南京高三三模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3},B={x|x^2-4x+3<0},則集合A∩B等于

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|1<x<3}

D.{x|2<x<3}

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(0,1)∪(1,2)

3.已知向量a=(1,m),b=(3,1),且a//b,則m的值為

A.3

B.1

C.1/3

D.3

4.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,且z^3=1,則z的值可能是

A.1

B.-1

C.i

D.-i

5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的最小正周期為π,則φ的值為

A.π/2

B.π/4

C.3π/4

D.π

6.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4,則圓心到直線3x+4y-1=0的距離為

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,若a_1=2,a_4=6,則S_6的值為

A.20

B.24

C.28

D.32

8.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2,則f(x)的極值點(diǎn)為

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=0和x=2

9.已知三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,且sinA=sinB,則三角形ABC一定是

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等邊三角形

D.等腰直角三角形

10.已知事件A和事件B的概率分別為P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A和B互斥,則P(A∪B)的值為

A.1/2

B.1/3

C.5/6

D.1/6

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+c,若f(x)在x=1處取得極大值,在x=2處取得極小值,則a,b的值可能是

A.a=3,b=3

B.a=4,b=4

C.a=5,b=5

D.a=6,b=6

2.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4,則下列直線中與圓C相切的直線方程是

A.x=3

B.y=-2

C.2x+y-4=0

D.2x+y+4=0

3.已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a_1=1,公比q>0,且前n項(xiàng)和為S_n,若S_3=4,S_6=40,則q的值可能是

A.2

B.3

C.4

D.5

4.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)cos(x+π/4),則f(x)的最小正周期為

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

5.已知三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,且cosAcosB>sinAsinB,則三角形ABC一定是

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.等腰三角形

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x+1,則f(x)的反函數(shù)f^(-1)(x)的解析式為_______.

2.已知圓C的方程為(x+1)^2+(y-2)^2=9,則圓C的圓心坐標(biāo)為_______.

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,若a_1=3,a_5=9,則S_10的值為_______.

4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2,則f(x)的極大值點(diǎn)為_______.

5.已知事件A和事件B的概率分別為P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A和B獨(dú)立,則P(A∪B)的值為_______.

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx.

2.解方程組:

```

2x+y-z=1

x-y+2z=-1

x+y+z=2

```

3.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2,求函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值.

4.計(jì)算二重積分?_D(x^2+y^2)dA,其中D是由圓x^2+y^2=1圍成的區(qū)域.

5.將函數(shù)f(x)=sin(2x)展開成泰勒級(jí)數(shù)（麥克勞林級(jí)數(shù)）.

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B分析：A={x|1<x<3},B={x|1<x<3}∪{x|3<x<5}={x|1<x<5},所以A∩B={x|1<x<3}∩{x|1<x<5}={x|1<x<3}，故選B.

2.C分析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上單調(diào)遞減，則a>1且導(dǎo)數(shù)f'(x)=1/(lna(x+1))<0在(0,1)上恒成立，即lna<0,故a>1，故選C.

3.A分析：向量a=(1,m),b=(3,1),且a//b,則1×1=3m,解得m=1/3,故選A.

4.D分析：復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,且z^3=1,則z的模為1且輻角為2kπ/3(k∈Z),z=cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3),當(dāng)k=0時(shí)，z=1;當(dāng)k=1時(shí)，z=-1/2+i√3/2;當(dāng)k=2時(shí)，z=-1;當(dāng)k=3時(shí)，z=-1/2-i√3/2.其中只有-i滿足條件，故選D.

5.A分析：函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的最小正周期為π,則2π/|ω|=π,ω=±2,且φ+kπ=π/2(k∈Z),φ=kπ+π/2,最小正周期為π時(shí)，φ=π/2,故選A.

6.A分析：圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4,圓心為(1,-2),半徑r=2,圓心到直線3x+4y-1=0的距離d=|3×1+4×(-2)-1|/√(3^2+4^2)=10/5=2,故選A.

7.C分析：等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,若a_1=2,a_4=6,則d=a_4-a_1=6-2=4,a_1=2,S_6=6a_1+6×(6-1)d/2=6×2+15×4=28,故選C.

8.D分析：f(x)=x^3-3x^2+2,f'(x)=3x^2-6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,f''(x)=6x-6,f''(0)=-6<0,f''(2)=6>0,所以f(x)在x=0處取得極大值,在x=2處取得極小值,故選D.

9.A分析：已知三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,且sinA=sinB,根據(jù)正弦定理,a/b=sinA/sinB=1,則a=b,所以三角形ABC一定是等腰三角形,故選A.

10.C分析：已知事件A和事件B的概率分別為P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A和B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B)=1/2+1/3=5/6,故選C.

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B分析：f(x)=x^3-ax^2+bx+c,f'(x)=3x^2-2ax+b,若f(x)在x=1處取得極大值,在x=2處取得極小值,則f'(1)=0,f'(2)=0,即3-2a+b=0,12-4a+b=0,解得a=3,b=3,故選A,B.

2.A,B,C分析：圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4,圓心為(1,-2),半徑r=2,直線x=3與圓心的距離為2,等于半徑,相切;直線y=-2與圓心的距離為3,大于半徑,相離;直線2x+y-4=0與圓心的距離為|2×1+(-2)-4|/√(2^2+1^2)=|-4|/√5=4√5/5<2,相切;直線2x+y+4=0與圓心的距離為|2×1+(-2)+4|/√(2^2+1^2)=4/√5>2,相離.故選A,C.

3.A,B分析：等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a_1=1,公比q>0,且前n項(xiàng)和為S_n,若S_3=4,S_6=40,則a_1(1-q^3)/(1-q)=4,a_1(1-q^6)/(1-q)=40,1-q^3=4(1-q),1-q^6=40(1-q),1-q=4/3,q=1/3,或1-q=1/40,q=39/40,但q>0,q=1/3,故選A,B.

4.A分析：f(x)=sin(x+π/4)cos(x+π/4)=1/2sin(2(x+π/4))=1/2sin(2x+π/2)=1/2cos(2x),ω=2,T=2π/|ω|=π,故選A.

5.A,C分析：已知三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,且cosAcosB>sinAsinB,則cos(A+B)>0,即cos(π-C)>0,-cosC>0,cosC<0,所以三角形ABC一定是鈍角三角形.故選C.若三角形ABC是鈍角三角形,不妨設(shè)C為鈍角,則cosC<0,sinA>0,sinB>0,cosA>0,cosB>0,所以cosAcosB>0,sinAsinB>0,無法確定cosAcosB與sinAsinB的大小關(guān)系.若三角形ABC是銳角三角形,則cosA>0,cosB>0,sinA>0,sinB>0,所以cosAcosB>0,sinAsinB>0,無法確定cosAcosB與sinAsinB的大小關(guān)系.例如,銳角三角形A(π/4,π/4,π/2),cosAcosB=1/2>0,sinAsinB=1/2>0;鈍角三角形A(π/3,π/3,5π/9),cosAcosB=(√3/2)^2=3/4>0,sinAsinB=sin(π/3)sin(π/3)=3/4>0.所以cosAcosB>sinAsinB的三角形一定是鈍角三角形,不可能是銳角三角形.故選C.

三、填空題答案及解析

1.x-1+log_a(x+1)分析：f(x)=2^x+1,令y=2^x+1,則2^x=y-1,x=log_2(y-1),所以f(x)的反函數(shù)f^(-1)(x)的解析式為y=log_2(x-1),即f^(-1)(x)=log_2(x-1).

2.(-1,2)分析：圓C的方程為(x+1)^2+(y-2)^2=9,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-h)^2+(y-k)^2=r^2,圓心坐標(biāo)為(h,k),半徑為r,可知圓心坐標(biāo)為(-1,2).

3.60分析：等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,若a_1=3,a_5=9,則d=a_5-a_1=9-3=6/4=3/2,a_1=3,S_10=10a_1+10×(10-1)d/2=10×3+45×3/2=30+67.5=97.5,故答案為60.

4.x=0分析：f(x)=x^3-3x^2+2,f'(x)=3x^2-6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,f''(x)=6x-6,f''(0)=-6<0,所以f(x)的極大值點(diǎn)為x=0.

5.5/6分析：已知事件A和事件B的概率分別為P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A和B獨(dú)立,則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=1/2+1/3-1/2×1/3=5/6.

四、計(jì)算題答案及解析

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2+x+x+3)/(x+1)dx=∫(x(x+1)+(x+1)+2)/(x+1)dx=∫(x+1+2)/(x+1)dx=∫(x/x+1+2/x+1)dx=∫(1+2/(x+1))dx=∫1dx+∫2/(x+1)dx=x+2ln|x+1|+C.

2.解方程組:

```

2x+y-z=1①

x-y+2z=-1②

x+y+z=2③

```

由①+②得:3x+z=0,即z=-3x④

由①+③得:3x+2y=3,即y=x/2+1⑤

把④⑤代入②得:x-1/2(x/2+1)+2(-3x)=-1

解得x=1/2,則z=-3/2,y=1/2+1=3/2

故方程組的解為x=1/2,y=3/2,z=-3/2.

3.f(x)=x^3-3x^2+2,f'(x)=3x^2-6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,f''(x)=6x-6,f''(0)=-6<0,f''(2)=6>0,所以f(x)在x=0處取得極大值,在x=2處取得極小值,f(0)=2,f(2)=-2,f(-1)=-1^3-3(-1)^2+2=-4,f(3)=3^3-3×3^2+2=2,所以函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為2,最小值為-4.

4.?_D(x^2+y^2)dA,其中D是由圓x^2+y^2=1圍成的區(qū)域.用極坐標(biāo)計(jì)算,x=rcosθ,y=rsinθ,dA=rdθdr,D:0≤r≤1,0≤θ≤2π,?_D(x^2+y^2)dA=∫_0^(2π)∫_0^1(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)rdrdθ=∫_0^(2π)∫_0^1r^3drdθ=∫_0^(2π)[r^4/4]_0^1dθ=∫_0^(2π)1/4dθ=[θ/4]_0^(2π)=π/2.

5.f(x)=sin(2x),展開成泰勒級(jí)數(shù)（麥克勞林級(jí)數(shù)）,f(x)=sin(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)為∑_{n=0}^∞(-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!,所以f(x)=sin(2x)的麥克勞林級(jí)數(shù)為∑_{n=0}^∞(-1)^n(2x)^(2n+1)/(2n+1)!=∑_{n=0}^∞(-1)^n2^(2n+1)x^(2n+1)/(2n+1)!

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

本試卷主要考察了高三數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)部分，包括函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、積分等內(nèi)容.

一、選擇題主要考察了集合運(yùn)算、函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、反函數(shù)）、向量平行、復(fù)數(shù)、三角函數(shù)性質(zhì)、圓與直線位置關(guān)系、等差數(shù)列、函數(shù)極值、三角形性質(zhì)、事件關(guān)系等知識(shí)點(diǎn).

二、多項(xiàng)選擇題主要考察了函數(shù)極值、圓與直線位置關(guān)系、等比數(shù)列、三角函數(shù)周期、三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的綜合分析能力.

三、填空題主要考