《圓單元小結(jié)（第一課時）》知識梳理圓的有關(guān)概念弧確定圓的要素弦最長的弦是直徑圓心優(yōu)弧半徑確定圓的位置確定圓的大小劣弧半圓知識梳理圓的基本性質(zhì)和定理定理圓的對稱性垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)對稱推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧垂徑定理及其推論知識梳理圓的基本性質(zhì)和定理定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等推論1在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等圓心角、弧、弦的關(guān)系推論2在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半推論1同弧或等弧所對的圓周角相等圓周角定理及其推論推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑定理知識梳理·與圓有關(guān)的概念1.圓：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形.2.弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段.3.直徑：經(jīng)過圓心的弦是圓的直徑，直徑是最長的弦.4.劣?。盒∮诎雸A周的圓弧.5.優(yōu)弧：大于半圓周的圓弧.知識梳理6.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧.7.圓心角：頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊與圓相交.8.圓周角：頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊與圓相交.·(1)確定圓的要素：圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大小．(2)不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.與圓有關(guān)的概念知識梳理9.外接圓、內(nèi)接正多邊形：將一個圓n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形叫做這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓是這個正多邊形的外接圓.10.三角形的外接圓(1)三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．(2)一個三角形的外接圓是唯一的.外心：三角形的外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.與圓有關(guān)的概念知識梳理11.三角形的內(nèi)切圓內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心.(1)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)．(2)一個三角形的內(nèi)切圓是唯一的.與圓有關(guān)的概念知識梳理圓的基本性質(zhì)1.圓的對稱性圓是軸對稱圖形，它的任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸.2.有關(guān)圓心角、弧、弦的性質(zhì)(1)在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦也相等.(2)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧和兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.圓心角相等弧相等弦相等知識梳理推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.推論2：平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦.有關(guān)定理及其推論1.垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.(1)條件中的“弦”可以是直徑.(2)結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對的劣弧、優(yōu)弧．知識梳理2.圓周角定理圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧相等.“同弧”指“在一個圓中的同一段弧”；“等弧”指“在同圓或等圓中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”．有關(guān)定理及其推論重點(diǎn)解析1在圖中，BC是☉O的直徑，AD⊥BC，若∠D=36°，則∠BAD的度數(shù)是()A.72° B.54° C.45° D.36°B解：∵∠B與∠D是同弧所對的圓周角，∠D=36°，∴∠B=36°．∵AD⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠BAD=90°-36°=54°．ABCDE重點(diǎn)解析2工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為

mm.8mmAB8CDO解：設(shè)圓心為O，連接AO，作出過點(diǎn)O的弓形高CD，垂足為D，可知AO=5mm，OD=3mm，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算得AD=4mm，所以AB=8mm.135°如圖，四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P為劣弧BC上的任意一點(diǎn)（不與B,C重合），則∠BPC的度數(shù)是

.CDBAPO深化練習(xí)1解：連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以∠BAC=45°，又因?yàn)樗倪呅蜛BPC為☉O的內(nèi)接四邊形，所以∠BPC=180°-∠BAC=135°

.深化練習(xí)2如圖，線段AB是直徑，點(diǎn)D是☉O上一點(diǎn)，∠CDB=20°，過點(diǎn)C作☉O的切線交AB的延長線于點(diǎn)E，則∠E等于

.OCABED50°解：連接OC，∵圓心角∠BOC與圓周角∠CDB都對BC，∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，又∵CE為圓O的切線，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，則∠E=90°-40°=50°．（深化練習(xí)3AOBCEF如圖，點(diǎn)C是扇形OAB中AB上的任意一點(diǎn)，OA=2，連接AC，BC,過點(diǎn)O作OE

⊥AC，OF

⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則EF的長度等于

.（

深化練習(xí)4如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=2，C，D是同一半圓上的兩點(diǎn)，并且AC與BD的度數(shù)分別是96°和36°，動點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，則PC+PD的最小值是

.（（ABCDOFPE解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接CF，與AB交于點(diǎn)P，連接DP．∴DP=FP，∴FP+PC=DP+CP，∴CF的值就是PC+PD的最小值．延長CO，與圓O交于點(diǎn)E，連接FE．

深化練習(xí)4ABCDOFPE如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=2，C，D是同一半圓上的兩點(diǎn)，并且AC與BD的度數(shù)分別是96°和36°，動點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，則PC+PD的最小值是

.（（

圓的有關(guān)性質(zhì)1.如圖所示，點(diǎn)

O

為△

ABC

的外心，若∠

BAC

＝70°，則∠

OBC

＝

?.第1題圖20°

12345678910111213141516【解析】如圖，連接

OC

.

∵∠

BAC

＝70°，∴∠

BOC

＝140°.∵

OB

＝

OC

，∴∠

OBC

＝(180°－∠

BOC

)÷2＝20°.

第2題圖

12345678910111213141516【解析】如圖，連接

OA

，設(shè)半徑為

x

，

∵

OC

⊥

AB

，

123456789101112131415163.如圖，

P

是☉

O

內(nèi)一定點(diǎn).(1)過點(diǎn)

P

作弦

AB

，使

P

是

AB

的中點(diǎn)(不寫作法，保留作圖痕跡)；(1)解：如圖1.12345678910111213141516(2)若☉

O

的半徑為10，

OP

＝6，①求過點(diǎn)

P

的弦的長度

m

范圍；(2)①解：過點(diǎn)

P

的所有弦中，最長為直徑即20，與

OP

垂直的弦最短.連接

OA

，如圖2所示.∵

OP

⊥

AB

，

∴過點(diǎn)

P

的弦的長度

m

范圍為16≤

m

≤20.12345678910111213141516②過點(diǎn)

P

的弦中，長度為整數(shù)的弦有

條.【解析】∵過

P

點(diǎn)的弦中，最長為直徑20，最短的為16，∴長度為17，18，19的弦各有兩條，∴過點(diǎn)

P

的弦中，長度為整數(shù)的弦共有8條.8

123456789101112131415164.(石家莊?？计谀?如圖，

AB

是☉

O

的直徑，

CD

是☉

O

的弦，且

AB

⊥

CD

，垂足為

E

.

(1)求證：∠

CDB

＝∠

A

；

12345678910111213141516(2)若∠

DBC

＝120°，☉

O

的直徑

AB

＝8，求

BC

，

CD

的長.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系5.已知半徑為10的☉

O

和直線

l

上一點(diǎn)

A

，且

OA

＝10，則直線

l

與☉

O

的位置關(guān)系是(

D

)A.相切B.相交C.相交或相離D.相切或相交【解析】若

OA

⊥

l

，則圓心

O

到直線

l

的距離就是

OA

的長，又∵

OA

＝

10＝

r

，∴直線

l

與☉

O

相切；若

OA

與直線

l

不垂直，根據(jù)垂線段最短，圓心

O

到直線

l

的距離小于

10，即小于半徑，所以直線

l

與☉

O

相交.D123456789101112131415166.如圖，△

ABC

的內(nèi)切圓☉

O

分別與

AB

，

BC

，

AC

相切于點(diǎn)

D

，

E

，

F

，且

AD

＝2，

BC

＝5，則△

ABC

的周長為(

B

)A.16B.14C.12D.10第6題圖B【解析】∵△

ABC

的內(nèi)切圓☉

O

分別與

AB

，

BC

，

AC

相切于點(diǎn)

D

，

E

，

F

，且

AD

＝2，∴

AF

＝

AD

＝2，

BD

＝

BE

，

CE

＝

CF

.

∵

BE

＋

CE

＝

BC

＝5，∴

BD

＋

CF

＝

BE

＋

CE

＝

BC

＝5.∴△

ABC

的周長＝2＋2＋5＋5＝14.123456789101112131415167.如圖，

PA

，

PB

是☉

O

的切線，

A

，

B

為切點(diǎn)，若∠

AOB

＝128°，則

∠

P

的度數(shù)為(

B

)A.32°B.52°C.64°D.72°第7題圖【解析】∵

PA

，

PB

是☉

O

的切線，∴

OA

⊥

PA

，

OB

⊥

PB

.

∴∠

PAO

＝∠

PBO

＝90°.∵∠

AOB

＝128°，∴∠

P

＝360°－90°－90°－128°＝52°.B123456789101112131415168.如圖，

AB

為☉

O

的直徑，直線

CD

與☉

O

相切于點(diǎn)

C

，連接

AC

，若

∠

ACD

＝50°，則∠

BAC

的度數(shù)為(

B

)A.30°B.40°C.50°D.60°B【解析】如圖，連接

OC

，∵直線

CD

與☉

O

相切，∴

OC

⊥

CD

.

∴∠

OCD

＝90°.∵∠

ACD

＝50°，∴∠

OCA

＝40°.∵

OA

＝

OC

，∴∠

BAC

＝∠

OCA

＝40°.123456789101112131415169.如圖，

AB

為☉

O

的直徑，過圓上一點(diǎn)

D

作☉

O

的切線

CD

交

BA

的延

長線于點(diǎn)

C

，連接

AD

，過點(diǎn)

O

作

OE

∥

AD

交

CD

于點(diǎn)

E

，連接

BE

.

(1)直線

BE

與☉

O

相切嗎？并說明理由；解：(1)直線

BE

與☉

O

相切.理由：如圖，連接

OD

.

∵

CD

為☉

O

的切線，∴∠

ODC

＝∠

ODE

＝90°.12345678910111213141516

12345678910111213141516(2)若

CA

＝2，

CD

＝4，求

DE

的長.解：(2)由(1)知，△

ODE

≌

OBE

，∴

DE

＝

BE

.

設(shè)☉

O

的半徑為

r

，則

r2＋42＝(2＋

r

)2，得

r

＝3.在Rt△

CBE

中，

BC2＋

BE2＝

CE2，即(2＋3＋3)2＋

DE2＝(4＋

DE

)2，解得

DE

＝6.12345678910111213141516

正多邊形和圓10.已知☉

O

的周長為6π，則圓內(nèi)接正六邊形的邊長為

?.【解析】如圖，連接

OB

，

OC

，∵☉

O

的周長等于6π，∴☉

O

的半徑為3.3

OB

＝

OC

，∴△

OBC

是等邊三角形.∴

BC

＝

OB

＝3.∴它的內(nèi)接正六邊形

ABCDEF

的邊長為3.1234567891011121314151611.如圖，點(diǎn)

O

是正八邊形

A1

A2…

A8外接圓的圓心，連接

A4

A6.第11題圖(1)∠

A8＝

°；

135

(2)若☉

O

的半徑長為4，則

A4

A6＝

?.【解析】(2)如圖，連接

OA6，

OA4，∵∠

A6

OA4＝360°÷8×2＝90°，

1234567891011121314151612.如圖，一個正六邊形內(nèi)接于☉

O

，且☉

O

的半徑為1，該正六邊形的

面積是

?.第12題圖

12345678910111213141516【解析】如圖，連接

OB

，

OC

，過點(diǎn)

O

作

OP

⊥

BC

于點(diǎn)

P

.

∴△

OBC

是等邊三角形.∴

BC

＝

OB

＝

OC

＝1.

12345678910111213141516

弧長和扇形面積13.如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，

在過9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為(

B

)第13題圖B12345678910111213141516【解析】如圖，過點(diǎn)

O

作

OD

⊥

AB

于點(diǎn)

D