪(0,+∞)，A錯(cuò)誤；

因?yàn)閒(x)=x2x?1+x2?2=x?2x+12(2x?1)?2，

所以f(?x)=?x?1+2?x2(2?x?1)?2=?x?1+2x2(1?2x)12.【答案】14

【解析】解：因?yàn)橄蛄縜=(?1,x,4)與b=(2x,?8,y)共線，且方向相同，

所以a=λb(λ>0)，

則(?1,x,4)=λ(2x,?8,y)，

即?1=2λxx=?8λ4=λy，解得x=?2y=16λ=14，

13.【答案】0.18

【解析】解：設(shè)這三門(mén)體育類(lèi)選修課的選修人數(shù)分別為6a，3a，a，

則所求概率為P=0.2×6a+0.16×3a+0.12a6a+3a+a=0.18．

故答案為：0.18．

設(shè)這三門(mén)體育類(lèi)選修課的選修人數(shù)分別為6a，3a，a14.【答案】(2+【解析】解：由題意得，f(x)在[?2,?1]上是增函數(shù)，所以f(x1)∈[?32,0]，

因?yàn)?x1∈[?2,?1]，?x2∈[1,a]，f(x1)<g(x2)成立，

所以f(x1)max<g(x2)max，即g(x2)max>0．

當(dāng)1<a≤3時(shí)，g(x2)max=g(1)=?6<0，不滿(mǎn)足題意，舍去；

15.【答案】解：(1)設(shè)數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，a1=1，

若a1，a2，a5成等比數(shù)列，可得1×(1+4d)=(1+d)2，

解得d=2或d=0(舍去)，

則an=1+2(n?1)=2n?1．

【解析】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和的方法，裂項(xiàng)求和的方法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．

(1)設(shè)數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，根據(jù)已知求出d，即得解；

(2)16.【答案】y=4x?13；

遞增區(qū)間為(0,2)，(3,+∞)，遞減區(qū)間為(2,3)，極大值?16+12ln2，極小值?21+12ln3．

【解析】(1)函數(shù)f(x)=x2?10x+12lnx，于是f(1)=?9，求導(dǎo)得f′(x)=2x?10+12x，

解得f′(1)=4，所以所求切線方程為y+9=4(x?1)，即y=4x?13．

(2)函數(shù)f(x)=x2?10x+12lnx的定義域?yàn)?0,+∞)，

求導(dǎo)得f′(x)=2x?10+12x=2(x?2)(x?3)x，

當(dāng)0<x<2或x>3時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)2<x<3時(shí)，f′(x)<0，

因此函數(shù)f(x)在(0,2)，(3,+∞)上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得極大值f(2)=?16+12ln2，

當(dāng)x=3時(shí)，f(x)取得極小值f(3)=?21+12ln3，

所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(0,2)，(3,+∞)，遞減區(qū)間為(2,3)，

17.【答案】310；

分布列見(jiàn)解析，1，25【解析】(1)事件總數(shù)為C63=20，

其中外科醫(yī)生2名，內(nèi)科醫(yī)生2名，眼科醫(yī)生2名，

設(shè)事件A=“選出的外科醫(yī)生人數(shù)多于內(nèi)科醫(yī)生人數(shù)”，故有兩種情況：

恰好選出1名外科醫(yī)生和2名眼科醫(yī)生和恰好選出2名外科醫(yī)生，

用A1表示“恰好選出1名外科醫(yī)生和2名眼科醫(yī)生”，A2表示“恰好選出2名外科醫(yī)生”，

且A1，A2互斥，

因?yàn)镻(A1)=C21C22C63=2×120=110X012P0.20.60.2將表格數(shù)據(jù)代入期望公式可得E(X)=0×15+1×35+2×15=1，

D(X)=(0?1)218.【答案】3PF=FB，理由見(jiàn)解析；

62；

【解析】解：(1)當(dāng)3PF=FB時(shí)，E、F、A、D四點(diǎn)共面，理由如下：

證明：令3PF=FB，∵3PE=EC，

即PFFB=PEEC，∴EF/?/BC，

又∵AD/?/BC，∴EF/?/AD，

故E、F、A、D四點(diǎn)共面；

(2)取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OP，如圖所示：

∵△PAD為等邊三角形，AD=2，

∴OP⊥AD，AO=1，OP=3，

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，OP?平面PAD，

∴OP⊥平面ABCD，

∵OB?平面ABCD，∴OP⊥O

B，

∵PB⊥BC，BC/?/AD，

∴AD⊥PB，

∵OP⊥AD，且OP?平面POB，PB?平面POB，OP∩PB=P，

∴AD⊥平面POB，

∵OB?平面POB，∴OB⊥AD，

在菱形ABCD中，AB=2，則OB=3，PB=PO2+OB2=6，

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為?，

則VA?PBC=VP?ABC，即13S△PBC??=13S△ABC?OP，

即13×12×2×6?=13×12×3×2×3，

解得?=62，

故點(diǎn)A到平面PBC的距離為62；

(3)由(2)得OA，OB