限積分題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=x$在區(qū)間$[0,1]$上的定積分是（）A.0B.1C.1/2D.22.$\int_{0}^{2}2xdx$的值為（）A.4B.2C.8D.13.定積分的幾何意義是（）A.函數(shù)值的和B.函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成圖形面積的代數(shù)和C.函數(shù)的平均值D.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4.$\int_{-1}^{1}x^3dx$等于（）A.1B.0C.-1D.25.若$\int_{a}^f(x)dx=3$，$\int_{a}^g(x)dx=2$，則$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx$等于（）A.5B.1C.6D.36.函數(shù)$y=\sinx$在$[0,\pi]$上的定積分是（）A.0B.2C.-2D.17.$\int_{0}^{1}e^xdx$的值為（）A.$e$B.$e-1$C.1D.$e+1$8.定積分$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$等于（）A.$\ln2$B.$\ln2-1$C.$\ln3$D.$\ln2+1$9.已知$f(x)$在$[a,b]$上可積，且$\int_{a}^f(x)dx=0$，則（）A.$f(x)=0$B.在$[a,b]$上至少有一點(diǎn)$c$使得$f(c)=0$C.$f(x)$恒大于0D.$f(x)$恒小于010.若$F^\prime(x)=f(x)$，則$\int_{a}^f(x)dx$等于（）A.$F(a)-F(b)$B.$F(b)-F(a)$C.$F^\prime(b)-F^\prime(a)$D.$f(b)-f(a)$答案：1.C2.A3.B4.B5.A6.B7.B8.A9.B10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是計(jì)算定積分的方法（）A.牛頓-萊布尼茨公式B.換元積分法C.分部積分法D.定義法2.定積分的性質(zhì)有（）A.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int_{a}^[f(x)\pmg(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx\pm\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx$（$a<c<b$）3.下列函數(shù)在給定區(qū)間上可積的有（）A.$y=x$在$[0,1]$B.$y=\frac{1}{x}$在$(0,1]$C.$y=\sqrt{x}$在$[0,1]$D.$y=\sinx$在$[0,\pi]$4.關(guān)于定積分與不定積分的關(guān)系，正確的是（）A.不定積分是一族函數(shù)，定積分是一個(gè)數(shù)值B.若$F(x)$是$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)，則$\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$C.定積分計(jì)算要用到不定積分的結(jié)果D.它們沒有任何聯(lián)系5.以下能用來估計(jì)定積分值的有（）A.積分中值定理B.函數(shù)的單調(diào)性C.函數(shù)的奇偶性D.函數(shù)的周期性6.若$f(x)$是偶函數(shù)，且$\int_{-a}^{a}f(x)dx=8$，則（）A.$\int_{0}^{a}f(x)dx=4$B.$\int_{-a}^{0}f(x)dx=4$C.$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$D.$f(x)$關(guān)于$y$軸對稱7.下列積分值為0的有（）A.$\int_{-1}^{1}x^5dx$B.$\int_{-1}^{1}\cosxdx$C.$\int_{-1}^{1}x\sinxdx$D.$\int_{-1}^{1}x\cosxdx$8.定積分在幾何中的應(yīng)用有（）A.求平面圖形的面積B.求旋轉(zhuǎn)體的體積C.求曲線的弧長D.求物體的質(zhì)量9.計(jì)算定積分$\int_{0}^{2}|x-1|dx$，正確的步驟有（）A.當(dāng)$0\leqx\leq1$時(shí)，$|x-1|=1-x$B.當(dāng)$1<x\leq2$時(shí)，$|x-1|=x-1$C.$\int_{0}^{2}|x-1|dx=\int_{0}^{1}(1-x)dx+\int_{1}^{2}(x-1)dx$D.計(jì)算結(jié)果為110.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，則（）A.積分上限函數(shù)$\Phi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$在$[a,b]$上可導(dǎo)B.$\Phi^\prime(x)=f(x)$C.存在$\xi\in[a,b]$，使得$\int_{a}^f(x)dx=f(\xi)(b-a)$D.$f(x)$在$[a,b]$上有最大值和最小值答案：1.ABCD2.ABCD3.ACD4.ABC5.AB6.ABCD7.AD8.ABC9.ABCD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號(hào)無關(guān)。（）2.若$f(x)$在$[a,b]$上不可積，則一定不存在原函數(shù)。（）3.函數(shù)$y=x^2$在$[-1,1]$上的定積分等于0。（）4.$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^f(t)dt$。（）5.若$f(x)$在$[a,b]$上的定積分大于0，則$f(x)$在$[a,b]$上恒大于0。（）6.定積分$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx$的值為$\frac{\pi}{4}$。（）7.利用換元積分法計(jì)算定積分時(shí)，積分限不需要改變。（）8.若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，且$F^\prime(x)=f(x)$，則$\int_{a}^f(x)dx=F(x)\big|_{a}^$。（）9.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在$[-1,1]$上的定積分不存在。（）10.積分中值定理表明，在積分區(qū)間$[a,b]$上至少存在一點(diǎn)$\xi$，使得$\int_{a}^f(x)dx=f(\xi)(b-a)$。（）答案：1.√2.×3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述牛頓-萊布尼茨公式。答案：若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且$F(x)$是$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)，則$\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$。2.用定積分求由$y=x^2$，$y=0$，$x=1$所圍成圖形的面積。答案：該圖形面積$S=\int_{0}^{1}x^2dx$，由積分公式得$S=\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}$。3.簡述定積分換元積分法的要點(diǎn)。答案：設(shè)$x=\varphi(t)$滿足一定條件，將$\int_{a}^f(x)dx$化為$\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)dt$，注意換元同時(shí)積分限要相應(yīng)改變。4.說明定積分與面積的關(guān)系。答案：當(dāng)函數(shù)$f(x)\geq0$時(shí)，定積分$\int_{a}^f(x)dx$等于函數(shù)圖像與$x$軸、$x=a$、$x=b$圍成圖形的面積；當(dāng)$f(x)$有正有負(fù)時(shí)，定積分是所圍圖形面積的代數(shù)和。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論定積分在物理中的應(yīng)用，舉例說明。答案：定積分在物理中應(yīng)用廣泛。如求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，速度函數(shù)$v(t)$，路程$s=\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt$；求變力做功，力函數(shù)$F(x)$，做功$W=\int_{x_1}^{x_2}F(x)dx$。2.探討如何利用函數(shù)的奇偶性簡化定積分計(jì)算。答案：若$f(x)$是偶函數(shù)，$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$；若$f(x)$是奇函數(shù)，$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。利用此性質(zhì)可簡化計(jì)算，如求$\int_{-1}^{1}x^3\sin^2xdx$，因是奇函數(shù)，積分值為0。3.分析定積分與不定積分在概念和計(jì)算上的