22.4.2平面直角坐標(biāo)系中圖形的位似變換第22章

相似形【2025-2026學(xué)年】滬科版

數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********22.4.2平面直角坐標(biāo)系中圖形的位似變換學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心時(shí)圖形位似變換的坐標(biāo)變化規(guī)律。理解以非原點(diǎn)為位似中心時(shí)圖形位似變換的坐標(biāo)變化方法，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。能夠根據(jù)位似中心和位似比，在平面直角坐標(biāo)系中準(zhǔn)確畫出圖形的位似圖形，提升數(shù)形結(jié)合能力。課堂講解一、以原點(diǎn)為位似中心的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，若以原點(diǎn)\(O\)為位似中心，位似比為\(k\)，圖形上任意一點(diǎn)\(P(x,y)\)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為\(P'(x',y')\)，則它們的坐標(biāo)滿足：當(dāng)位似圖形與原圖形在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，\(x'=kx\)，\(y'=ky\)；當(dāng)位似圖形與原圖形在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，\(x'=-kx\)，\(y'=-ky\)。綜上，以原點(diǎn)為位似中心，位似比為\(k\)的位似變換中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系可表示為\(P'(kx,ky)\)或\(P'(-kx,-ky)\)。例1：已知點(diǎn)\(A(2,4)\)，以原點(diǎn)為位似中心，位似比為\(\frac{1}{2}\)作位似變換，求點(diǎn)\(A\)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)\(A'\)的坐標(biāo)。解：根據(jù)以原點(diǎn)為位似中心的坐標(biāo)變化規(guī)律，位似比為\(\frac{1}{2}\)，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為\((2\times\frac{1}{2},4\times\frac{1}{2})=(1,2)\)或\((-2\times\frac{1}{2},-4\times\frac{1}{2})=(-1,-2)\)。所以點(diǎn)\(A\)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)\(A'\)的坐標(biāo)為\((1,2)\)或\((-1,-2)\)。例2：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，\(\triangleABC\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)、\(C(5,2)\)，以原點(diǎn)為位似中心，位似比為\(2\)作位似變換，畫出位似圖形\(\triangleA'B'C'\)。解：根據(jù)坐標(biāo)變化規(guī)律，各頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為：\(A'(1\times2,2\times2)=(2,4)\)或\(A'(-1\times2,-2\times2)=(-2,-4)\)；\(B'(3\times2,4\times2)=(6,8)\)或\(B'(-3\times2,-4\times2)=(-6,-8)\)；\(C'(5\times2,2\times2)=(10,4)\)或\(C'(-5\times2,-2\times2)=(-10,-4)\)。分別連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，得到兩個(gè)位似圖形\(\triangleA'B'C'\)（如圖1所示）。二、以非原點(diǎn)為位似中心的位似變換當(dāng)位似中心為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)\(O'(a,b)\)（非原點(diǎn)），位似比為\(k\)時(shí)，圖形上一點(diǎn)\(P(x,y)\)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)\(P'(x',y')\)的坐標(biāo)可通過以下步驟計(jì)算：平移坐標(biāo)系：將位似中心\(O'(a,b)\)視為新坐標(biāo)系的原點(diǎn)，計(jì)算點(diǎn)\(P\)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為\((x-a,y-b)\)。進(jìn)行位似變換：在新坐標(biāo)系中，根據(jù)以原點(diǎn)為位似中心的坐標(biāo)變化規(guī)律，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為\((k(x-a),k(y-b))\)或\((-k(x-a),-k(y-b))\)。平移回原坐標(biāo)系：將新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換回原坐標(biāo)系，即\(x'=a+k(x-a)\)，\(y'=b+k(y-b)\)或\(x'=a-k(x-a)\)，\(y'=b-k(y-b)\)。例3：已知位似中心為\(O'(1,1)\)，位似比為\(3\)，點(diǎn)\(P(2,3)\)在原圖形上，求其對(duì)應(yīng)點(diǎn)\(P'\)的坐標(biāo)。解：根據(jù)上述步驟：點(diǎn)\(P\)在以\(O'(1,1)\)為原點(diǎn)的新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為\((2-1,3-1)=(1,2)\)；位似變換后在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為\((3\times1,3\times2)=(3,6)\)；轉(zhuǎn)換回原坐標(biāo)系，\(x'=1+3=4\)，\(y'=1+6=7\)。所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)\(P'\)的坐標(biāo)為\((4,7)\)（若取另一側(cè)則為\(x'=1-3\times1=-2\)，\(y'=1-3\times2=-5\)，即\((-2,-5)\)）。例4：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形\(ABCD\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(A(0,0)\)、\(B(2,0)\)、\(C(3,2)\)、\(D(1,2)\)，以點(diǎn)\(O'(2,1)\)為位似中心，位似比為\(\frac{1}{2}\)作位似變換，求對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。解：對(duì)各頂點(diǎn)分別計(jì)算：點(diǎn)\(A(0,0)\)：新坐標(biāo)系坐標(biāo)\((0-2,0-1)=(-2,-1)\)，位似后\((\frac{1}{2}\times(-2),\frac{1}{2}\times(-1))=(-1,-0.5)\)，原坐標(biāo)系\(x'=2+(-1)=1\)，\(y'=1+(-0.5)=0.5\)，即\(A'(1,0.5)\)；點(diǎn)\(B(2,0)\)：新坐標(biāo)系坐標(biāo)\((0,-1)\)，位似后\((0,-0.5)\)，原坐標(biāo)系\(x'=2+0=2\)，\(y'=1+(-0.5)=0.5\)，即\(B'(2,0.5)\)；點(diǎn)\(C(3,2)\)：新坐標(biāo)系坐標(biāo)\((1,1)\)，位似后\((0.5,0.5)\)，原坐標(biāo)系\(x'=2+0.5=2.5\)，\(y'=1+0.5=1.5\)，即\(C'(2.5,1.5)\)；點(diǎn)\(D(1,2)\)：新坐標(biāo)系坐標(biāo)\((-1,1)\)，位似后\((-0.5,0.5)\)，原坐標(biāo)系\(x'=2+(-0.5)=1.5\)，\(y'=1+0.5=1.5\)，即\(D'(1.5,1.5)\)。三、位似變換的坐標(biāo)應(yīng)用（一）根據(jù)坐標(biāo)判斷位似關(guān)系若兩個(gè)圖形上各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足以某點(diǎn)為位似中心的位似變換規(guī)律，則可判斷這兩個(gè)圖形是位似圖形。例5：已知圖形\(G_1\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)，圖形\(G_2\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(A'(2,4)\)、\(B'(6,8)\)，判斷\(G_1\)與\(G_2\)是否位似，若是，求出位似中心和位似比。解：計(jì)算對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的比值，\(\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=2\)，\(\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=2\)，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線均過原點(diǎn)，所以\(G_1\)與\(G_2\)是位似圖形，位似中心為原點(diǎn)，位似比為\(2\)。（二）利用位似變換坐標(biāo)規(guī)律解決實(shí)際問題在地圖測繪、坐標(biāo)縮放等場景中，可利用位似變換的坐標(biāo)規(guī)律計(jì)算實(shí)際位置或縮放后的坐標(biāo)。例6：某地圖的比例尺為\(1:1000\)（即圖上\(1\)單位長度代表實(shí)際\(1000\)單位長度），以地圖上的點(diǎn)\(O(0,0)\)為位似中心，圖上一點(diǎn)\(P(2,3)\)表示某建筑物的位置，求該建筑物的實(shí)際坐標(biāo)（以\(O\)為原點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)系）。解：位似比為\(1000\)，根據(jù)坐標(biāo)規(guī)律，實(shí)際坐標(biāo)為\((2\times1000,3\times1000)=(2000,3000)\)。四、注意事項(xiàng)以原點(diǎn)為位似中心時(shí)，要區(qū)分位似圖形與原圖形在原點(diǎn)同側(cè)還是兩側(cè)，同側(cè)時(shí)坐標(biāo)同號(hào)，兩側(cè)時(shí)坐標(biāo)異號(hào)。以非原點(diǎn)為位似中心時(shí)，需通過坐標(biāo)系平移轉(zhuǎn)化為以原點(diǎn)為中心的位似變換，計(jì)算過程中要注意坐標(biāo)的平移轉(zhuǎn)換，避免出錯(cuò)。位似比\(k\gt0\)，當(dāng)\(k\gt1\)時(shí)圖形放大，\(0\ltk\lt1\)時(shí)圖形縮小，坐標(biāo)計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確應(yīng)用位似比。課堂小結(jié)以原點(diǎn)為位似中心的位似變換，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為\((kx,ky)\)或\((-kx,-ky)\)，其中\(zhòng)(k\)為位似比。以非原點(diǎn)\((a,b)\)為位似中心的位似變換，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)可通過坐標(biāo)系平移計(jì)算，公式為\((a+k(x-a),b+k(y-b))\)或\((a-k(x-a),b-k(y-b))\)。能根據(jù)坐標(biāo)規(guī)律判斷位似關(guān)系，解決坐標(biāo)計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用問題，注意坐標(biāo)符號(hào)和位似比的應(yīng)用。作業(yè)提升已知點(diǎn)\(P(-3,6)\)，以原點(diǎn)為位似中心，位似比為\(\frac{1}{3}\)，求對(duì)應(yīng)點(diǎn)\(P'\)的坐標(biāo)。在平面直角坐標(biāo)系中，\(\triangleABC\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(A(2,3)\)、\(B(4,5)\)、\(C(6,3)\)，以點(diǎn)\(O'(1,1)\)為位似中心，位似比為\(2\)，求位似圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)。圖形\(G\)與圖形\(G'\)是位似圖形，位似中心為原點(diǎn)，位似比為\(\frac{1}{2}\)，若\(G'\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((4,6)\)，求\(G\)中對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。判斷下列兩組圖形是否位似，若是，求出位似中心和位似比：圖形\(M\)：\(A(1,1)\)、\(B(2,2)\)；圖形\(N\)：\(A'(-1,-1)\)、\(B'(-2,-2)\)。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比又稱為位似比.

畫位似圖形的步驟：（1）確定位似中心點(diǎn)；（2）將圖形各頂點(diǎn)與位似中心連接（或延長）；（3）按位似比進(jìn)行取點(diǎn)；（4）順次連接各點(diǎn)，所得的圖形就是所求的圖形.

如何把三角形ABC放大為原來的2倍?ABCOB1A1C1OA1=2OAOB1=2OBOC1=2OC

新課探究交流如果把位似圖形放到直角坐標(biāo)系中，又如何去探究位似變換與坐標(biāo)之間的關(guān)系呢？

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,1),B(3,2),C(4,1).以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為3,作△ABC的位似圖形.觀察對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化,你有什么發(fā)現(xiàn)？OxyABC1234567891011121234567

連接OA,OB,OC,分別延長OA,OB,OC至點(diǎn)A′,B′,C′,使OxyABC1234567891011121234567A′B′C′

連接AB,BC,CA,那么△A′B′C′就是所求的△ABC的位似圖形.OxyABC1234567891011121234567A′B′C′

可以看到,位似變換后點(diǎn)A,B,C

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′(3,3),B′(9,6),C′(12,3).OxyABC1234567891011121234567A′B′C′

對(duì)比下圖中變換前后各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),你可以發(fā)現(xiàn)什么？OxyABC1234567891011121234567A′B′C′

在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為k(k>0),原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky)(k>0).

利用這個(gè)性質(zhì)作同向位似圖形就相當(dāng)簡單,只要把圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)都乘以一個(gè)固定的數(shù)k(k>0),就可以得到相似比為k(k>0)的同向位似圖形.

OxyABCB′A′C′取k=3,對(duì)圖中的△ABC進(jìn)行變換,看看結(jié)果如何？這樣得到的圖形叫做反向位似圖形.

OxyABCB′A′C′想一想:它與k=3時(shí)的變換結(jié)果有什么不同？

思考1:將圖中的△ABC,按(x,y)→的方式變換,求變換后所得圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).畫出變換后圖形,它與原圖形有何關(guān)系？OxyABC1234567891011121234A′B′C′

思考2:將圖中的△ABC,按(x,y)→(3x,y)的方式變換,求變換后所得圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).畫出變換后圖形,它與原圖形有何關(guān)系？OxyABC1234567891011121234A′B′C′

在平面直角坐標(biāo)系中,在作(x,y)→(ax,by)變換時(shí),當(dāng)a=b

≠0時(shí)為相似變換.

隨堂演練

△ABC

的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,2),B(-3,5),C(-6,3).按如下方式對(duì)△ABC進(jìn)行變換:(x,y)→(2x,2y);(x,y)→(-2x,-2y).畫出變換后的圖形,它與原圖形相似嗎？為什么？

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