22.4.1位似圖形第22章

相似形【2025-2026學(xué)年】滬科版

數(shù)學(xué)

九年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********22.4.1位似圖形學(xué)習(xí)目標(biāo)理解位似圖形的定義，能準(zhǔn)確判斷兩個圖形是否為位似圖形。掌握位似圖形的性質(zhì)，明確位似中心、位似比的概念及它們與位似圖形的關(guān)系。學(xué)會利用位似圖形的性質(zhì)畫位似圖形，體會位似圖形在圖形變換中的作用。課堂講解一、位似圖形的定義如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。例如，圖1中，四邊形\(ABCD\)與四邊形\(A'B'C'D'\)是相似圖形，對應(yīng)頂點\(A\)與\(A'\)、\(B\)與\(B'\)、\(C\)與\(C'\)、\(D\)與\(D'\)的連線都經(jīng)過點\(O\)，且對應(yīng)邊\(AB\parallelA'B'\)、\(BC\parallelB'C'\)、\(CD\parallelC'D'\)、\(DA\parallelD'A'\)，所以四邊形\(ABCD\)與四邊形\(A'B'C'D'\)是位似圖形，點\(O\)是位似中心，相似比\(k\)就是它們的位似比。需要注意的是，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形。只有當(dāng)相似圖形的對應(yīng)頂點連線相交于一點，且對應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上）時，才能稱為位似圖形。二、位似圖形的性質(zhì)位似圖形是相似圖形：位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì)，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。對應(yīng)頂點的連線相交于位似中心：這是位似圖形的核心特征，所有對應(yīng)頂點的連線都必須經(jīng)過同一位似中心。對應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上）：位似圖形的對應(yīng)邊要么互相平行，要么在同一條直線上，這也是判斷位似圖形的重要依據(jù)。位似比等于相似比：位似圖形的位似比與它們的相似比相等，即位似圖形對應(yīng)邊的比、對應(yīng)高的比、對應(yīng)周長的比等都等于位似比。對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比：若位似中心為\(O\)，位似比為\(k\)，圖形上任意一對對應(yīng)點\(P\)與\(P'\)，則\(\frac{OP'}{OP}=k\)（當(dāng)位似中心在兩圖形之間時，比值可能為負(fù)，但通常取絕對值表示長度比）。例如，在圖1中，位似中心為\(O\)，位似比為\(k\)，則\(\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=k\)，且\(\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}=\frac{D'A'}{DA}=k\)。三、位似圖形的畫法畫位似圖形的一般步驟如下：確定位似中心：位似中心可以是圖形內(nèi)的點、圖形外的點或圖形上的點。連接位似中心與圖形各頂點：畫出位似中心到原圖形各頂點的連線（或延長線）。根據(jù)位似比確定對應(yīng)頂點的位置：在連線（或延長線）上，按照位似比截取線段，得到原圖形各頂點的對應(yīng)頂點。若位似比為\(k\)，則從位似中心出發(fā)，對應(yīng)頂點到中心的距離是原頂點到中心距離的\(k\)倍（若\(k\gt1\)，則對應(yīng)頂點在原頂點遠(yuǎn)離位似中心的一側(cè)；若\(0\ltk\lt1\)，則在靠近位似中心的一側(cè)）。連接對應(yīng)頂點：順次連接各對應(yīng)頂點，得到與原圖形位似的圖形。例1：如圖2，已知\(\triangleABC\)，以點\(O\)為位似中心，位似比為\(2\)，畫出\(\triangleABC\)的位似圖形\(\triangleA'B'C'\)。解：步驟1：連接\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)并延長。步驟2：在\(OA\)的延長線上截取\(OA'=2OA\)，在\(OB\)的延長線上截取\(OB'=2OB\)，在\(OC\)的延長線上截取\(OC'=2OC\)。步驟3：連接\(A'B'\)、\(B'C'\)、\(C'A'\)，則\(\triangleA'B'C'\)即為所求的位似圖形。例2：如圖3，已知四邊形\(ABCD\)，以點\(P\)為位似中心，位似比為\(\frac{1}{2}\)，畫出四邊形\(ABCD\)的位似圖形\(A'B'C'D'\)。解：步驟1：連接\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)、\(PD\)。步驟2：在\(PA\)上截取\(PA'=\frac{1}{2}PA\)，在\(PB\)上截取\(PB'=\frac{1}{2}PB\)，在\(PC\)上截取\(PC'=\frac{1}{2}PC\)，在\(PD\)上截取\(PD'=\frac{1}{2}PD\)。步驟3：連接\(A'B'\)、\(B'C'\)、\(C'D'\)、\(D'A'\)，得到四邊形\(A'B'C'D'\)，即為所求。四、位似圖形的應(yīng)用位似圖形在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，例如：圖形的放大與縮小：在印刷、制圖、攝影等領(lǐng)域，常利用位似圖形的性質(zhì)將圖形按一定比例放大或縮小，且保持圖形的形狀不變。測量距離：對于一些無法直接測量的遠(yuǎn)距離物體（如建筑物的高度、河流的寬度等），可以通過構(gòu)造位似圖形，利用位似比計算出實際距離。藝術(shù)設(shè)計：在圖案設(shè)計中，通過位似變換可以創(chuàng)造出具有對稱美感和比例協(xié)調(diào)的圖形。例2：如圖4，要測量一座塔\(AB\)的高度，在塔前選取一點\(O\)作為位似中心，在地面上立一根標(biāo)桿\(CD=1.5m\)，使點\(O\)、\(C\)、\(A\)在同一直線上，點\(O\)、\(D\)、\(B\)在同一直線上。測得\(OC=2m\)，\(OA=100m\)，求塔\(AB\)的高度。解：因為\(CD\parallelAB\)（標(biāo)桿和塔都垂直于地面），所以\(\triangleOCD\)與\(\triangleOAB\)是位似圖形，位似中心為\(O\)，位似比為\(\frac{OC}{OA}=\frac{2}{100}=\frac{1}{50}\)。根據(jù)位似圖形對應(yīng)邊成比例，可得\(\frac{CD}{AB}=\frac{1}{50}\)，即\(\frac{1.5}{AB}=\frac{1}{50}\)，解得\(AB=75m\)。五、注意事項位似圖形必須同時滿足兩個條件：一是相似圖形；二是對應(yīng)頂點的連線相交于一點且對應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），缺一不可。位似中心的位置不同，畫出的位似圖形的位置也不同；位似比的大小決定了位似圖形是放大還是縮小。在計算位似圖形的相關(guān)線段長度時，要明確對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比，避免與相似比的概念混淆（實際上兩者數(shù)值相等，但含義略有不同）。課堂小結(jié)位似圖形是特殊的相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)，且對應(yīng)頂點連線交于位似中心，對應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上）。位似中心和位似比是位似圖形的重要要素，對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比。掌握位似圖形的畫法，能運用位似圖形的性質(zhì)解決實際測量和計算問題，注意區(qū)分位似圖形與一般相似圖形的異同。作業(yè)提升如圖5，判斷下列各組圖形是否為位似圖形，并說明理由。已知\(\triangleABC\)，以點\(A\)為位似中心，位似比為\(3\)，畫出\(\triangleABC\)的位似圖形。兩個位似圖形的位似比為\(3:4\)，其中一個圖形的周長為\(18\)，求另一個圖形的周長。如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，\(\triangleABC\)的頂點坐標(biāo)分別為\(A(1,2)\)、\(B(3,1)\)、\(C(2,3)\)，以原點\(O\)為位似中心，位似比為\(2\)，畫出\(\triangleABC\)的位似圖形，并寫出對應(yīng)頂點的坐標(biāo)。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入在日常生活中,有時需要把一個圖形放大或縮小.例如,在放映機(jī)上放映幻燈片時,把幻燈片上的圖象放大到屏幕上;在照相館里,攝影師通過照相機(jī)把實物的圖象縮小在底片上.

這樣放大或縮小的圖形,形狀_____,大小_____,所以它們_____.相同不同相似

新課探究例1把四邊形ABCD放大為原來的2倍（即新圖與原圖的相似比為2）.ABCD

ABCDA′OD′C′B′

解如圖.（1）在四邊形ABCD所在平面內(nèi)任取一點O;（2）以點O為端點作射線OA,OB,OC,OD;（3）分別在射線OA,OB,OC,OD上取點A′,B′,C′,D′,使;

（4）連接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.所得四邊形A′B′C′D′即為所求.

例1把四邊形ABCD放大為原來的2倍（即新圖與原圖的相似比為2）.ABCD想一想本題還有其他的方法作圖嗎？

ABCDOA′B′D′C′

思考下圖中所得四邊形A′B′C′D′∽四邊形ACBD,你能說明道理嗎？

一般地,如果一個圖形上的A1,B1,···,P1

和另一個圖形上的點A,B,···,P分別對應(yīng),并且滿足下面兩點:說一說什么是位似圖形？（1）直線AA1,BB1,···,PP1

都經(jīng)過同一點O;（2）那么,這兩個圖形叫做位似圖形,點O叫做位似中心.

圖形的位似,也可用于把圖形縮小,如用小平板儀測繪小范圍區(qū)域時,就是這樣做的.

例2如圖,四邊形ABCD是一個待測繪的小區(qū).在區(qū)內(nèi)選一個測繪點O,ABCDO

ABCDO將圖板上測繪圖紙的點O1對準(zhǔn)測繪點O,再由O1對準(zhǔn)點A,B,C,D在紙上作射線O1A,O1B,O1C,O1D,O1

ABCDO分別測得點O到點A,B,C,D的距離,并按同一比例縮小,在圖紙的對應(yīng)射線上定出點A1,B1,C1,D1,O1B1A1C1D1

依次連接A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,即得該小區(qū)縮小的平面圖.ABCDOO1B1A1C1D1

（1）位似圖形是相似圖形的特殊情形.（2）位似圖形必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形.（3）兩個位似圖形的位似中心只有一個.（4）兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè).注意

隨堂演練1.作一個五邊形和已知五邊形位似,要求:（1）位似中心取在已知五邊形的一個頂點處,相似比為;（2）位似中心取在已知五邊形的一邊上,相似比為3.

（1）位似中心取在已知五邊形的一個頂點處,相似比為;ABCDEA1B1D1E10CA1=CACB1=CBCD1=CDCE1=CE

（2）位似中心取在已知五邊形的一邊上,相似比為3.ABDEE1A1B1C1CD1O

1星題

基礎(chǔ)練知識點1

位似圖形的概念1.［2025·大同模擬］下列選項中的兩個相似圖形不是位似圖形的是(

)CA.

B.

C.

D.

(第2題)2.［2025·長沙模擬］如圖，兩個四邊形是位似圖形，它們的位似中心是點