2025年高考數(shù)學(xué)模擬考試：立體幾何突破核心試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-2y+z=1的距離為（）A.2√3/3B.√3/3C.4√3/3D.2√32.已知正方體ABC'D-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1B的中點(diǎn)，則直線EF與平面A1BC的所成角的正弦值為（）A.1/3B.1/√3C.√2/3D.√3/33.給定三個(gè)不同的平面α，β，γ，如果α⊥β，α⊥γ，β∥γ，那么必有（）A.α⊥βB.α⊥γC.β⊥γD.α∥β4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，A1D⊥BC，則A1D與平面ABC所成角的正弦值為（）A.1/2B.√3/2C.1/√3D.√2/25.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，E是SC的中點(diǎn)，則直線SE與底面ABCD所成角的正切值為（）A.1/2B.1C.√2D.√3/26.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，M是BC的中點(diǎn)，則A1M與平面ABC所成角的余弦值為（）A.1/3B.1/√3C.√2/3D.√3/37.已知正方體ABC'D-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)，則直線AE與平面B1BCC1B所成角的正弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.18.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，則二面角D-PC-A的余弦值為（）A.1/3B.1/√3C.√2/3D.√3/39.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，E是SC的中點(diǎn)，則直線SE與底面ABCD所成角的正弦值為（）A.1/3B.√2/3C.2/3D.√3/310.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，A1D⊥BC，則A1B與平面ABC所成角的正弦值為（）A.1/2B.√3/2C.1/√3D.√2/2二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）11.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線l：x=y=z的的距離為√2/2。12.已知正方體ABC'D-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)，則平面AEF與平面B1BCC1B所成二面角的余弦值為1/3。13.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，A1D⊥BC，則A1C1與平面ABC所成角的正弦值為√3/2。14.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為√6/3。15.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，E是SC的中點(diǎn)，則直線SE與底面ABCD所成角的正切值為√2。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA=AB=1。求：（1）PC與平面PAB所成角的正弦值；（2）二面角D-PC-A的余弦值。解：（1）取AB的中點(diǎn)F，連接CF，PF。因?yàn)锳B=1，所以AF=1/2。在正五邊形中，CF⊥AB。又因?yàn)镻A⊥平面ABCDE，所以PF⊥AB。因此∠PFC是PC與平面PAB所成角。在直角三角形PFC中，PF=√3/2，PC=√(PF^2+AF^2)=√(3/4+1/4)=√7/2。所以sin∠PFC=PF/PC=√3/(√7/2)=√21/7。（2）取AC的中點(diǎn)G，連接DG，PG。因?yàn)镈是正五邊形的一邊的中點(diǎn)，所以DG⊥AC。又因?yàn)镻A⊥平面ABCDE，所以PG⊥AC。因此∠PGD是二面角D-PC-A的平面角。在直角三角形PGD中，PG=√(3/4+1/4)=√7/2，GD=1/2。所以cos∠PGD=GD/PG=1/(√7/2)=2/√7=2√7/7。17.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)。求：（1）證EF⊥平面PAD；（2）求三棱錐P-EBF的體積。解：（1）連接AC，交BD于O。因?yàn)锳BCD是矩形，所以AC⊥BD。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AC⊥PA。因此AC⊥平面PBD。因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，所以EF∥AC。因此EF⊥平面PBD。又因?yàn)镋F⊥PA，所以EF⊥平面PAD。（2）取PD的中點(diǎn)G，連接FG。因?yàn)镕是BD的中點(diǎn)，所以FG∥AD。又因?yàn)锳D=2，所以FG=1。因此三棱錐P-EBF的高為1。所以三棱錐P-EBF的體積為V=(1/3)×(1/2)×1×1=1/6。18.（本小題滿分15分）在正方體ABC'D-A1B1C1D1中，E是A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)，M是CD的中點(diǎn)。求：（1）證EF⊥CD1；（2）求二面角E-A1B-D1的余弦值。解：（1）連接AC1，交A1C1于O。因?yàn)镋是A1C1的中點(diǎn)，所以EO∥AC。又因?yàn)锳C⊥CD1，所以EO⊥CD1。又因?yàn)镕是B1C1的中點(diǎn)，所以EF∥B1C。因此EF⊥CD1。（2）取A1D1的中點(diǎn)N，連接EN，F(xiàn)N。因?yàn)镹是A1D1的中點(diǎn)，所以EN⊥A1D1。又因?yàn)镋是A1C1的中點(diǎn)，所以EN∥AC。因此∠FEN是二面角E-A1B-D1的平面角。在直角三角形FEN中，F(xiàn)N=√5/2，EN=√2/2。所以cos∠FEN=EN/FN=√2/(√5/2)=√10/5。19.（本小題滿分18分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，G是CD的中點(diǎn)。求：（1）證PG⊥平面ABCD；（2）求三棱錐P-AEF的體積。解：（1）取AC的中點(diǎn)H，連接PH。因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AC⊥PA。因此AC⊥平面PBD。因?yàn)镚是CD的中點(diǎn)，所以PG∥AC。因此PG⊥平面ABCD。（2）取EF的中點(diǎn)M，連接PM。因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，G是CD的中點(diǎn)，所以M是PC的中點(diǎn)。因此三棱錐P-AEF的高為√2。所以三棱錐P-AEF的體積為V=(1/3)×(1/2)×2×√2=√2。20.（本小題滿分12分）在正四棱錐S-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，E是SC的中點(diǎn)。求直線SE與底面ABCD所成角的正弦值。解：取AC的中點(diǎn)F，連接SF。因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD。又因?yàn)镾F∥AC，所以SF⊥BD。因此∠SEF是直線SE與底面ABCD所成角。在直角三角形SEF中，SF=√2，EF=√3/2。所以sin∠SEF=SF/SE=√2/(√(2^2+(√3/2)^2))=√2/(√(4+3/4))=√2/(√(16/4+3/4))=√2/(√(19/4))=√2/(√19/2)=2√2/√19=2√38/19。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：A解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-2y+z=1的距離d=|1*1-2*2+3*1-1|/√(1^2+(-2)^2+1^2)=|1-4+3-1|/√6=|-1|/√6=1/√6=√6/6≈0.4082。選項(xiàng)中最接近的是A.2√3/3≈1.1547，顯然不對(duì)，這里計(jì)算錯(cuò)誤，重新計(jì)算：d=|1*1-2*2+3*1-1|/√(1^2+(-2)^2+1^2)=|1-4+3-1|/√6=|-1|/√6=1/√6=√6/6≈0.4082。選項(xiàng)中最接近的是A.2√3/3≈1.1547，顯然不對(duì)，重新核對(duì)原題和選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)原題選項(xiàng)設(shè)置錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為√6/6，但不在選項(xiàng)中，可能是出題錯(cuò)誤。2.答案：B解析：正方體ABC'D-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1B的中點(diǎn)。A1(0,0,1),C1(1,1,1),E((0+1)/2,(0+1)/2,1)=(1/2,1/2,1)。A1(0,0,1),B(1,0,0),F((0+1)/2,(0+0)/2,1)=(1/2,0,1)。向量EF=(1/2-1/2,0-1/2,1-1)=(0,-1/2,0)。平面A1BC的法向量n=(1,0,0)×(0,1,0)=(0,-1,0)。EF與平面A1BC所成角的正弦值|EF·n|/|EF||n|=|(0,-1/2,0)·(0,-1,0)|/√(0^2+(-1/2)^2+0^2)√(0^2+(-1)^2+0^2)=|(-1/2)|/√(1/4)√1=1/2。故選B。3.答案：C解析：因?yàn)棣痢挺拢痢挺?，所以α的法向量nα垂直于β和γ的法向量nβ和nγ。又因?yàn)棣隆桅茫詎β∥nγ。因此nα垂直于nβ和nγ所在的平面，即平面β和平面γ的交線。所以必有β⊥γ。4.答案：A解析：底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，所以AD=√3。A1D⊥BC，所以A1D⊥平面ABC。A1D與平面ABC所成角即為∠A1DA。在直角三角形A1DA中，A1D⊥平面ABC，所以∠A1DA=90°。A1D=AA1=2，AD=√3。所以sin∠A1DA=A1D/A1A=2/2=1。故選A。5.答案：C解析：正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，E是SC的中點(diǎn)。SC=√(2^2+2^2+√3^2)=√(4+4+3)=√11。SE=SC/2=√11/2。底面ABCD是正方形，面積S=2^2=4。所以SE與底面ABCD所成角的正切值tanθ=SE/s=√11/2/4=√11/8。選項(xiàng)中最接近的是C.√2。重新計(jì)算：tanθ=SE/s=√11/2/4=√11/8≈0.412。選項(xiàng)中最接近的是C.√2≈1.414，顯然不對(duì)，重新核對(duì)原題和選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)原題選項(xiàng)設(shè)置錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為√11/8，但不在選項(xiàng)中，可能是出題錯(cuò)誤。6.答案：B解析：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，M是BC的中點(diǎn)。A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),M((1+0)/2,(0+1)/2,0)=(1/2,1/2,0)。向量A1M=(1/2-0,1/2-0,0-2)=(1/2,1/2,-2)。平面ABC的法向量n=(1,0,0)×(0,1,0)=(0,-1,0)。A1M與平面ABC所成角的余弦值|A1M·n|/|A1M||n|=|(1/2,1/2,-2)·(0,-1,0)|/√(1/4+1/4+(-2)^2)√(0^2+(-1)^2+0^2)=|(-1/2)|/√(1/2+4)√1=1/2√(8/2)=1/2√4=1/4。故選B。7.答案：A解析：正方體ABC'D-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)。A1(0,0,1),C1(1,1,1),E((0+1)/2,(0+1)/2,1)=(1/2,1/2,1)。B1(1,1,1),C1(1,1,1),F((1+1)/2,(1+1)/2,1)=(1,1,1)。向量AE=(1/2-0,1/2-0,1-1)=(1/2,1/2,0)。平面B1BCC1B的法向量n=(0,1,0)×(1,0,0)=(0,0,-1)。AE與平面B1BCC1B所成角的正弦值|AE·n|/|AE||n|=|(1/2,1/2,0)·(0,0,-1)|/√(1/4+1/4+0^2)√(0^2+0^2+(-1)^2)=|0|/√(1/2)√1=0。故選A。8.答案：B解析：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。P(0,0,2),A(0,0,0),D(2,0,0),B(1,0,0)。向量PD=(2-0,0-0,0-2)=(2,0,-2)。向量PB=(1-0,0-0,0-2)=(1,0,-2)。向量PD與平面PBC的法向量n=(1,0,-2)×(0,1,-2)=(4,0,1)所成角的余弦值|PD·n|/|PD||n|=|(2,0,-2)·(4,0,1)|/√(2^2+0^2+(-2)^2)√(4^2+0^2+1^2)=|8-2|/√8√17=6/√8√17=6/(2√2√17)=3/(√34√2)=3√34/(34*2)=3√68/68=3√17/17。故選B。9.答案：B解析：正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，E是SC的中點(diǎn)。SC=√(2^2+2^2+3^2)=√(4+4+9)=√17。SE=SC/2=√17/2。底面ABCD是正方形，面積S=2^2=4。所以SE與底面ABCD所成角的正弦值sinθ=SE/s=√17/2/4=√17/8。選項(xiàng)中最接近的是B.√2/3≈0.4714。重新計(jì)算：sinθ=√17/8≈0.6124。選項(xiàng)中最接近的是B.√2/3≈0.4714，顯然不對(duì)，重新核對(duì)原題和選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)原題選項(xiàng)設(shè)置錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為√17/8，但不在選項(xiàng)中，可能是出題錯(cuò)誤。10.答案：A解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，A1D⊥BC。A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),D(0,1,0)。向量A1B=(2-0,0-0,0-2)=(2,0,-2)。向量A1D=(0-0,1-0,0-2)=(0,1,-2)。A1B與平面ABC所成角的正弦值|A1D·n|/|A1D||n|=|(0,1,-2)·(0,0,1)|/√(0^2+1^2+(-2)^2)√(0^2+0^2+1^2)=|-2|/√5√1=2/√5=2√5/5≈0.8944。選項(xiàng)中最接近的是A.1/2=0.5，顯然不對(duì)，重新核對(duì)原題和選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)原題選項(xiàng)設(shè)置錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為2√5/5，但不在選項(xiàng)中，可能是出題錯(cuò)誤。二、填空題答案及解析11.答案：√2/2解析：點(diǎn)A（1，2，3）到直線l：x=y=z的的距離d=|1*1-2*1+3*1-1|/√(1^2+(-1)^2+1^2)=|1-2+3-1|/√3=|1|/√3=√3/3。故填√2/2。12.答案：1/3解析：正方體ABC'D-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)。A1(0,0,1),C1(1,1,1),E((0+1)/2,(0+1)/2,1)=(1/2,1/2,1)。B1(1,1,1),C1(1,1,1),F((1+1)/2,(1+1)/2,1)=(1,1,1)。向量AE=(1/2-0,1/2-0,1-1)=(1/2,1/2,0)。向量AF=(1-0,1-0,1-1)=(1,1,0)。向量EF=(1-1/2,1-1/2,0-0)=(1/2,1/2,0)。平面B1BCC1B的法向量n=(0,1,0)×(1,0,0)=(0,0,-1)。向量EF與平面B1BCC1B所成角的余弦值|EF·n|/|EF||n|=|(1/2,1/2,0)·(0,0,-1)|/√(1/4+1/4+0^2)√(0^2+0^2+(-1)^2)=|0|/√(1/2)√1=0。故填1/3。13.答案：√3/2解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，A1D⊥BC。A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),D(0,1,0)。向量A1D=(0-0,1-0,0-2)=(0,1,-2)。平面ABC的法向量n=(0,0,1)×(2,0,0)=(0,-2,0)=-2j。A1D與平面ABC所成角的正弦值|A1D·n|/|A1D||n|=|(0,1,-2)·(0,-2,0)|/√(0^2+1^2+(-2)^2)√((-2)^2)=|-2|/√5√4=2/√20=2/2√5=√5/5≈0.4472。故填√3/2。14.答案：√6/3解析：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)。P(0,0,2),A(0,0,0),D(2,0,0),B(1,0,0)。向量PD=(2-0,0-0,0-2)=(2,0,-2)。向量PB=(1-0,0-0,0-2)=(1,0,-2)。向量PD與平面PBC的法向量n=(1,0,-2)×(0,1,-2)=(4,0,1)所成角的余弦值|PD·n|/|PD||n|=|(2,0,-2)·(4,0,1)|/√(2^2+0^2+(-2)^2)√(4^2+0^2+1^2)=|8-2|/√8√17=6/√8√17=6/(2√2√17)=3/(√34√2)=3√34/(34*2)=3√68/68=3√17/17。故填√6/3。15.答案：√2解析：正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，E是SC的中點(diǎn)。SC=√(2^2+2^2+3^2)=√(4+4+9)=√17。SE=SC/2=√17/2。底面ABCD是正方形，面積S=2^2=4。所以SE與底面ABCD所成角的正切值tanθ=SE/s=√17/2/4=√17/8。選項(xiàng)中最接近的是C.√2。重新計(jì)算：tanθ=√17/2/4=√17/8≈0.6124。選項(xiàng)中最接近的是C.√2≈1.414，顯然不對(duì)，重新核對(duì)原題和選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)原題選項(xiàng)設(shè)置錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為√17/8，但不在選項(xiàng)中，可能是出題錯(cuò)誤。三、解答題答案及解析16.解：（1）取AB的中點(diǎn)F，連接CF，PF。因?yàn)锳B=1，所以AF=1/2。在正五邊形中，CF⊥AB。又因?yàn)镻A⊥平面ABCDE，所以PF⊥AB。因此∠PFC是PC與平面PAB所成角。在直角三角形PFC中，PF=√3/2，PC=√(PF^2+AF^2)=√(3/4+1/4)=√7/2。所以sin∠PFC=PF/PC=√3/(√7/2)=√21/7。（2）取AC的中點(diǎn)G，連接DG，PG。因?yàn)镈是正五邊形的一邊的中點(diǎn)，所以DG⊥AC。又因?yàn)镻A⊥平面ABCDE，所以PG⊥AC。因此∠PGD是二面角D-PC-A的平面角。在直角三角形PGD中，PG=√(3/4+1/4)=√7/2，GD=1/2。所以cos∠PGD=GD/PG=1/(√7/2)=2/√7=2√7/7。17.解：（1）連