立體幾何壓軸小題：角度與動點、體積10大題型

目錄

講高考.............................................................................1

題型全歸納........................................................................10

【題型一】角度1：線線角.........................................................10

【題型二】角度2：線面角.........................................................14

【題型三】角度3：二面角.........................................................21

【題型四】角度綜合...............................................................26

【題型五】體積1：體積比.........................................................32

【題型六】體積2：不規(guī)則.........................................................37

【題型七】體積3：最值型.........................................................42

【題型八】體積4：翻折“包裝”型.................................................45

【題型九】體積5：祖隨定理型.....................................................50

【題型十】立體幾何中的軌跡.......................................................53

專題訓練.........................................................................58

講高考

1.（福建福考真題）如圖,人以。是表面積為48萬的球面上三點，A8=2,8C=4,乙4BC=60。,

。為球心，則直線04與截面A8C所成的角是（)

.73

A.arcsin——B.arccos6C.arcsin——I),arccos—

633

【答案】D

【分析】先求球的半徑，確定小圓中ABC的特征，作出直線OA與截面ABC所成的角，然

后解三角形求出直線與截面ABC所成的角，即可得解.

【詳解】解：表面積為48乃的球面，設(shè)球的半徑是R,則4腦=4乃代，解得尺=2百，

因為A3=2,BC=4,ZABC=60°,

由余弦定理可得AC?=AB?+8C2-248BCcos/ABC=4+16—2x2x4x』=12,

2

所以4c=26，所以AC、AB2=8C2,所以N8AC=90。，AC為小圓的直徑，

則平面OBC平面/WC,設(shè)。為小圓的圓心，平面OBCc平面ABC=BC,OD1BC,

ODu平面O8C,所以O(shè)DJ_平面A8C,

所以NQAD就是直線Q4與截面AAC所成的角，乂。力=J（2石尸一2?=2五,4）=2,

所以cosZOAD=2=當，所以直線04與截面ABC所成的角為arccos史.

2V333

故選：D.

2.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和

為2元，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為％和%.若率=2,則稱=（）

3乙生

A.>/5B.2>/2C.MD.

4

【答案】C

【分析】設(shè)母線長為/，甲圓錐底面半徑為4,乙圓錐底面圓半徑為G根據(jù)圓錐的側(cè)面積

公式可得4=2G，再結(jié)合圓心角之和可將小弓分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓

錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為弓，乙圓錐底面圓半徑為4，

S甲7rrJzj）..r-27rq27rr,_/J+A,...2.1,

則q-=-7=-=2,所rr以“=24，又一^+―^=24，則，^2=1,所?以。=彳/,八=：/,

S乙肛/弓III3~3

所以甲圓錐的高匕=卜什爭,乙圓錐的高色=《1—//2=半/,

L^h}與也

=

所以9=^——~r一方=而?故選:C.

393

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）己知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。底面的四個頂

點均在球。的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A.-B.；C.3D.正

3232

【答案】C

【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點。到底面/以力所在小圓距離一定時，底面加切

面積最大值為2/，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，

從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形力比力所在小圓半徑為八

設(shè)四邊形4先9對角線夾角為。，

則S,刖=3心80對11屋3心笈￡）4；22=2/

（當且僅當四邊形川完刀為正方形時等號成立）

即當四棱錐的頂點。到底面力反》所在小圓距離一定時，底面相⑦面積最大值為2尸

又設(shè)四棱錐的高為〃，則/+/=/

逑當且僅當產(chǎn)=2始即人”

273

時等號成立.故選：C

［方法二］:統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為底面所在圓的半徑為

則r=a，所以該四棱錐的高〃

2

V

（當且僅當q=1-《，即時，等號成立）所以該四棱錐的體積最大時，其高

423

h=d=g■?故選:C

［方法三］:利用導(dǎo)數(shù)求最值

由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為〃，底面所在圓的半徑為

，貝ljr=4"，所以該四棱錐的高力=令"=/（（）<［<2）,/一

、

設(shè)/（/）=〃—L,3,則r（/）=2z—a工,2，0<r<4pr（f）>0,單調(diào)遞增，^4<t<2,r（r）<0,

2233

單調(diào)遞減，所以當時，V最大，此時〃字故選：C.

【整體點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；

方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通

性通法.

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.

若該球的體積為36不，且3WY3G，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

?吟27812764

A.B.77C.T,-TD.[18,27]

【答案】C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為〃，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系,

由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】?.?球的體積為36年,所以球的半徑火=3,

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為2。，高為"，則『=2/+吃32=2?2+（3-/02

所以6/?=尸，2/=/一爐所以正四棱錐的體積

V=-!-5/?=-x4?2x/z=-x(/2--)x-=l(I4--1

3333669(36J916J96

,所以

當3W/W2新時，r>0.當2指</K3石時，r<0,

所以當/=2幾時，止四棱錐的體積V取最大值，最大值為"，又/=3時，V=1=3框

34

Q177

時，八了所以正四棱錐的體積V的最小值為彳，所以該正四棱錐體積的取值范圍是

營瑪.故選：C.

43

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以V=^a'h=-|(6/?-/z2)/?=^(12-2/?)/zx/i,,1(\2-2h)+h+h若（當且

33

僅當a=4取到），當力時，得。=嚼，則嗑:327

—=--

2v23324

當/=36時，球心在正匹棱錐高線上，此時力=T+3=g,

事:嶺=.遂,正四棱錐體積乂=%/且（噂）y=?＜當，故該正四棱錐體積的取

22V2335/2243

值范圍是目學

5.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重

疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體

的體積為（）

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.

【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱。GC-AE8組成，作“M_LC8于M

如圖，因為C〃=3〃=3,/C〃3=12（）,所以CM=BM=?,

22

因為重置后的底面為止方形，所以A8=8C=，在直棱柱AFD-BHC中，A3工平面BHC,

則由A5c&?=4可得〃M_L平面ADC4,設(shè)重疊后的EG與FH交點、為I，

則%m=93Gx3Gx[=§M?甌=；x3gx；x36=?

Qi27

則該幾何體的體枳為V=2匕腌=2、1一萬二27.故選：D.

6.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱A8C-44G，4C=AA，E,/分別

是棱8cAe上的點.記斯與A4所成的角為a,E/與平面ABC所成的角為夕，二面角

產(chǎn)一8C—A的平面角為了,則（）

A.a<p<yB.P<a<yC.p<y<aD.a<y<ft

【答案】A

【分析】先用幾何法表示出a?A7,再根據(jù)邊長關(guān)系即可比較大小.

【詳解】如圖所示，過點“作戶、P_LAC于P,過尸作于M,連接巫，

PFppppAQ

則。=/后卬，。=NFEP,y=4FMP,tan?=—=—<1,tan/?=—=—>1,

FPABPEPE

tan/=>-^=tan/?,所以故選：A.

PMPE

7.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）在長方體八BCD-48cA中，已知科。與平面AACO和

平面44山8所成的角均為30。，則（）

A.A13=2ADB.4?與平面A8￡。所成的角為30。

C.AC=CB]D.與。與平面B4GC所成的角為45。

【答案】D

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示:

不妨設(shè)/^=〃"。=兒44=0,依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與。與平面A3CO所成角

rb

為NBQB，4。與平面的8避所成角為N。卅A,所以SE30=云即b=c,

DjLJLJ

222

B{D=2c=yla+b+c，解得a=0c.

對于A,AH=a,AD=h,AB=y[lAD?A錯誤；

對于B,過8作于E,易知座_L平面AqG。，所以A8與平面AgG。所成角為

NBAE,因為tan/6AE=￡=變，所以N84Ew30，E錯誤；

a2

22

對于C,AC=Ja?+b?=75c，CBt=yjb+c=>j2c?AC工CB1,C錯誤；

對于D,4。與平面88CC所成角為N/MQ,sinZDB,C=—=—=—,而

BiD2c2

0<ZDB,C<90,所以ND8C=45.D正確.故選：D.

8.（2019?浙江?高考真題）設(shè)三棱錐V-A8C的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，。是楂

K4上的點（不含端點），記直線即與直線AC所成角為。，直線心與平面A8C所成角為

二面角P—AC—8的平面弟為/,則

A.p<y,a<yB.p<a,p<y

C.P<a,y<aD.a<0,丫<。

【答案】B

【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角

的概念，以及各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識求解，

而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.

【詳解】方法1：如圖G為AC中點，V在底面A3C的投影為0,則P在底面投影O在線段

40上，過。作OE垂直AE.易得PE//VG,過2作;PFHAC交YG于尸，過。作/A4C,

交BG于〃，則a=NBPF,p=NPBD,y=NPED，則cosa=震=笥=等<魯=cos0,

pnpn

即a>/7,(any=—>—=tanp,即y>。，綜上所述，答案為B.

EDBD

方法九由最小角定理4<a,記V-AB-C的平面角為V（顯然丫'=丫）

由最大角定理B〈Y'=y,故選B.

方法3：（特殊位置）取V-/\4C為正四面體，尸為V4中點，易得

cosa=—=>sina=^^.sinp=^^?siny=,故選B.

6633

9.（2017?全國?高考真題）如圖，圓形紙片的圓心為2半徑為5cm,該紙片上的等邊三

角形力比、的中心為〃〃E,“為圓。上的點，ADBC,MCA,△/%〃分別是以AC,CA,AB

為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以及?，。，力￡為折痕折起△〃&；XECM△*區(qū)

使得〃，E,少重合，得到三棱錐.當△力砥的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm：；）的最

大值為.

【答案】4岳

【詳解】如下圖，連接〃。交貧于點G,設(shè)〃，E,尸重合于S點，正三角形的邊長

為x（x>0）,貝ljOG=1x坦*=立>.FG=SG=5-避x,

3266

???三棱錐的體積V=；S△."ugx當Yx.，一日1二唱Jsd—等J.

設(shè)〃（x）=5f-9乙x>0,則岫）=20八孚/，令g）=0,即4，/=。，得戶43,

易知〃（X）在X=4G處取得最大值.「?曦,x=^^48*95一4=4后.

題型全歸納

【題型一】角度1：線線角

【講題型】

例題L.已知正三棱錐A-8c。的底面是邊長為6的正三角形，其外接球球O的表面枳為

64兀，且點A到平面8CO的距離小于球。的半徑，E為八。的中點，則異面直線A3與CE所

成角的余弦值為（）

A.叵B.叵C.叵D.叵

88442040

【答案】A

【解析】利用外接球的表面積求出外接球半徑為，再根據(jù)勾股定理求出點A到平面8CQ的

距離，找到異面直線與CE所成的角，然后在三角形中利用余弦定理進行分析求解，即

可得到答案.

【詳解】因為外接球的表面積為64乃，設(shè)外接球半徑為R，則4用代=64小則R=4,

設(shè)點A到平面8c。的距離為人（/?<4）,8c。的中心為。，則8。'=6、￥乂：=26，由

勾股定理得（%-4尸+（26『=42,解得：/?=2或〃=6（舍去）

取8。的中點Q,則由中位線性質(zhì)知，EQ//AB,

所以異面直線AB與CE所成的角為NQEC或其補角，

在△AOW中，勾股定理知/15=〃2+3。2=月立=4,即AC=AO=4,

EQ=2,乂CO=6x=3\/3，cosZ.CAD=">"———=——,

22x4x48

/.CE2=AC2+AE2-2ACAEcosZCAD=16+4+1x4x2=22,：,CE=J22

4

故…生慧浮=咨嚕

所以異面直線AB與CE所成角的余弦值為叵

88

故選：A

例題2如圖，已知正三棱錐A-8CO,BC=CD=BD=6,AB=AC=AD=4i，點、P,

。分別棱〃C，CD上（不包含端點），則直線公，〃。所成的角的取值范圍是

A

8G.D

Q

【解析】根據(jù)異面直線所成角的取值范圍，同時根據(jù)題意找出臨界情況，即可求出直線”,

5。所成的角的取值范圍.

【詳解】設(shè)你在平面ACD內(nèi)的射影為0P，

在正三棱錐A-BCD中，A點的投影O為底面BCD的中心，

當。為C。中點.。為3。的二等分點日靠近。點時,

即_1_平面4。尸，此時8Q_LAP,直線AP,8。所成的角為卷，

又因為NAR9是”與底面BCD內(nèi)直線所成角的最小值，

所以當尸與8重合且3。與尸。重合時，ZAPO最小為

又因為點?在棱上(不包含端點)，

所以直線AP,8Q所成的角的取值范圍是故答案為：

【講技巧】

：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直

線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

(2)認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

(3)計算：求該角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是[()，5],當所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的

補角作為兩條異面直線所成的角.

【練題型】

L.空間四面體A8CO中，AB=CD=2tAD=BC=2^AC=4f直線50與AC所成的

角為45°,則該四面體的體積為

【答案】也

3

【分析】由條件可得ABC,△D4C為直角三角形，作直角三角形，A8C和△D4C斜邊上

的高BE,DF,作平行四邊形BEFG,由此可得直線物與“的平面角為N〃滋”CL平面DFG,

解三角形確定一:棱錐沙力紀底面月笈上的高，利用體積公式求體積.

【詳解】???力廬2,BR2岳,???一AAC為直角三角形，同埋可得△DAC為直角

三角形，如圖，作直角三角形和△D4C斜邊上的高“加；則月后不1

???E,〃是線段W的兩個四等分點，作平行四邊形用7G則須_L〃；DFLAC,

由線面垂直判定定理可得力。1平面"心，又〃'u平面ABGC,

???平面4例C_L平面/石，在平面〃&;內(nèi)，過點〃作〃垂足為A

由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ABGC,

???ZW為四面體/以力的底面/仍。上的高，由三角函數(shù)定義可得O〃=OQsinNOfG

又因為8G〃/匕所以加

又因為直線物與/C所成的角為45°,所以/〃脛45°,???拉5為等腰直角三角形,

.??GD-G1}~EQ2在二DFG中GD-2,百

由余弦定理可求得cosNZ)R7=:，?,?sinZDFG=—

33

所以四面體的體積V=1S/kAHCDF-sinZDFG=—.故答案為：—.

33.33

2.已知三棱錐A—8CD滿足：AB=BC=CD=DA=BD=2,二面角A—3O—C為丁，且"

為校AC上一點，AC=34W,。為三棱錐A-ACO外接球的球心，則直線與直線AC央

角的正弦值是（）

A.|B.叵C.立D.1

222

【答案】A

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合二面角的定義，通過建立坐標系進行求解即可.

【詳解】?；AB=AD=BD=2,BC=CD=BD=2,?'△ABD與ACBD均為等邊三角形.取

8。的中點記為.M

則AN_LBDCNJL8。，ZANC是二面角A—BO—C的平面角，二面角A—A。—C即

ZANC=—,且乙4CN二N

36

設(shè)〃為△BCD的外心，Q為△A3。的外心，外接球球心。與尸，Q,A,C五點共面，建立

如圖坐標系，可得

A-年］,C（6,0）,〈AC=3AM,???何（。,1）,.二M。平行與x軸，JMO與AC的夾角

=ZACN=—./.sin-=-.故選：A

662

【題型二】角度2:線面角

【講題型】

例題1..如圖，在直三楂柱A3C-A4G中，已知.A8C是邊長為1的等邊三角形，M=2,

E,產(chǎn)分別在側(cè)面AA&S和側(cè)面AAGC內(nèi)運動（含邊界），且滿足直線AA與平面4即所

成的角為30°,點A在平面AE/7上的射影H在公AEF內(nèi)（含邊界）.令直線BH與平面ABC

所成的角為。，則tan。的最大值為（）

C.V3D.3（2-6）

【答案】A

【分析】點〃為兒在平面AM上的射影，得首先得〃在以AA為直徑的球面

上.人片與平面從￡尸所成的角為3（）。，所以NH4A=30。，過〃作HQIM于點計算

得HA.HA「HQ,Aa，知〃在圓錐4a的底面圓周上，再由〃在AAK廠內(nèi)（含邊界），得H

在三棱柱A2C-及其內(nèi)部，其軌跡是以O(shè)1為圓心.為半徑的圓中圓心角為60°

的圓弧，且〃在底面ABC上的射影"的軌跡（以A為圓心，立為半徑的一段圓弧），

2

0=/HBH',求出1211。=槳得8”'最小時，lan。最大，由點與圓的位置關(guān)系可得結(jié)論.

BH

【詳解】因為點H為A在平面4"上的射影，所以A”，平面AEF,連接AH,則A.H1AH,

故”在以片兒為直徑的球而上.又4V與平面A族所成的角為30°,所以NHAA=3（）c,過

H作于點如圖1所示，則易得"A=l,HA=6，H0\=蟲,4。1=3，

22

所以“在如圖2所不的圓錐AQ的底面圓周上，又//在△AE廠內(nèi)（含邊界），故”在二棱柱

ABC-AMC及其內(nèi)部，其軌跡是以a為圓心，a”為半徑的圓中圓心角為6。。的圓弧,

且〃在底面ABC上的射影"的軌跡（以A為圓心，正為半徑的一段圓?。┤鐖D3所示,

2

連接3〃'，易知直線4〃與平面ABC所成的角。=N"3H',月.tan9=襄=鬻

HHrin2DH

故當4”'最小時，tan。最大，A是圓弧圓心，則當”，在AA上時，BW敢小,最小值為

1一日二三8,所以（tan〃L=|x&=3（2+g）.故選：A.

例題2..如圖，在三棱錐。一A8C中，AB=BC=CD=DA,NA4C=90°,E,￡O分別為棱

8COAAC的中點，記直線￡戶與平面40。所成角為仇則。的取值范圍是（）

/

47T

D.*‘刃

【答案】C

【分析】補全底面為正方形/打Q7,由正方形性質(zhì)有面6￡心_1_面48。6,進而可證ECH/為

平行四邊形，則4"0=。￡（0.《）為直線石尸與平面BOD所成用，△謝中由余弦定理知

2

cosZD/lB=l-一二，結(jié)合棱錐側(cè)面為全等三角形知4MBe（0,1）,即可求。的取值范圍.

tan-02

【詳解】由48=8C,ZABC=90\將底面補全為正方形力灰石，如下圖示,

I)

。為月84；對角線交點且G8_LAC,又CQ=Q4有">_LAC,DOcGB=O,

???ACJ_[fifGQ8,而ACu面A8CG,故面GO8_L面ABCG,

若〃為次;的中點，連接FH,又與尸為棱8C,D4的中點，則"http:///AG且4G=2"/,

而6C//AG,BC=AG=2EC,有EC,五”平行且相等，即EC”/；為平行四邊形.

7T

???可將所平移至"C,直線E尸與平面80。所成角為4H。=夕6(0,一)，目肋△C”。中

2

&OH=時,

令A(yù)B=BC=CD=DA=2,。。=&,即8。=20〃=,

(an0(an0

，△他。中，AB2+BD2-2ABBD-cosZDAB=BD2.艮JcosZD/W=l——

tan~0

TT1

DAB三DAG三aDCB三,DCG,即/DA8e(0,-),Z.0<1-------<1,解得tan?>l

2tan”

(tan6<—1舍去)，綜上有故選：C

42

【講技巧】

計算線面角，一般有如下幾種方法：

(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平

面內(nèi)的射影，即可確定線面角；

(2)在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度//,從而不必作

出線面角，則線面角9滿足sinO=：3為斜線段長)，進而可求得線面角；

(3)建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設(shè)。為直線/的方向向量，〃為平面的法

向量，則線面角。的正弦值為sin9=kosva,〃>.

【練題型】

L.如圖，正四面體力靦的頂點。在平面。內(nèi)，且直線兜與平面。所成的角為45°,頂點

8在平面。內(nèi)的射影為0,當頂點力與點。的距離最大時，直線切與平面。所成角的正弦值

等于（）

x/6+3x/22V2+1

125

x/6+V2n5+2加

vr?-------U?---------

412

【答案】A

【分析】由題意知：當04,A,。四點共面時，頂點A與點0的距離最大，設(shè)此平面為夕，

由面面垂直判定定理結(jié)合80，證出/?_La,過。作OE_LaJ：E,連結(jié)CE,根據(jù)面面

垂直與線面垂直的性質(zhì)證出OH//。，從而點。到平面。的距離等于點〃到平面。的距

離.設(shè)正四面體A8CO的棱長為1,根據(jù)BC與平面。所成的角為45和正四面體的性質(zhì)算

出〃到平面a的距離，從而在次ACDE中,利用三角函數(shù)線的定義算出

sin/OC￡=亞土這，即得到直線CD與平面。所成角的正弦值.

12

【詳解】???四邊形。加。中，頂點A與點。的距離最大，I.。,比AC四點共面，設(shè)此平面為

BO1ayBOc0,flla,

A

如圖，過點。作O〃_L平面ABC,垂足為〃，連接"C,設(shè)正四面體ABC。的棱長為1,則

在用A/7CZ）中，C〃=@4C=且.BOLa,直線8c勺平面。所成的角為45°,

33

N8co=45。，結(jié)合4/03（）。得N〃CO=75。，因此“到平面。的距離

J=C//sin750=—sin（45o+30°）=—xf—x^+^xl

31732222

甘^+V2_76+372

3412

過點。作OE_La「E,連接C￡,則/力CE就是直線CO與平面a所成的角，

<DH工仇a【BaDHaa,：.DHHa,由此可得點。到平面。的距離等于點〃到平面。

的距離，即DE=-3網(wǎng),.,.在他AC。石中，sin/DCE=^=S,即直線。。與

12CD12

平面。所成角的正弦值等于?上叵.故選A.

12

2..如圖，在三棱錐A—4C力中，ZABC=45,點尸在平面BCD內(nèi)，過尸作PQ/4B于。,

當與面所成最大角的正弦值是手時,

PQ與平面A8C所成角的余弦值是（）

叵

C.

45

【答案】C

【分析】過Q作A8的垂面，過A6作平面48的垂面4W,過。作QGJ_6A7,設(shè)

BMEF=P,

結(jié)合面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可證得此點即為PQ與面AC。所成角最大時對應(yīng)的尸點，

由此得到sin/QP8=巫；過〃作由面面垂直性質(zhì)和線面角定義可知，

4

/EQP即為PQ與平面ABC所成角，利用tanNQBP=cosNEQP=-^―-可求得結(jié)果.

tanZ.QPB

【詳解】過。作48的垂面。防，交平面A8C于石尸，即A8_LQE,ABLQF,AB1EF,

過AB作平面8co的垂面ABM,即平面ABM，平面BCD,

過Q作0G_LAM,垂足為G,如下圖所示，

設(shè)=則此點即為PQ與面8co所成角最大時對應(yīng)的P點，理由如下：

恒成立，?面尸，

又尸w平面8CO,平面QE"C|平面8C￡>=E/".?.?￡所；

,平面A4M_L平面BCD,平面AHMc平面8CO=BM,QGu平面ABM,QGVBM,

QGJ.平面AC。，

???與面8CO所成角即為NQP8,:.sinNQPB=端,

QG為定值，.?.當PQ最小時，sin/QPG最大，即NQPB最大，

?.?Qu平面BCO,..QG^E尸，

又ABtEF,AB\1QG=Q.4艮。6匚平面片30,.-."'_1_平面4?時，

則當尸為/交點時，EFLPQ,此時P。取得最小值,

???當BM律=P時，PQ與面BCD所成角最大，為/QPB,...smNQPB=率;

過P作PH_LQE,垂足為“，連接BH,

/n

//伙、,「＞、

c…J?k壇?二二二?、.

O

Q48JL平面QE/，A/6u平面A8C,.?.平面/WC1平面

又平面QE尸7平面A8C=QE,平面QE”,.?.777，平面A8C,

："EQP即為"Q與平面/WC所成角，

在RSQPE中，cosNEQP=黑；???480=45，A8_LQE,.?.△/3Q￡為等腰直角三角形，

QE

即紗=QE,

又tan/Q8P=強，.?.tanNQ8P=cos/EQP,?.?sinNQPB=乎，.?.tan/QPB=W，

.__,me兀??tanZQBP=-------------=-T^="='

vZQBP+ZQPB=-tvtanNQP/3至5，

~Y

:.cos/EQP二號,即P。與平面ABC所成角的余弦值為半.故選：C.

【題型三】角度3:二面角

【講題型】

例題1.已知在正方體48CQ-ABCa中，點￡為棱BC的中點，直線/在平面人用。山內(nèi)?若

二面角A-/-E的平面角為。，貝ijcos。的最小值為（）

GH733

A?RD?vr?nl）.

42135

【答案】B

【分析】先找到二面角人-/-￡的平面角的最大值,即cos。最小,再求解出此角的余弦值.

【詳解】連接/1/：；取"的中點只過點、P作產(chǎn)GLAE交。）于點居交加于點G,設(shè)正方體

棱長為2,由勾股定理可知：AE=y/m=5八。=正，同理，取4G的中點。，連接AQ,

2

取AQ的中點。，過點。作MV_LAQ交CQ于點機交AB|于點也則直線MV即為直線/,

11W，MFX.CD,NGA.AB,。戶JL底面ABCD,因為R；u平面ABCD,所以O(shè)PLFG,因為AECO六億

所以凡LL平面力。夕，遙接0E

,因為。fu平面47R所以勿_!_&；,因為就V〃&；,所以力_L.MV；同理可證："_U1V；所以

/AOE即為二面角A-/-E的平面角，由對稱性可知：此角即為二面角A-/-E的平面角的

最大值，旦NA0E=2NA0P,其中。夕=2,由勾股定理得：AO=>]AP2+OP2=—,所

2

/Ar?D_OP-2

以cosZA°P=^=標=3-,則cos乙4OE=2cos'/AOP-l=u*

F

故選：B

例題2.?已知正方體A8CD-A'8'C'。的棱長為3,石為棱A8上的靠近點8的三等分點，點

P在側(cè)面CC。。上運動，當平面夕￡尸與平面ABC。和平面CC77。所成的角相等時，DP

的最小值為（）

A3面口3面r9而口7>/10

A.----D.--------C.----D.----

5101010

【答案】A

【分析】作出過工E且與平面A8CO和平面CC77O所成角相等的截面，則〃位于截面與平

面CCOD的交線上，進而求得答案.

【詳解】如圖1,廣為棱DC1上靠近C'的三等分點,由正方體的對稱性可知平面歹尸石與平

面ABC。和平面CC。。所成角相等，取棱力/，上靠近〃的三等分點/:；取棱ZT上的三等分

點NM,容易證明：ENIIBMII&F,則以REN共面，即平面斤EEN與平面ABCD和平面

所成角相等，于是點尸在線段內(nèi)V上.

如圖2,過點川作垂直于￡￥于以，容易知道當〃位于小時，。尸最小.

如圖3,由勾腹定理可以求得￡>W=FN=Ji3,由等面積法,

L.2x3=LFN乂DQ=葭癡xDQfDQ=*屈.故選：A.

2225

【講技巧】

計算二面角，常用方法

rr

IPv

|cos^|=-r-r.

/AUV

1.向量法：二面角0一'一”的大小為6(0404萬)，

2.定義法：在棱上任一點，分別在兩個半平面內(nèi)做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角

3.垂面法：做與棱垂直的平面，交二面角兩個半平面，兩條交線所成的角即為二面角的平面角

【練題型】

1.已知點夕是正方體/WCO-A/rCT)'上底面49。。'上的一個動點，記面力加與面BCP所

成的銳二面角為。，面月儲與面C%所成的銳二面角為?，若a>B，則下列敘述正確的是

()

A.ZAPC>4BPDB.NAPC</BPD

C.max{ZAPD,ZBPC}>max{ZAPB,^CPD}D.min{ZAP。,N3PC}>min{ZAP反NCP。}

【答案】C

【分析】結(jié)合正方體的幾何特征，以及面力如與面成尸所成的銳二面角為a,面力//與面

所成的銳二面角為夕，若，判斷〃在如圖所示的陰影范圍內(nèi)，利用正方體的特點，

判斷P接近于4時/時，P接近于”時/月收》/皮力，故A、B錯誤；若P//>PE得/

APIKAAPB,若PGPF得NBPO/CPD,故D正確，C錯誤，

【詳解】

為解析方便，將正方體上下底面對調(diào)，如圖，取正方體的下底面的各邊中點V/TG〃上底

面的中心為Q,下底面的中心為a

面力如，面曾所成的角為。，面力即面在所成的角為￡,a〉B,

等價于產(chǎn)到蘇一的距離比到比的距離大，

所以P在如圖所示的陰影范圍內(nèi)；

在△力和△力力中，AC=BD,圖公用,0為共同的中點，

N/1PC,/為刃的大小山圖于AC,切所成的角大小所決定，

所成角越小，則對■應(yīng)角越大，

顯然圖與力。和做所成的角的大小關(guān)系不確定，當產(chǎn)在靠近/時“與