2025年廣東省方程競賽題庫本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.若實數(shù)\(a\)滿足\(a^2+2a+3=0\)，則\(a^3+4a+5\)的值為（）。A.0B.1C.2D.32.方程\(x^2-mx+n=0\)的兩根分別為\(2\)和\(3\)，則\(m\)和\(n\)的值分別為（）。A.\(m=5,n=6\)B.\(m=5,n=5\)C.\(m=6,n=5\)D.\(m=6,n=6\)3.已知\(x\)是實數(shù)，且滿足\(x^2+2x+3=0\)，則\(x^4+4x^2+7\)的值為（）。A.1B.2C.3D.44.方程\(2x^2-3x+1=0\)的根的情況是（）。A.兩個不相等的實數(shù)根B.兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.無法確定5.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-4x+3=0\)的兩個根，則\(a^2+b^2\)的值為（）。A.4B.5C.6D.106.方程\(x^2+px+q=0\)的兩根之差的平方為4，則\(p\)和\(q\)之間的關(guān)系是（）。A.\(p^2-4q=4\)B.\(p^2-4q=-4\)C.\(p^2+4q=4\)D.\(p^2+4q=-4\)7.若\(x_1\)和\(x_2\)是方程\(x^2-2x+1=0\)的兩個根，則\(x_1^3+x_2^3\)的值為（）。A.0B.2C.4D.88.方程\(x^2+mx-6=0\)的一個根是\(2\)，則\(m\)的值是（）。A.-1B.1C.-3D.39.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的兩個根，則\(a^3+b^3\)的值為（）。A.5B.10C.15D.2010.方程\(x^2-6x+k=0\)有兩個相等的實數(shù)根，則\(k\)的值是（）。A.3B.6C.9D.12二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）11.若方程\(x^2+mx+1=0\)的一個根是\(1\)，則\(m\)的值為。12.方程\(2x^2-7x+3=0\)的兩根之積為。13.若\(x_1\)和\(x_2\)是方程\(x^2-3x+2=0\)的兩個根，則\(x_1^2+x_2^2\)的值為。14.若方程\(x^2+px+q=0\)的兩根分別為\(2\)和\(-3\)，則\(p\)和\(q\)的值分別為。15.方程\(x^2-4x+1=0\)的兩根的平方和為。三、解答題（本大題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.(本小題滿分12分)已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-4x+1=0\)的兩個根，求\(a^2+b^2\)的值。17.(本小題滿分12分)已知方程\(x^2-mx+1=0\)的一個根是\(2\)，求\(m\)的值及方程的另一個根。18.(本小題滿分12分)已知\(x_1\)和\(x_2\)是方程\(x^2-3x+k=0\)的兩個根，且\(x_1+x_2=5\)，求\(k\)的值及方程的另一個根。19.(本小題滿分12分)已知方程\(x^2+px+q=0\)的兩根之差的平方為4，求\(p\)和\(q\)之間的關(guān)系。20.(本小題滿分12分)已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的兩個根，求\(a^3+b^3\)的值。答案與解析一、選擇題1.D解析：方程\(a^2+2a+3=0\)無實數(shù)根，因此\(a\)為虛數(shù)。設(shè)\(a=x+yi\)，則\(a^3+4a+5\)的實部為\(x^3-3xy^2+4x+5\)，虛部為\(3x^2y-y^3+4y+5\)。由于\(a\)為虛數(shù)，實部為0，虛部不為0，因此\(a^3+4a+5\)的值為3。2.A解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，\(m=2+3=5\)，\(n=2\cdot3=6\)。3.B解析：方程\(x^2+2x+3=0\)無實數(shù)根，設(shè)\(x=x+yi\)，則\(x^4+4x^2+7\)的實部為\(x^4-4x^2+7\)，虛部為\(4x^3y-4xy^3\)。由于\(x\)為虛數(shù)，虛部為0，實部為2。4.A解析：判別式\(\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot1=1>0\)，因此方程有兩個不相等的實數(shù)根。5.D解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，\(a+b=4\)，\(ab=3\)，則\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=16-6=10\)。6.A解析：設(shè)方程的兩根為\(x_1\)和\(x_2\)，則\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=p^2-2q\)。由于兩根之差的平方為4，即\((x_1-x_2)^2=4\)，則\(p^2-4q=4\)。7.A解析：方程\(x^2-2x+1=0\)的兩根為\(x_1=x_2=1\)，則\(x_1^3+x_2^3=1^3+1^3=2\)。8.D解析：將\(x=2\)代入方程\(x^2+mx-6=0\)，得\(4+2m-6=0\)，解得\(m=1\)。9.C解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，\(a+b=5\)，\(ab=6\)，則\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=5(a^2-6+b^2)=5(25-12)=15\)。10.C解析：方程\(x^2-6x+k=0\)有兩個相等的實數(shù)根，則判別式\(\Delta=0\)，即\(36-4k=0\)，解得\(k=9\)。二、填空題11.-2解析：將\(x=1\)代入方程\(x^2+mx+1=0\)，得\(1+m+1=0\)，解得\(m=-2\)。12.3解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，方程\(2x^2-7x+3=0\)的兩根之積為\(\frac{3}{2}\)。13.7解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，方程\(x^2-3x+2=0\)的兩根為\(x_1=1\)，\(x_2=2\)，則\(x_1^2+x_2^2=1^2+2^2=5\)。14.-1,-6解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，\(p=2+(-3)=-1\)，\(q=2\cdot(-3)=-6\)。15.17解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，方程\(x^2-4x+1=0\)的兩根為\(x_1\)和\(x_2\)，則\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-2=14\)。三、解答題16.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，方程\(x^2-4x+1=0\)的兩根\(a\)和\(b\)滿足\(a+b=4\)，\(ab=1\)。則\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\cdot1=16-2=14\)。17.解：將\(x=2\)代入方程\(x^2-mx+1=0\)，得\(4-2m+1=0\)，解得\(m=\frac{5}{2}\)。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，方程的兩根\(x_1\)和\(x_2\)滿足\(x_1+x_2=\frac{5}{2}\)，\(x_1x_2=1\)。則方程的另一個根\(x_2=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}\)。18.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，方程\(x^2-3x+k=0\)的兩根\(x_1\)和\(x_2\)滿足\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=k\)。已知\(x_1+x_2=5\)，則\(3=5\)矛盾，因此無解。19.解：設(shè)方程\(x^2+px+q=0\)的兩根為\(x_1\)和\(x_2\)，則\(x_1+x_2=-p\)，\(x_1x_2=q\)。已知\((x_1-x_2)^2=4\