13.3.2空間圖形的體積第1課時(shí)柱、錐、臺(tái)的體積(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]了解柱、錐、臺(tái)的體積公式.掌握利用柱、錐、臺(tái)的體積公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式名稱體積(V)公式備注柱體棱柱V=____h為棱柱的高,S為棱柱的底面面積圓柱V=______=Shr為圓柱的底面半徑,h為圓柱的高,S為圓柱的底面面積錐體棱錐V=_________h為棱錐的高,S為棱錐的底面面積圓錐V=13πr2h=1r為圓錐的底面半徑,h為圓錐的高,S為圓錐的底面面積臺(tái)體棱臺(tái)、圓臺(tái)V臺(tái)體=13(S上S下+S上·S上,S下分別為臺(tái)體的上、下底面面積,h為臺(tái)體的高|微|點(diǎn)|助|解|柱、錐、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體,錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體,因此柱體、錐體可以看作是“特殊”的臺(tái)體.當(dāng)S上=0時(shí),臺(tái)體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式,當(dāng)S上=S下=S時(shí),臺(tái)體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式,因此柱體、錐體的體積公式可以看作是臺(tái)體體積公式的“特殊”形式.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)在三棱錐P-ABC中,VP?ABC=VA?PBC=VB?PAC=VC?PAB.()(2)錐體的體積等于底面積與高的乘積.()(3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.()(4)如果一個(gè)柱體與一個(gè)錐體底面積相等,則它們的體積比為3∶1.()2.長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為2,6和9,則長(zhǎng)方體的體積是.3.如圖,三棱錐的頂點(diǎn)為P,PA,PB,PC為三條側(cè)棱,且PA,PB,PC兩兩互相垂直,又PA=2,PB=3,PC=4,則三棱錐P?ABC的體積V=.

題型(一)棱柱與圓柱的體積[例1](1)如圖,已知正六棱柱的最大對(duì)角面的面積為1m2,互相平行的兩個(gè)側(cè)面的距離為1m,則這個(gè)六棱柱的體積為()A.334m3 B.3C.1m3 D.12m(2)已知圓柱的底面周長(zhǎng)為4π,高為4,則它的體積為()A.4π C.12π B.8π D.16π聽課記錄:|思|維|建|模|求解柱體體積問題的關(guān)鍵是能夠應(yīng)用棱柱或圓柱的定義確定底面和高.棱柱的高是兩個(gè)平行底面間的距離,其中一個(gè)平面上的任一點(diǎn)到另一個(gè)面的距離都相等,都是高;圓柱的高是其母線長(zhǎng).具體問題中要能準(zhǔn)確應(yīng)用“底面”“高”的定義去求解相關(guān)量.[針對(duì)訓(xùn)練]1.如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π,那么圓柱的體積等于()A.π B.2π C.4π D.8π2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D為棱AA1的中點(diǎn),若△BC1D是面積為6的直角三角形,則此三棱柱的體積為.

題型(二)棱錐與圓錐的體積[例2](1)(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等,側(cè)面積相等,且它們的高均為3,則圓錐的體積為()A.23π B.33π C.63π D.93π聽課記錄:(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)(多選)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上,且二面角P?AC?O為45°,則()A.該圓錐的體積為πB.該圓錐的側(cè)面積為43πC.AC=22D.△PAC的面積為3聽課記錄:|思|維|建|模|(1)錐體的體積公式V=13Sh既適合棱錐,也適合圓錐,其中棱錐可以是正棱錐,也可以不是正棱錐(2)三棱錐的體積求解具有靈活性,因?yàn)槿忮F的任何一個(gè)面都可以作為底面,所以常常需要根據(jù)題目條件對(duì)其頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)換,使得轉(zhuǎn)換后,該三棱錐的底面的面積易求、可求,高易求、可求,這一方法叫作等體積法.(3)有些柱體還可以利用分割法或補(bǔ)形法進(jìn)行求解.無論分割法還是補(bǔ)形法都是要將所給的幾何體分割成或補(bǔ)成易求解的幾何體,體現(xiàn)了間接思維模式和化歸的數(shù)學(xué)思想.[針對(duì)訓(xùn)練]3.如圖,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,M為棱AA1的中點(diǎn),N為棱CC1上靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn),若記正三棱柱ABC?A1B1C1的體積為V,則四棱錐B?A1MNC1的體積為()A.518V B.7C.512V D.74.已知圓錐的表面積為12πm2,且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的體積為()A.62πm3 B.833πC.233πm3 D.4題型(三)棱臺(tái)與圓臺(tái)的體積[例3](2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,則該棱臺(tái)的體積為.聽課記錄:|思|維|建|模|臺(tái)體的體積計(jì)算公式是V=13(S上+S下+S上S下)h,其中S上,S下分別表示臺(tái)體的上、下底面的面積,這一公式較為復(fù)雜,要求記準(zhǔn).計(jì)算體積的關(guān)鍵是求出上、下底面的面積及高,求解相關(guān)量時(shí),應(yīng)充分利用臺(tái)體中的直角梯形、直角三角形.[針對(duì)訓(xùn)練]5.如圖所示,已知圓臺(tái)的高為3,在軸截面A1ABB1中母線AA1與底面圓的直徑AB的夾角為60°,AA1⊥A1B,求圓臺(tái)的體積.題型(四)簡(jiǎn)單組合體的體積[例4]如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)C作l⊥CB,以l為軸旋轉(zhuǎn)一周.求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.聽課記錄:|思|維|建|模|在求組合體體積時(shí),要先把組合體切割成幾個(gè)基本幾何體,分別計(jì)算體積后再相加,解題時(shí)注意補(bǔ)形法的應(yīng)用.[針對(duì)訓(xùn)練]6.《九章算術(shù)》中將三條棱互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體稱為“羨除”.如圖所示,已知五面體ABCDEF為羨除,其中AB∥CD∥EF,AB=4,CD=8,EF=3,CD與EF的距離為8,點(diǎn)A到平面CDEF的距離為6,則該羨除的體積為()A.108 B.112 C.120 D.1327.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為在一正三棱柱中挖去一個(gè)圓柱后的剩余部分(圓柱的上、下兩底面圓與三棱柱的底面各邊相切),圓柱底面直徑為23cm,高為4cm.打印所用原料密度為1g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.(取3=1.73,π=3.14,精確到0.1)第1課時(shí)柱、錐、臺(tái)的體積?課前預(yù)知教材Shπr2h13[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.解析:設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,不妨令ab=2,ac=6,bc=9,∴(abc)2=108.∴V=abc=63.答案:633.解析:三棱錐的體積V=13Sh,其中S為底面積,h為高,而三棱錐的任意一個(gè)面都可以作為底面,所以此題可把B作為頂點(diǎn),△PAC作為底面求解.故V=13S△PAC·PB=13×答案:4?課堂題點(diǎn)研究[例1]解析:(1)設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為am,高為hm,則2ah=1,3a=1,解得a=33,h=32.所以六棱柱的體積為V=34×332×6×32=(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r,則2πr=4π,解得r=2,則該圓柱的體積為π×22×4=16π.答案:(1)B(2)D[針對(duì)訓(xùn)練]1.選B設(shè)圓柱母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,由題意得l=2r,2πrl=4π,解得r=1,l2.解析:設(shè)AC=a,CC1=b,則BD=C1D=a2+b24,BC1=a2+b2.所以2a2所以此三棱柱的體積V=34×8×4=83答案:83[例2]解析:(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r,則圓錐的母線長(zhǎng)為r2+3,因?yàn)樗鼈兊膫?cè)面積相等,所以2πr·3=πr·3+r2,即23=3+r2,故r2=9,故圓錐的體積為13π×9×3(2)在△PAB中,由余弦定理得AB=23,如圖,連接PO,易知圓錐的高h(yuǎn)=PO=1,底面圓的半徑r=AO=BO=3.該圓錐的體積V=13πr2h=π,故A正確.該圓錐的側(cè)面積S側(cè)=πr·PA=23π,故B錯(cuò)誤.取AC的中點(diǎn)H連接PH,OH,因?yàn)镺A=OC,所以O(shè)H⊥AC,同理可得PH⊥AC,則二面角P?AC?O的平面角為∠PHO=45°.所以O(shè)H=PO=1,AH=CH=AO2-OH2=2.所以AC=22,故C正確.又PH=2OH=2,所以S×PH=2,故D錯(cuò)誤.故選AC.答案:(1)B(2)AC[針對(duì)訓(xùn)練]3.選B如圖,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,設(shè)AB=a,AA1=b,取AC的中點(diǎn)D,連接BD,則BD⊥AC,BD=32a,S△ABC=12a·32a=34a2,正三棱柱ABC?A1B1C1的體積V=S△ABC×AA因?yàn)锳A1⊥平面ABC,BD?平面ABC,所以AA1⊥BD.又BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,AC?平面ACC1A1,所以BD⊥平面ACC1A1.因?yàn)镾AMNC=12×13b+12b·a所以四棱錐B?AMNC的體積VB?AMNC=13×SAMNC×BD=13×5ab12×32a=故四棱錐B?A1MNC1的體積為718V4.選B設(shè)圓錐的底面半徑為r,側(cè)面展開圖的半圓半徑為R,則2πr=12×2πR,即R=2r.故圓錐的表面積為S=πr2+12πR2=3πr2=12π,解得r=2,圓錐的高為h=R2-r2=23.故圓錐的體積為V=13πr2·h=13×4π×2[例3]解析:法一如圖所示,設(shè)點(diǎn)O1,O分別為正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1上、下底面的中心,連接B1D1,BD,則點(diǎn)O1,O分別為B1D1,BD的中點(diǎn),連接O1O,則O1O為正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的高,過點(diǎn)B1作B1E⊥BD,垂足為E,則B1E=O1O.因?yàn)锳B=2,A1B1=1,所以O(shè)B=2,O1B1=22.所以BE=OB-OE=OB-O1B1=22.又AA1=2,所以BB1=2,B1E=BB12-BE2=2-12=613×(22+12+22×12)法二如圖,將正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1補(bǔ)形成正四棱錐P?ABCD,因?yàn)锳B=2,A1B1=1,AB∥A1B1,所以A1,B1,C1,D1分別為PA,PB,PC,PD的中點(diǎn).又A1A=2,所以PA=22,即PB=22.連接BD,取BD的中點(diǎn)為O,連接PO,則PO⊥平面ABCD,易知BO=2,所以PO=PB2-BO2=6.所以正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C答案:7[針對(duì)訓(xùn)練]5.解:設(shè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為r',r,高為h,如圖,作A1D⊥AB于點(diǎn)D,則h=A1D=3.∵∠A1AB=60°,∠BA1A=90°,∴∠BA1D=60°.∴AD=A1Dtan60°即r-r'=3. ①BD=A1D·tan60°=33,即r'+r=33. ②聯(lián)立①②,解得r=23,r'=3.∴V圓臺(tái)=13πh(r2+rr'+r'2)=13π×3×[(23)2+23×3+(3)2]=21π,即圓臺(tái)的體積為[例4]解:如題圖,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,∴CD=BC-ADcos60°=2a,AB=CDsin60°=∴DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a,∴DO=12DD'=a由于以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個(gè)倒放的與圓柱等高的圓錐.由上述計(jì)算知,圓柱母線長(zhǎng)3a,底面半徑2a,圓錐的母線長(zhǎng)2a,底面半徑a.∴圓柱的側(cè)面積S1=2π·2a·3a=43πa2,圓錐的側(cè)面積S2=π·a·2a=2πa2,圓柱的底面積S3=π(2a)2=4πa2,圓錐的底面積S4=πa2,∴組合體上底面積S5=S3-S4=3πa2,∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S=S1+S2+S3+S5=(43+9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個(gè)圓柱的體積減去一個(gè)圓錐的體積.V柱=Sh=π·(2a)2·3a=43πa3,V錐=13S'h=13·π·a2·3a=33π∴V=V柱-V錐=43πa3-33πa3=1133π[針對(duì)訓(xùn)練]6.選C如圖所示,連接AF,AC,∵CD∥EF,∴