今年甘肅高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的圖像是（）

A.折線

B.直線

C.圓

D.雙曲線

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={1},則a的值為（）

A.1

B.-1

C.1或-1

D.0

3.“x>1”是“x^2>x”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.已知等差數(shù)列{a_n}中,a_1=2,a_4=6,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）

A.a_n=2n

B.a_n=n+1

C.a_n=3n-1

D.a_n=4n-2

5.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

6.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，則兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

7.已知直線l:y=kx+b與圓C:x^2+y^2=1相交于兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A.k∈R

B.k∈(-1,1)

C.k∈[-1,1]

D.k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)

8.已知函數(shù)f(x)=e^x-x,則f(x)在區(qū)間(-∞,0)上（）

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.先增后減

D.先減后增

9.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a^2+b^2=c^2，則cosC的值為（）

A.1/2

B.1

C.-1/2

D.0

10.已知點(diǎn)P(x,y)在圓x^2+y^2=4上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線x+y=2的距離的最大值為（）

A.2

B.√2

C.4

D.2√2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x^2+1

D.f(x)=|x|

2.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_2=6,a_4=54，則該數(shù)列的公比q和首項(xiàng)a_1分別為（）

A.q=3,a_1=2

B.q=-3,a_1=-2

C.q=3,a_1=-2

D.q=-3,a_1=2

3.下列命題中，正確的有（）

A.若x^2=1，則x=1

B.若x^2>1，則x>1

C.若a>b，則a^2>b^2

D.若a>b，則√a>√b（a,b>0）

4.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的極值點(diǎn)有（）

A.x=-2

B.x=-1

C.x=1

D.x=2

5.在直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法正確的有（）

A.過(guò)點(diǎn)(1,1)且與直線y=x垂直的直線方程為x+y=2

B.圓x^2+y^2=1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.直線y=kx+b與圓x^2+y^2=r相切的條件是k^2r=b^2+r^2

D.點(diǎn)P(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離為|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x-1，則f(log_23)的值為_(kāi)______。

2.在等差數(shù)列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，則該數(shù)列的公差d為_(kāi)______。

3.若α是第二象限角，且sinα=-3/5，則cosα的值為_(kāi)______。

4.不等式|x-1|<2的解集為_(kāi)______。

5.已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，則線段AB的長(zhǎng)度為_(kāi)______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-8=0。

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，c=5，求角B的正弦值sinB。

3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

4.計(jì)算：lim(x→0)(sinx-x)/x^3。

5.已知直線l1:y=2x+1和直線l2:y=-x+3，求這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

2.C

3.A

4.A

5.B

6.A

7.B

8.B

9.B

10.D

解答過(guò)程：

1.f(x)=|x-1|+|x+1|可以分段討論：

當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x

當(dāng)-1≤x<1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2

當(dāng)x<-1時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x

圖像是兩段直線在(-1,2)和(1,2)處連接，故為直線。

2.A∩B={1}，即滿足x^2-3x+2=0且ax=1的x值為1。

由x^2-3x+2=0得x=1或x=2。

若x=1，代入ax=1得a*1=1，即a=1。

若x=2，代入ax=1得a*2=1，即a=1/2。

但A∩B={1}，說(shuō)明x=1是唯一解，所以a不能為1/2。

故a=1。

3.“x>1”?“x^2>x”因?yàn)閤>1時(shí)，x^2=x*x>x*1=x。

反之，“x^2>x”?“x>1”因?yàn)閤^2>x等價(jià)于x(x-1)>0，解得x<0或x>1。

所以“x>1”是“x^2>x”的充分不必要條件。

4.a_4=a_1+3d=6。

a_1=2。

代入得2+3d=6，解得d=4/3。

a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)*(4/3)=2+4n/3-4/3=4n/3-2/3。

化簡(jiǎn)得a_n=(4/3)n-2/3。

驗(yàn)證選項(xiàng)：A.a_n=2n。n=1,a_1=2;n=4,a_4=8≠6。錯(cuò)誤。

B.a_n=n+1。n=1,a_1=2;n=4,a_4=5≠6。錯(cuò)誤。

C.a_n=3n-1。n=1,a_1=2;n=4,a_4=11≠6。錯(cuò)誤。

D.a_n=4n-2。n=1,a_1=4*1-2=2;n=4,a_4=4*4-2=14≠6。錯(cuò)誤。

重新計(jì)算通項(xiàng)：a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)*(4/3)=(4n/3)-(4/3)+2=(4n/3)+(6/3)-(4/3)=(4n+2)/3=2n-2/3。選項(xiàng)有誤，應(yīng)為(4n-2)/3。若按選項(xiàng)格式，最接近的是D結(jié)構(gòu)，但計(jì)算錯(cuò)誤。按給定選項(xiàng)，均不符合。假設(shè)題目或選項(xiàng)有印刷錯(cuò)誤，若必須選，D是最接近結(jié)構(gòu)。

*修正思路*：檢查題目數(shù)據(jù)或期望答案。若題目數(shù)據(jù)a_4=6無(wú)誤，則通項(xiàng)應(yīng)為(4n-2)/3。選項(xiàng)均錯(cuò)?？赡苁浅鲱}錯(cuò)誤。若必須從選項(xiàng)選，D(4n-2)形式最接近，但計(jì)算結(jié)果不符。此題按標(biāo)準(zhǔn)答案選D存在明顯問(wèn)題。若理解為考察等差數(shù)列基本公式應(yīng)用，a_n=a_1+(n-1)d，d=a_4-a_1=4。a_n=2+4(n-1)=4n-2。選項(xiàng)D形式正確。若必須嚴(yán)格按結(jié)果選，(4n-2)/3=2n-2/3。選項(xiàng)無(wú)對(duì)應(yīng)。此處按D形式最可能意圖。

5.f(x)=sin(x)+cos(x)=√2*(sin(x)cos(π/4)+cos(x)sin(π/4))=√2*sin(x+π/4)。

最小正周期T滿足f(x+T)=f(x)，即√2*sin((x+T)+π/4)=√2*sin(x+π/4)。

sin函數(shù)周期為2π，故2π是函數(shù)的周期。

T=2π。

6.兩個(gè)六面骰子，總共有6*6=36種等可能的結(jié)果。

點(diǎn)數(shù)之和為7的組合有：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)。共6種。

概率=6/36=1/6。

7.圓心(0,0)，半徑r=1。

直線y=kx+b與圓相交，代入得x^2+(kx+b)^2=1。

x^2+k^2x^2+2bkx+b^2=1。

(1+k^2)x^2+2bkx+(b^2-1)=0。

此為關(guān)于x的一元二次方程，有實(shí)數(shù)解需判別式Δ≥0。

Δ=(2bk)^2-4(1+k^2)(b^2-1)=4b^2k^2-4(b^2-1)(1+k^2)。

Δ=4b^2k^2-4(b^2+b^2k^2-1-k^2)=4b^2k^2-4b^2-4b^2k^2+4+4k^2=4(1-b^2+k^2)。

需要4(1-b^2+k^2)≥0，即1-b^2+k^2≥0。

k^2-b^2≥-1。

k^2≥b^2-1。

因?yàn)閗^2≥0，所以b^2-1≤k^2。

即|k|≥|b|/√2。

選項(xiàng)A:k∈R。所有實(shí)數(shù)k都滿足，因?yàn)閨k|總是存在的。

選項(xiàng)B:k∈(-1,1)。k=1時(shí)，b^2-1≤1?b^2≤2?|b|≤√2。滿足。

k=-1時(shí)，1≤b^2-1?b^2≥2?|b|≥√2。不滿足。

所以k∈(-1,1)不總是成立。

選項(xiàng)C:k∈[-1,1]。同上，k=1和k=-1時(shí)不滿足。

選項(xiàng)D:k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。k>1時(shí)，b^2-1≤k^2總成立。

k<-1時(shí)，b^2-1≤k^2總成立。

所以k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)滿足。

最小的k范圍是k∈R。

但題目問(wèn)的是“相交”，即Δ>0。

Δ=4(1-b^2+k^2)>0?1-b^2+k^2>0?k^2>b^2-1。

這與k^2≥b^2-1是不同的。k^2>b^2-1意味著|k|>|b|/√2。

這比k^2≥b^2-1更嚴(yán)格，即k范圍更小。

如果題目是相交，則k范圍比R小。

如果題目是相切，則k^2=b^2-1，即|k|=|b|/√2。

題目沒(méi)有明確是相交還是相切，通常選擇題會(huì)考察最基本的情況或包含所有可能性的范圍。

如果理解為相交（包含相切），則k范圍是k^2≥b^2-1，即|k|≥|b|/√2。

這與k∈R不完全匹配。

如果理解為相切，則|k|=|b|/√2。

選項(xiàng)B是k=1時(shí)b≤√2，k=-1時(shí)b≥√2。不滿足。

選項(xiàng)D是k>1或k<-1。不滿足。

選項(xiàng)C是k=1或k=-1。不滿足。

選項(xiàng)A是k屬于所有實(shí)數(shù)。這包含所有可能的k值（對(duì)于任意b）。

可能題目本意是考察相交，但選項(xiàng)設(shè)置有問(wèn)題，或者考察k^2≥b^2-1這個(gè)范圍，但選項(xiàng)沒(méi)有直接給出。

如果必須選一個(gè)最接近“包含所有可能k”的，且選項(xiàng)都不滿足嚴(yán)格相交條件，選項(xiàng)A是唯一一個(gè)范圍最廣的。

假設(shè)題目是考察相交，選項(xiàng)設(shè)置有誤，選擇A。

*修正思路*：題目要求“相交”，即Δ>0。k^2>b^2-1。即|k|>|b|/√2。選項(xiàng)中只有A滿足包含所有可能。B,C,D都不滿足|k|>|b|/√2這個(gè)條件（例如k=0時(shí)，|k|=0<|b|/√2）。所以選A。

8.f(x)=e^x-x。

f'(x)=e^x-1。

令f'(x)=0，得e^x-1=0?e^x=1?x=0。

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，e^x∈(0,1)，所以f'(x)=e^x-1<0。

因此，f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減。

9.a^2+b^2=c^2是勾股定理，說(shuō)明△ABC是直角三角形，且∠C為直角。

直角三角形中，sinC=對(duì)邊/斜邊=a/c。

cosC=鄰邊/斜邊=b/c。

題目問(wèn)cosC，但沒(méi)有指明是哪個(gè)鄰邊。

如果cosC=b/c，則選項(xiàng)D。

如果cosC=a/c，則選項(xiàng)C。

如果cosC=a/b，則選項(xiàng)D（因?yàn)閍/c=b/c時(shí)a=b，但a^2+b^2=c^2意味著a=b=c，不可能）。

題目未明確鄰邊，若默認(rèn)指與角C相對(duì)的邊為斜邊c，那么cosC=b/c。

所以cosC=4/5。

檢查選項(xiàng)：A.1/2。B.1。C.-1/2。D.0。

4/5不在選項(xiàng)中。題目或選項(xiàng)有誤。

假設(shè)題目意圖是考察勾股定理的應(yīng)用，cosC=b/c。

題目數(shù)據(jù)a=3,b=4,c=5，cosC=4/5。

選項(xiàng)中無(wú)4/5。若必須選，可能出題者想考察cosC的定義，即鄰邊比斜邊。

但選項(xiàng)均為特殊值，可能題目數(shù)據(jù)或選項(xiàng)印刷錯(cuò)誤。

若按cosC=b/c=4/5，選項(xiàng)無(wú)對(duì)應(yīng)。

若按cosC=a/c=3/5，選項(xiàng)無(wú)對(duì)應(yīng)。

若按cosC=1，則需a=b=c，不可能。

若按cosC=0，則需鄰邊為0，不可能。

若按cosC=1/2，則需b=1/2c，即4=1/2*5，不成立。

若按cosC=-1/2，則需b=-1/2c，即4=-1/2*5，不成立。

**此題存在嚴(yán)重問(wèn)題，無(wú)法根據(jù)給定答案選出正確選項(xiàng)。**

假設(shè)答案為D（0），則需cosC=0，即b=0，與b=4矛盾。

假設(shè)答案為C（-1/2），則需b=-10/2=-5，與b=4矛盾。

假設(shè)答案為B（1），則需a=b=c，與a=3,b=4矛盾。

假設(shè)答案為A（1/2），則需b=5/2，與b=4矛盾。

**結(jié)論：題目本身或答案設(shè)置有誤。**無(wú)法給出標(biāo)準(zhǔn)答案。

**強(qiáng)制選擇：**如果必須選一個(gè)，可能題目想考察cosC=b/c=4/5，但選項(xiàng)無(wú)對(duì)應(yīng)?；蛘呖疾靋osC=1（直角三角形），但需a=b=c。或者考察cosC=0（直角三角形），但需鄰邊為0。選項(xiàng)D(0)最不違反常識(shí)（cosC≠0），但與題設(shè)矛盾。如果非選一個(gè)，選D。

10.點(diǎn)P(x,y)在圓x^2+y^2=4上運(yùn)動(dòng)，即P的坐標(biāo)滿足x^2+y^2=4。

直線x+y=2的法向量為(1,1)。

點(diǎn)P到直線x+y=2的距離d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)。

A=1,B=1,C=-2。

d=|x+y-2|/√(1^2+1^2)=|x+y-2|/√2。

因?yàn)閤^2+y^2=4，所以y=±√(4-x^2)。

d=|x+±√(4-x^2)-2|/√2。

令g(x)=x+√(4-x^2)-2和h(x)=x-√(4-x^2)-2。

g'(x)=1-x/√(4-x^2)。令g'(x)=0?1=x/√(4-x^2)?√(4-x^2)=x?4-x^2=x^2?2x^2=4?x^2=2?x=±√2。

h'(x)=1+x/√(4-x^2)。令h'(x)=0?1=-x/√(4-x^2)?-√(4-x^2)=x?4-x^2=x^2?2x^2=4?x^2=2?x=±√2。

當(dāng)x=√2時(shí)，y=√(4-2)=√2。點(diǎn)(√2,√2)。

當(dāng)x=-√2時(shí)，y=-√(4-2)=-√2。點(diǎn)(-√2,-√2)。

d(√2,√2)=|√2+√2-2|/√2=|2√2-2|/√2=|2(√2-1)|/√2=2√2-2=√2(√2-1)=2-√2。

d(-√2,-√2)=|-√2-√2-2|/√2=|-2√2-2|/√2=|-2(√2+1)|/√2=2(√2+1)=√2(√2+1)=2+√2。

最大值為max(2+√2,2-√2)=2+√2。

最小值為min(2+√2,2-√2)=2-√2。

題目問(wèn)“最大值”，所以是2+√2。

選項(xiàng)A.2。B.√2。C.4。D.2√2。

2+√2≈2+1.414=3.414。

2<3.414。不選A。

√2≈1.414。不選B。

4>3.414。不選C。

2√2≈2*1.414=2.828。不選D。

選項(xiàng)均不正確。題目或選項(xiàng)有誤。

**假設(shè)答案為D(2√2)**：若最大值是2√2，則d(x,y)=2√2。

|x+y-2|/√2=2√2?|x+y-2|=4。

x+y-2=4或x+y-2=-4。

x+y=6或x+y=-2。

檢查是否可能：若x+y=6，代入x^2+y^2=4，(x+y)^2=36?x^2+y^2+2xy=36?4+2xy=36?2xy=32?xy=16。

檢查是否有實(shí)數(shù)解：x^2+y^2=4，xy=16。設(shè)x,y為方程t^2-(x+y)t+xy=0的根。

t^2-6t+16=0。Δ=36-64=-28<0。無(wú)實(shí)數(shù)解。

若x+y=-2，代入x^2+y^2=4，(x+y)^2=4?x^2+y^2+2xy=4?4+2xy=4?2xy=0?xy=0。

檢查是否有實(shí)數(shù)解：x^2+y^2=4，xy=0。設(shè)x,y為方程t^2-(x+y)t+xy=0的根。

t^2+2t+0=0?t(t+2)=0。根為t=0或t=-2。

若t=0，則x=0,y=-2。點(diǎn)(0,-2)。檢查：x+y=0-2=-2。滿足。點(diǎn)(0,-2)在圓上x(chóng)^2+y^2=0^2+(-2)^2=4。點(diǎn)(0,-2)到直線x+y=2的距離d=|0-2-2|/√2=|-4|/√2=4/√2=2√2。

若t=-2，則x=-2,y=0。點(diǎn)(-2,0)。檢查：x+y=-2+0=-2。滿足。點(diǎn)(-2,0)在圓上(-2)^2+0^2=4。點(diǎn)(-2,0)到直線x+y=2的距離d=|-2+0-2|/√2=|-4|/√2=4/√2=2√2。

所以存在點(diǎn)使得距離為2√2。因此最大值為2√2是可能的。

**強(qiáng)制選擇：**如果必須選一個(gè)，D(2√2)是唯一可能正確的選項(xiàng)，盡管題目問(wèn)的是“最大值”，但計(jì)算出的最大值是2+√2。選項(xiàng)D是2√2，可能是出題者筆誤，將最大值2+√2寫(xiě)成了2√2?；蛘哳}目本意就是考察這種情況，即存在點(diǎn)使得距離為2√2，而2√2本身是可能的極值。

**結(jié)論：**最大值是2+√2。選項(xiàng)D(2√2)可能是出題錯(cuò)誤，但2√2本身是可能的距離值。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B

2.A,B

3.D

4.B,C

5.A,B,D

解答過(guò)程：

1.奇函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x^3。f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。是奇函數(shù)。

B.f(x)=sin(x)。f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。是奇函數(shù)。

C.f(x)=x^2+1。f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1≠-(x^2+1)=-f(x)。不是奇函數(shù)。

D.f(x)=|x|。f(-x)=|-x|=|x|≠-|x|=-f(x)。不是奇函數(shù)。

答案：A,B。

2.a_4=a_1*q^3=54。a_2=a_1*q=6。

a_1*q^3/(a_1*q)=54/6?q^2=9?q=3或q=-3。

若q=3，a_1*3=6?a_1=2。

若q=-3，a_1*(-3)=6?a_1=-2。

情況1：a_1=2,q=3。a_n=2*3^(n-1)。

情況2：a_1=-2,q=-3。a_n=-2*(-3)^(n-1)=-2*(-1)^(n-1)*3^(n-1)。

兩種情況都符合a_2=6,a_4=54。

答案：A,B。

3.A.若x^2=1，則x=±1。不一定是x=1。錯(cuò)誤。

B.若x^2>1，則|x|>1，所以x>1或x<-1。不一定是x>1。錯(cuò)誤。

C.若a>b，則a^2>b^2僅在a,b均為正數(shù)時(shí)成立。例如a=2,b=-1，則a>b但a^2=4,b^2=1，a^2>b^2。錯(cuò)誤。

D.若a>b且a,b>0，則√a>√b。因?yàn)槠椒胶瘮?shù)y=x^2在(0,+∞)上單調(diào)遞增。正確。

答案：D。

4.f(x)=x^3-3x^2+2。

f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。

令f'(x)=0，得x=0或x=2。

f''(x)=6x-6。

f''(0)=6*0-6=-6<0，故x=0是極大值點(diǎn)。

f''(2)=6*2-6=6>0，故x=2是極小值點(diǎn)。

極值點(diǎn)為x=0和x=2。

答案：B,C。

5.A.過(guò)點(diǎn)(1,1)且與直線y=x垂直的直線斜率為-1。方程為y-1=-1(x-1)?y=-x+2。即x+y=2。正確。

B.圓x^2+y^2=1的圓心為(0,0)，半徑為1。它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。正確。

C.直線y=kx+b與圓x^2+y^2=r相切的條件是圓心到直線的距離等于半徑。

距離=|k*0+(-1)*b+0|/√(k^2+(-1)^2)=|b|/√(k^2+1)。

條件為|b|/√(k^2+1)=r。

化簡(jiǎn)得b^2=r^2(k^2+1)。

題目給出的條件是k^2r=b^2+r^2。即k^2r=b^2+r^2。

代入b^2=r^2(k^2+1)到k^2r=b^2+r^2中：

k^2r=r^2(k^2+1)+r^2=r^2k^2+r^2+r^2=r^2k^2+2r^2。

r^2k^2+2r^2=k^2r。

移項(xiàng)得r^2k^2-k^2r+2r^2=0。

r^2(k^2-k)+2r^2=0。

r^2(k^2-k+2)=0。

因?yàn)閞^2≥0，且k^2-k+2=(k-1/2)^2+7/4>0對(duì)所有實(shí)數(shù)k成立。

所以r^2(k^2-k+2)=0?r^2=0?r=0。

這意味著圓退化為一點(diǎn)，與題目r為半徑矛盾。

因此，題目給出的條件k^2r=b^2+r^2不等于相切條件b^2=r^2(k^2+1)。

題目條件是錯(cuò)誤的。

D.點(diǎn)P(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離公式為|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)。這是標(biāo)準(zhǔn)公式。正確。

答案：A,B,D。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.3

2.1

3.-4/5

4.(-1,3)

5.√10

解答過(guò)程：

1.f(log_23)=2^(log_23)-1=3-1=2。

2.a_5=a_1+4d=10。a_10=a_1+9d=25。

a_10-a_5=(a_1+9d)-(a_1+4d)=5d。

25-10=5d?15=5d?d=3。

3.sinα=-3/5。α為第二象限角，cosα<0。

cos^2α=1-sin^2α=1-(-3/5)^2=1-9/25=16/25。

cosα=-√(16/25)=-4/5。

4.|x-1|<2?-2<x-1<2。

加1得：-1<x<3。

解集為(-1,3)。

5.AB=√((3-1)^2+(0-2)^2)=√(2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-8=0。

2^(x+1)=8。

2^(x+1)=2^3。

x+1=3。

x=2。

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，c=5，求角B的正弦值sinB。

因?yàn)閍^2+b^2=c^2(3^2+4^2=9+16=25=5^2)，所以△ABC是直角三角形，且∠C為直角。

在直角三角形中，sinB=對(duì)邊/斜邊=a/c=3/5。

3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。

令f'(x)=0，得x=0或x=2。

需要比較f(x)在駐點(diǎn)x=0,x=2以及區(qū)間端點(diǎn)x=-1,x=3處的函數(shù)值。

f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2。

f(0)=0^3-3(0)^2+2=2。

f(2)=2^3-3(2)^2+2=8-12+2=-2。

f(3)=3^3-3(3)^2+2=27-27+2=2。

比較得：f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。

最大值為2，最小值為-2。

4.計(jì)算：lim(x→0)(sinx-x)/x^3。

這是一個(gè)“0/0”型極限，可以使用洛必達(dá)法則。

lim(x→0)(sinx-x)/x^3=lim(x→0)(cosx-1)/3x^2。

當(dāng)x→0時(shí)，分子cosx-1→0，分母3x^2→0，仍是“0/0”型。

再次使用洛必達(dá)法則：

lim(x→0)(cosx-1)/3x^2=