第十章第52講計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)原理、概率及其分布鏈教材·夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1．(人A選必三P5練習(xí)T1(1))一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來(lái)完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是_____．【解析】

因?yàn)橐豁?xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，所以從中選出1人來(lái)完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是5＋4＝9．92．(人A選必三P5練習(xí)T1(2))從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是_____．【解析】

因?yàn)閺腁村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，所以從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是3×2＝6．63．(人A選必三P25練習(xí)T3(2))有政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)，現(xiàn)要從中選3門成績(jī)．如果物理和化學(xué)恰有1門被選，那么共有______種不同的選法．【解析】124．(人A選必三P11練習(xí)T1)乘積(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開后共有______項(xiàng)．【解析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則，(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開后每一項(xiàng)均是從(a1＋a2＋a3)，(b1＋b2＋b3)，(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)中各取1項(xiàng)相乘得到，所以展開后的項(xiàng)數(shù)為3×3×5＝45．455．(人A選必三P26習(xí)題T9)學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序．除第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定外，4個(gè)音樂節(jié)目要求排在第2，5，7，10的位置，3個(gè)舞蹈節(jié)目要求排在第3，6，9的位置，2個(gè)曲藝節(jié)目要求排在第4，8的位置，有_______種不同的排法．【解析】2881．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，缺一不可2．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照______________排成一列組合作為一組3．排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有____________的個(gè)數(shù)，用符號(hào)_______表示．(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有____________的個(gè)數(shù)，用符號(hào)_______表示．一定的順序不同排列不同組合4．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！研題型·能力養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

(1)(2024·揭陽(yáng)二模)智慧農(nóng)機(jī)是指配備先進(jìn)的信息技術(shù)傳感器、自動(dòng)化和機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)，對(duì)農(nóng)業(yè)機(jī)械進(jìn)行數(shù)字化和智能化改造的農(nóng)業(yè)裝備，例如：自動(dòng)育秧機(jī)和自動(dòng)插秧機(jī)．正值春耕備耕時(shí)節(jié)，某智慧農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃新購(gòu)2臺(tái)自動(dòng)育秧機(jī)和3臺(tái)自動(dòng)插秧機(jī)，現(xiàn)有6臺(tái)不同的自動(dòng)育秧機(jī)和5臺(tái)不同的自動(dòng)插秧機(jī)可供選擇，則共有_______種不同的選擇方案．1【解析】150

(2)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱該直線與該平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是______．【解析】長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×6＝36，另外，含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)對(duì)角面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36＋12＝48．481思路：(1)弄清完成一件事是做什么；(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類；(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么；(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解．變式1

(1)用5種不同的顏色給圖中A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂1種顏色，且相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為 (

)A．120 B．160C．180 D．240【解析】根據(jù)題意，規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂1種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，D有3種涂法，C有3種涂法，所以共有5×4×3×3＝180(種)不同的涂色方法．C(2)(2024·石家莊二模)各位數(shù)字之和為4的三位正整數(shù)的個(gè)數(shù)為______．【解析】因?yàn)?＝1＋1＋2或4＝2＋2＋0或4＝4＋0＋0或4＝1＋3＋0，所以各位數(shù)字之和為4的三位正整數(shù)有400，220，202，112，121，211，130，103，310，301，共10個(gè)．10目標(biāo)2排列與組合視角1相鄰、相間問題

(1)(2024·岳陽(yáng)三模)把5個(gè)人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲、乙安排在不相鄰的兩天，乙、丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法種數(shù)為 (

)A．96 B．60C．48 D．362－1【解析】【答案】D(2)(2024·金華義烏三模)在義烏，婺劇深受民眾喜愛．某次婺劇表演結(jié)束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相鄰且老旦不排在最右邊的不同排法種數(shù)是 (

)A．36 B．48C．60 D．72【解析】C相鄰、相間問題的解題策略：變式2－1

(2025·濟(jì)南期初)由0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中任意兩個(gè)偶數(shù)都不相鄰，則滿足條件的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為 (

)A．60 B．108C．132 D．144【解析】B視角2分組分配問題

(1)(2024·河南濟(jì)、洛、平、許四模)為加強(qiáng)校企合作，促進(jìn)大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)，某企業(yè)欲從本市科技大學(xué)的農(nóng)學(xué)院、外國(guó)語(yǔ)學(xué)院、管理學(xué)院這三個(gè)學(xué)院招錄6名大學(xué)生，每個(gè)學(xué)院至少招錄1名，則不同的名額分配方案種數(shù)為 (

)A．10 B．20C．216 D．729【解析】2－2A

(2)(2024·杭州二模)將5名志愿者分配到三個(gè)社區(qū)協(xié)助開展活動(dòng)，每個(gè)志愿者去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少1名志愿者，則不同的分配方法數(shù)是 (

)A．300 B．240 C．150 D．50【解析】2－2C對(duì)于不同元素的分配問題，可以按需分配(即定人又定數(shù)可直接取)，也可按先分組后分配的方式處理，分組時(shí)應(yīng)注意整體均勻分組與部分均勻分組的區(qū)別．(2)部分均勻分組：解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．(3)不均勻分組：解答本類題，只需先分組，后排列，注意分組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．變式2－2

(2024·承德、衡水二模)將5本不同的書(2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書)分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書，每本書只能分給一個(gè)人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為 (

)A．78 B．92 C．100 D．122【解析】C視角3定序問題在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6項(xiàng)成果要匯報(bào)，如果B成果不能最先匯報(bào)，而A，C，D按先后順序匯報(bào)(不一定相鄰)，那么不同的匯報(bào)安排種數(shù)為 (

)A．100 B．120C．300 D．600【解析】2－3A變式2－3

將甲、乙、丙等六位同學(xué)排成一排，且甲、乙在丙的兩側(cè)，則不同的排法種數(shù)為 (

)A．480 B．360C．120 D．240【解析】D

(2024·湖北聯(lián)考)已知x，y，z∈N*，且x≥1，y≥2，z≥3，則方程x＋y＋z＝10的解的組數(shù)為______．隔板法新視角3【解析】15對(duì)于相同元素的分配問題，可以利用分類加法計(jì)數(shù)原理分類討論，還可以利用“隔板法”．把n個(gè)相同的小球放到m(m＜n)個(gè)不同盒子中，不同放法的種數(shù)的求解方法是：變式3某學(xué)校購(gòu)買了10個(gè)相同的籃球分配給高三年級(jí)6個(gè)班，要求每個(gè)班至少分配一個(gè)籃球，則不同的分配方法種數(shù)為 (

)A．126 B．84C．72 D．48【解析】A1．(2025·德州期初)為積極落實(shí)“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某校開設(shè)了舞蹈、攝影等5門課程，分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案種數(shù)為 (

)A．48 B．36C．24 D．12【解析】A2．(2023·全國(guó)乙卷理)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有 (

)A．30種 B．60種C．120種 D．240種【解析】C3．(2024·廈門四檢)某校5名同學(xué)到A，B，C三家公司實(shí)習(xí)，每名同學(xué)只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學(xué)．若同學(xué)甲去A公司，則不同的安排方法共有 (

)A．18種 B．30種C．42種 D．60種【解析】B4．用四種顏色給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四種顏色全用上，則不同的涂法種數(shù)為 (

)A．72 B．96C．108 D．144【解析】設(shè)四種顏色為1，2，3，4，①先涂區(qū)域B，有4種填涂方法，不妨設(shè)涂顏色1；②再涂區(qū)域C，有3種填涂方法，不妨設(shè)涂顏色2；③再涂區(qū)域E，有2種填涂方法，不妨設(shè)涂顏色3；④若區(qū)域A填涂顏色2，則區(qū)域D，F(xiàn)填涂顏色1，4或4，3，若區(qū)域A填涂顏色4，則區(qū)域D，F(xiàn)填涂顏色1，3或4，3，共4種不同的填涂方法．綜合①②③④，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有4×3×2×4＝96(種)不同的填涂方法．B配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題A組夯基精練一、單項(xiàng)選擇題1．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，則甲不站在兩端，且丙和丁相鄰的不同的排列方式有 (

)A．12種 B．24種C．36種 D．48種【解析】B2．(2023·全國(guó)甲卷理)有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為(

)A．120 B．60C．40 D．30【解析】B3．(2024·武漢2月調(diào)研)將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，則不同的裝法種數(shù)為 (

)A．7 B．8C．9 D．10【解析】【答案】A4．如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有 (

)A．120種 B．180種C．221種 D．300種【解析】當(dāng)Ⅰ，Ⅳ同色時(shí)，則Ⅰ有5種涂色方法，Ⅱ有4種涂色方法，Ⅲ有3種涂色方法，此時(shí)共有5×4×3×1＝60(種)涂色方法；當(dāng)Ⅰ，Ⅳ不同色時(shí)，則Ⅰ有5種涂色方法，Ⅳ有4種涂色方法，Ⅱ有3種涂色方法，Ⅲ有2種涂色方法，此時(shí)共有5×4×3×2＝120(種)涂色方法．綜上，共有60＋120＝180(種)不同的著色方法．B5．(2024·河南濟(jì)、洛、平、許三模)有5名志愿者去定點(diǎn)幫扶3位困難老人，若要求每名志愿者都要幫扶且只幫扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者幫扶，則不同的安排方法共有 (

)A．180種 B．150種C．90種 D．60種【解析】C6．小明同學(xué)去文具店購(gòu)買文具，現(xiàn)有四種不同樣式的筆記本可供選擇(可以有筆記本不被選擇)，單價(jià)均為一元一本，小明只有8元錢且要求全部花完，則不同的選購(gòu)方法共有 (

)A．70種 B．165種C．280種 D．1860種【解析】B7．(2025·大同期初)某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運(yùn)數(shù)”(如2024是“幸運(yùn)數(shù)”)，并獲得一定的獎(jiǎng)品，則首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有 (

)A．32個(gè) B．28個(gè)

C．27個(gè) D．24個(gè)【解析】B二、多項(xiàng)選擇題8．(2024·鎮(zhèn)江期初)小明、小華、小紅、小蘭四位同學(xué)分別到鎮(zhèn)江的南山、焦山、北固山參觀旅游，要求每位同學(xué)只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少安排一位同學(xué)參觀，則下列說(shuō)法正確的是 (

)A．若安排兩位同學(xué)去焦山，則有12種安排方法B．若安排小紅和小蘭去同一個(gè)地方參觀，則有6種安排方法C．若小華不去南山參觀，則有24種安排方法D．共有18種安排方法【解析】【答案】ABC9．現(xiàn)有4個(gè)小球和4個(gè)小盒子，下面的說(shuō)法正確的是 (

)A．將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，共有24種放法B．將4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，恰有兩個(gè)空盒的放法共有18種C．將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法共有144種D．將編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，沒有一個(gè)空盒但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同的放法共有9種【解析】編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，沒有一個(gè)空盒但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同，若(2，1，4，3)代表編號(hào)為1，2，3，4的盒子放入的小球編號(hào)分別為2，1，4，3，則所有符合要求的情況為(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)，共9種放法，故D正確．【答案】BCD三、填空題10．(2023·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有______種．(用數(shù)字作答)【解析】6411．7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰，則不同的排法種數(shù)為_______．(只考慮左右人選，不考慮具體方位)【解析】24012．(2024·邢臺(tái)一模)4名男生和2名女生隨機(jī)站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為______