姚孟臣概率統(tǒng)計第二章第1頁，共161頁。2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)（一）（二）隨機(jī)變量的概念分布函數(shù)第2頁，共161頁。

概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)學(xué)分析的方法來研究，因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計算，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化．當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時，就建立起了隨機(jī)變量的概念．為什么引入隨機(jī)變量（一）隨機(jī)變量的概念第3頁，共161頁。拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).樣本空間{1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有（一）隨機(jī)變量的概念實(shí)例第4頁，共161頁。擲一個硬幣,觀察出現(xiàn)的面,共有兩個結(jié)果:若用X表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則有是一個隨機(jī)變量.（一）隨機(jī)變量的概念例1第5頁，共161頁。

設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊,直到擊中目標(biāo)為止,則是一個隨機(jī)變量.且X(e)

的所有可能取值為:（一）隨機(jī)變量的概念例2第6頁，共161頁。

某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機(jī)的,則是一個隨機(jī)變量.且X(e)

的所有可能取值為:（一）隨機(jī)變量的概念例3第7頁，共161頁。隨機(jī)變量（一）隨機(jī)變量的概念定義2.1第8頁，共161頁。隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律

隨機(jī)變量是一個函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).說明(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同（一）隨機(jī)變量的概念第9頁，共161頁。隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個范圍更廣的概念之內(nèi).或者說:隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則是從動態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象.(3)隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系（一）隨機(jī)變量的概念第10頁，共161頁。隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非離散型混合型（一）隨機(jī)變量的概念按隨機(jī)變量的取值范圍:一維隨機(jī)變量二維多維三維…按描述問題所需變量個數(shù):第11頁，共161頁。離散型隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機(jī)變量.

觀察擲一個骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變量X

的可能值是:實(shí)例1,2,3,4,5,6.（一）隨機(jī)變量的概念實(shí)例

隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.

連續(xù)型隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為第12頁，共161頁。

對于隨機(jī)變量X,

我們不僅要知道X取哪些值,要知道X

取這些值的概率;而且更重要的是想知道X在任意有限區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的概率.分布函數(shù)例如概念的引入（二）分布函數(shù)第13頁，共161頁。說明(1)分布函數(shù)主要研究變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率.（二）分布函數(shù)分布函數(shù)定義2.1第14頁，共161頁。定理2.1（二）分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)第15頁，共161頁。重要公式證明（二）分布函數(shù)第16頁，共161頁。例4（二）分布函數(shù)解第17頁，共161頁。（二）分布函數(shù)第18頁，共161頁。2.2離散型隨機(jī)變量及其分布（一）離散型隨機(jī)變量的分布（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布第19頁，共161頁。定義2.3（一）離散型隨機(jī)變量的分布1.分布律定義第20頁，共161頁。離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為（一）離散型隨機(jī)變量的分布1.分布律定義分布陣分布列第21頁，共161頁。（一）離散型隨機(jī)變量的分布2.分布律性質(zhì)

或性質(zhì)1性質(zhì)2第22頁，共161頁。（一）離散型隨機(jī)變量的分布例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：求：（1）常數(shù)第23頁，共161頁。（一）離散型隨機(jī)變量的分布例1解第24頁，共161頁。例4解（一）離散型隨機(jī)變量的分布第25頁，共161頁。（一）離散型隨機(jī)變量的分布第26頁，共161頁。（一）離散型隨機(jī)變量的分布第27頁，共161頁。（一）離散型隨機(jī)變量的分布第28頁，共161頁。

設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值,

它的分布律為則稱X服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布.記為（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布1.0-1分布第29頁，共161頁。實(shí)例200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那么,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從0-1分布.（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布1.0-1分布第30頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布2.二項(xiàng)分布第31頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布2.二項(xiàng)分布第32頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布2.二項(xiàng)分布第33頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布3.泊松分布第34頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布3.泊松分布定理2.1第35頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布3.泊松分布第36頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布4.幾何分布第37頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布4.幾何分布第38頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布5.超幾何分布第39頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布5.超幾何分布第40頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布5.超幾何分布第41頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布5.超幾何分布第42頁，共161頁。（二）幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布5.超幾何分布定理2.1第43頁，共161頁。2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布（一）概率密度（二）幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布第44頁，共161頁。二、概率密度的概念與性質(zhì)一、連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第45頁，共161頁。一、連續(xù)型隨機(jī)變量實(shí)例2

隨機(jī)變量X為“測量某零件尺寸時的測量誤差”.則X的取值范圍為

(a,b).實(shí)例1

隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.定義隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為第46頁，共161頁。二、概率密度的概念與性質(zhì)1.定義1第47頁，共161頁。證明性質(zhì)證明第48頁，共161頁。同時得以下計算公式第49頁，共161頁。注意

對于任意可能值a,連續(xù)型隨機(jī)變量取

a的概率等于零.即證明由此可得連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)第50頁，共161頁。若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，{X=a}是不可能事件，則有若X為離散型隨機(jī)變量,注意連續(xù)型離散型第51頁，共161頁。解例1第52頁，共161頁。第53頁，共161頁。第54頁，共161頁。第55頁，共161頁。例2第56頁，共161頁。故有解(1)因?yàn)閄是連續(xù)型隨機(jī)變量,第57頁，共161頁。第58頁，共161頁。第59頁，共161頁。常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布第60頁，共161頁。1.均勻分布概率密度函數(shù)圖形第61頁，共161頁。均勻分布的意義第62頁，共161頁。分布函數(shù)第63頁，共161頁。解由題意,R的概率密度為故有

設(shè)電阻值

R是一個隨機(jī)變量，均勻分布在

~1100

.求R的概率密度及R落在950~1050

的概率．例1第64頁，共161頁。

設(shè)隨機(jī)變量

X在[2,5]上服從均勻分布,現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測,試求至少有兩次觀測值大于3的概率.X

的分布密度函數(shù)為設(shè)A表示“對X的觀測值大于3的次數(shù)”,解即A={X>3}.例2第65頁，共161頁。因而有設(shè)Y表示3次獨(dú)立觀測中觀測值大于3的次數(shù),則第66頁，共161頁。2.指數(shù)分布定義第67頁，共161頁。

某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線電元件的壽命、電力設(shè)備的壽命、動物的壽命等都服從指數(shù)分布.應(yīng)用與背景分布函數(shù)第68頁，共161頁。

設(shè)某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為θ=2000的指數(shù)分布(單位:小時).(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時以上的概率.(2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000小時以上,求還能使用1000小時以上的概率.

X

的分布函數(shù)為解例3第69頁，共161頁。第70頁，共161頁。指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性”.第71頁，共161頁。3.正態(tài)分布(或高斯分布)定義第72頁，共161頁。正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征第73頁，共161頁。第74頁，共161頁。第75頁，共161頁。正態(tài)分布的分布函數(shù)第76頁，共161頁。

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景第77頁，共161頁。正態(tài)分布下的概率計算原函數(shù)不是初等函數(shù)方法一:利用MATLAB軟件包計算方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計算第78頁，共161頁。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為第79頁，共161頁。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形第80頁，共161頁。解例4

第81頁，共161頁。證明第82頁，共161頁。解例5第83頁，共161頁。第84頁，共161頁。例6證明第85頁，共161頁。(1)

所求概率為解例7第86頁，共161頁。第87頁，共161頁。常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布均勻分布正態(tài)分布(或高斯分布)指數(shù)分布

正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景,例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等,正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、質(zhì)量、高度,炮彈的彈落點(diǎn)的分布等,都服從或近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布是概率論中最重要的分布第88頁，共161頁。

正態(tài)分布是自然界和社會現(xiàn)象中最為常見的一種分布,一個變量如果受到大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響,那么這個變量一般是一個正態(tài)隨機(jī)變量.

另一方面,有些分布(如二項(xiàng)分布、泊松分布)的極限分布是正態(tài)分布.所以,無論在實(shí)踐中,還是在理論上,正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布.第89頁，共161頁。二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換第90頁，共161頁。2.4二維隨機(jī)變量（一）聯(lián)合分布和邊緣分布（二）隨機(jī)變量的獨(dú)立性（三）二維隨機(jī)變量的條件分布第91頁，共161頁。1、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律2、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布3、邊緣分布函數(shù)（一）聯(lián)合分布和邊緣分布第92頁，共161頁。1、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律第93頁，共161頁。第94頁，共161頁。因此得離散型隨機(jī)變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為第95頁，共161頁。例1

已知下列分布律求其邊緣分布律.第96頁，共161頁。注意聯(lián)合分布邊緣分布解第97頁，共161頁。解例2樣本點(diǎn)第98頁，共161頁。第99頁，共161頁。2、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布第100頁，共161頁。同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.第101頁，共161頁。解例3第102頁，共161頁。第103頁，共161頁。第104頁，共161頁。例4第105頁，共161頁。解由于第106頁，共161頁。則有即二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,同理可得第107頁，共161頁。因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.第108頁，共161頁。3、邊緣分布函數(shù)第109頁，共161頁。為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù).

第110頁，共161頁。（二）相互獨(dú)立的隨機(jī)變量第111頁，共161頁。1.定義第112頁，共161頁。2.說明(1)若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為第113頁，共161頁。第114頁，共161頁。解例1第115頁，共161頁。(1)由分布律的性質(zhì)知第116頁，共161頁。特別有(2)因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以有第117頁，共161頁。解由于X與Y相互獨(dú)立,例2第118頁，共161頁。第119頁，共161頁。因?yàn)?/p>

X與Y相互獨(dú)立,解所以求隨機(jī)變量(X,Y)

的分布律.設(shè)兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量

X與Y的分布律為例3第120頁，共161頁。第121頁，共161頁。例4

一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時間均勻分布在8-12時,他的秘書到達(dá)辦公室的時間均勻分布在7-9時,設(shè)他們兩人到達(dá)的時間相互獨(dú)立,求他們到達(dá)辦公室的時間相差不超過5

分鐘的概率.解第122頁，共161頁。第123頁，共161頁。于是第124頁，共161頁。1、離散型隨機(jī)變量的條件分布2、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布（三）二維隨機(jī)變量的條件分布第125頁，共161頁。1、離散型隨機(jī)變量的條件分布定義第126頁，共161頁。例1第127頁，共161頁。第128頁，共161頁。解由上述分布律的表格可得第129頁，共161頁。第130頁，共161頁。例2

一射手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),射擊到擊中目標(biāo)兩次為止.設(shè)以X

表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布律及條件分布律.解第131頁，共161頁。現(xiàn)在求條件分布律．由于第132頁，共161頁。第133頁，共161頁。定義2、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布第1