3.1.3概率的基本性質(zhì)1．了解事件間的包含關(guān)系和相等關(guān)系．2．理解互斥事件和對(duì)立事件的概念及關(guān)系．(重點(diǎn)、易錯(cuò)易混點(diǎn))3．了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1事件的關(guān)系與運(yùn)算閱讀教材P119～P120“探究”以上的部分，完成下列問題．定義表示法圖示事件的關(guān)系包含關(guān)系一般地，對(duì)于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)事件互斥若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥，即事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生若A∩B＝?，則A與B互斥事件對(duì)立若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件若A∩B＝?，且A∪B＝U，則A與B對(duì)立事件的運(yùn)算并事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)同時(shí)拋擲兩枚硬幣，向上面都是正面為事件M，向上面至少有一枚是正面為事件N，則有()A．M?N B．M?NC．M＝N D．M＜N【解析】事件N包含兩種結(jié)果：向上面都是正面或向上面是一正一反．則當(dāng)M發(fā)生時(shí)，事件N一定發(fā)生，則有M?N.故選A.【答案】A教材整理2概率的性質(zhì)閱讀教材P120“探究”以下的部分，完成下列問題．1．概率的取值范圍為[0,1]．2．必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0.3．概率加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特例：若A與B為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)，P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.4．概率的加法公式的含義(1)使用條件：A，B互斥．(2)推廣：若事件A1，A2，…，An彼此互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)在求某些復(fù)雜的事件的概率時(shí)，可將其分解為一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)互斥事件一定對(duì)立．()(2)對(duì)立事件一定互斥．()(3)互斥事件不一定對(duì)立．()(4)事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率．()(5)事件A與B互斥，則有P(A)＝1－P(B)．()(6)若P(A)＋P(B)＝1，則事件A與事件B一定是對(duì)立事件．()【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)×2．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，則P(A∪B)等于()A．0.3 B．0.2C．0.1 D．不確定【解析】由于不能確定A與B互斥，則P(A∪B)的值不能確定．【答案】D3．一商店有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)中有一等獎(jiǎng)與二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，其中中一等獎(jiǎng)的概率為0.1，中二等獎(jiǎng)的概率為0.25，則不中獎(jiǎng)的概率為________．【解析】中獎(jiǎng)的概率為0.1＋0.25＝0.35，中獎(jiǎng)與不中獎(jiǎng)互為對(duì)立事件，所以不中獎(jiǎng)的概率為1－0.35＝0.65.【答案】0.65[小組合作型]互斥事件與對(duì)立事件的判定(1)抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對(duì)立事件為()A．至多兩件次品 B．至多一件次品C．至多兩件正品 D．至少兩件正品(2)把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A．對(duì)立事件 B．不可能事件C．互斥但不對(duì)立事件 D．以上答案都不對(duì)【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)互斥事件及對(duì)立事件的定義判斷．【嘗試解答】(1)“至少有兩件次品”的否定是“至多有一件次品”，故選B.(2)“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但分得紅牌的還可能是丙或丁，所以不是對(duì)立事件．故選C.【答案】(1)B(2)C判斷互斥事件和對(duì)立事件時(shí)，主要用定義來判斷.當(dāng)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生時(shí)，這兩個(gè)事件是互斥事件；當(dāng)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生時(shí)，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件.[再練一題]1．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件：(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”與“全是男生”；(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；(4)“至少有一名男生”與“至少有一名女生”．【解】從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結(jié)果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，與“恰有2名男生”不能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件；但是當(dāng)選取的結(jié)果是2名女生時(shí)，該兩事件都不發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事件．(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結(jié)果，與事件“全是男生”可能同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．(3)“至少1名男生”與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥，由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事件．(4)“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結(jié)果，當(dāng)選出的是1男1女時(shí)，“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．事件的運(yùn)算在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，B＝{出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)}，C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}．(1)說明以上4個(gè)事件的關(guān)系；(2)求兩兩運(yùn)算的結(jié)果．【精彩點(diǎn)撥】解答時(shí)抓住運(yùn)算定義．【嘗試解答】在投擲骰子的試驗(yàn)中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本事件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A與事件B互斥，但不對(duì)立，事件A包含于事件C，事件A與D互斥，但不對(duì)立；事件B與C不是互斥事件，也不對(duì)立；事件B與D不是對(duì)立事件，也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件．(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?.A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或5}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或2或4或6}．B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3}，B∩D＝A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4或5}．B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2或3或4或6}．C∩D＝?，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6}．事件間運(yùn)算方法：1利用事件間運(yùn)算的定義.列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.2利用Venn圖，借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算.[再練一題]2．?dāng)S一枚骰子，下列事件：A＝{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}，B＝{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}，C＝{點(diǎn)數(shù)小于3}，D＝{點(diǎn)數(shù)大于2}，E＝{點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)記eq\x\to(H)是事件H的對(duì)立事件，求eq\x\to(D)，eq\x\to(A)C，eq\x\to(B)∪C，eq\x\to(D)＋eq\x\to(E).【解】(1)A∩B＝?，BC＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}．(2)A∪B＝{出現(xiàn)1,2,3,4,5或6點(diǎn)}，B＋C＝{出現(xiàn)1,2,4或6點(diǎn)}．(3)eq\x\to(D)＝{點(diǎn)數(shù)小于或等于2}＝{出現(xiàn)1或2點(diǎn)}；eq\x\to(A)C＝BC＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}；eq\x\to(B)∪C＝A∪C＝{出現(xiàn)1,2,3或5點(diǎn)}；eq\x\to(D)＋eq\x\to(E)＝{出現(xiàn)1,2,4或5點(diǎn)}．[探究共研型]互斥事件和對(duì)立事件的關(guān)系探究1在一次試驗(yàn)中，對(duì)立的兩個(gè)事件會(huì)都不發(fā)生嗎？【提示】在一次試驗(yàn)中，事件A和它的對(duì)立事件只能發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一，不可能兩個(gè)都不發(fā)生．探究2互斥事件和對(duì)立事件有何區(qū)別和聯(lián)系？【提示】(1)對(duì)立事件一般是針對(duì)兩個(gè)事件來說的，一般兩個(gè)事件對(duì)立，則這兩個(gè)事件是互斥事件；反之，若兩個(gè)事件是互斥事件，則這兩個(gè)事件未必是對(duì)立事件．(2)對(duì)立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是對(duì)立事件，則A與B互斥，而且A∪B是必然事件．某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)不夠7環(huán)的概率．【精彩點(diǎn)撥】先設(shè)出事件，判斷是否互斥或?qū)α?，然后再使用概率公式求解．【嘗試解答】(1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時(shí)發(fā)生，故A與B是互斥事件．“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況：射中6環(huán)，5環(huán)，4環(huán)，3環(huán)，2環(huán)，1環(huán)，0環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接求解，可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面大于等于7環(huán)，即7環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)，由于此兩事件必有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)不發(fā)生，故是對(duì)立事件，可用對(duì)立事件的方法處理．設(shè)“不夠7環(huán)”為事件E，則事件eq\x\to(E)為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”，由(1)可知“射中7環(huán)”、“射中8環(huán)”等彼此是互斥事件，所以P(eq\x\to(E))＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，從而P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－0.97＝0.03.所以不夠7環(huán)的概率是0.03.1．對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí)，原事件的概率等于這些事件概率的和．并且互斥事件的概率加法公式可以推廣為：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．其使用的前提條件仍然是A1，A2，…，An彼此互斥．故解決此類題目的關(guān)鍵在于分解事件及確立事件是否互斥．2．“正難則反”是解決問題的一種很好的方法，應(yīng)注意掌握，如本例中的第(2)問，直接求解比較麻煩，則可考慮求其對(duì)立事件的概率，再轉(zhuǎn)化為所求．[再練一題]3．甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩窘狻?1)“甲獲勝”和“和棋或乙獲勝”是對(duì)立事件，所以“甲獲勝”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).(2)法一：設(shè)事件A為“甲不輸”，可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個(gè)互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).法二：設(shè)事件A為“甲不輸”，可看成是“乙獲勝”的對(duì)立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).1．如果事件A，B互斥，記eq\o(A,\s\up8(－))，eq\o(B,\s\up8(－))分別為事件A，B的對(duì)立事件，那么()A．A∪B是必然事件B.eq\o(A,\s\up8(－))∪eq\o(B,\s\up8(－))是必然事件C.eq\o(A,\s\up8(－))與eq\o(B,\s\up8(－))一定互斥D.eq\o(A,\s\up8(－))與eq\o(B,\s\up8(－))一定不互斥【解析】用集合的Venn圖解決此類問題較為直觀，如圖所示，eq\o(A,\s\up8(－))∪eq\o(B,\s\up8(－))是必然事件．【答案】B2．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝{三件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{三件產(chǎn)品全是次品}，C＝{三件產(chǎn)品至少有一件是次品}，則下列結(jié)論正確的是()A．A與C互斥 B．任何兩個(gè)均互斥C．B與C互斥 D．任何兩個(gè)均不互斥【解析】∵從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品包含4個(gè)基本事件．D1＝{沒有次品}，D2＝{1件次品}，D3＝{2件次品}，D4＝{3件次品}，∴A＝D1，B＝D4，C＝D2∪D3∪D4，故A與C互斥，A與B互斥，B與C不互斥．【答案】A3．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙兩人下成和棋的概率為()A．60% B．30%C．10% D．50%【解析】甲不輸棋包含甲獲勝或甲、乙兩人下成和棋，則甲、乙兩人下成和棋的概率為90%－40%＝50%.【答案】D4．從4名男生和2名女生中任選3人去參加演講比賽，所選3人中至少有1名女生的概率為eq\f(4,5)，那么所選3人中都是男生的概率為________.【解析】設(shè)A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都為男生}，則A，B為對(duì)立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝eq\f(1,5).【答案】eq\f(1,5)5．盒子里裝有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取3個(gè)球．設(shè)事件A表示“3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球”，事件B表示“3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球”．已知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,2)，求“3個(gè)球中既有紅球又有白球”的概率．【解】記事件C為“3個(gè)球中既有紅球又有白球”，則它包含事件A“3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球”和事件B“3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球”，而且事件A與事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,5).學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十七)概率的基本性質(zhì)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．若A，B是互斥事件，則()A．P(A∪B)＜1 B．P(A∪B)＝1C．P(A∪B)＞1 D．P(A∪B)≤1【解析】∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1.(當(dāng)A，B對(duì)立時(shí)，P(A∪B)＝1)【答案】D2．對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一炮彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一炮彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是()A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D【解析】“恰有一炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一炮彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一炮彈擊中，一種是兩炮彈都擊中，∴A∪B≠B∪D.【答案】D3．從1,2,3，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述事件中，是對(duì)立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③【解析】從1～9中任取兩數(shù)，有以下三種情況：(1)兩個(gè)均為奇數(shù)；(2)兩個(gè)均為偶數(shù)；(3)一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，故選C.【答案】C4．某城市2016年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染．該城市2016年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,19) D.eq\f(5,9)【解析】所求概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).故選A.【答案】A5．對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測(cè)，如圖3-1-2為檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間[20,25)上的為一等品，在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35)上的為三等品．用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則其為二等品的概率為()圖3-1-2A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45【解析】由題圖可知抽得一等品的概率為0.3，抽得三等品的概率為0.25，則抽得二等品的概率為1－0.3－0.25＝0.45.【答案】D二、填空題6．在擲骰子的游戲中，向上的數(shù)字為5或6的概率為________．【解析】記事件A為“向上的數(shù)字為5”，事件B為“向上的數(shù)字為6”，則A與B互斥．所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)×2＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)7．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________.【解析】連續(xù)射擊兩次有以下四種情況：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，兩次都中和兩次都不中．故“至少一次中靶”的互斥事件為“兩次都不中靶”．【答案】“兩次都不中靶”8．同時(shí)拋擲兩枚骰子，既不出現(xiàn)5點(diǎn)也不出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為eq\f(4,9)，則5點(diǎn)或6點(diǎn)至少出現(xiàn)一個(gè)的概率是________．【解析】記既沒有5點(diǎn)也沒有6點(diǎn)的事件為A，則P(A)＝eq\f(4,9)，5點(diǎn)或6點(diǎn)至少出現(xiàn)一個(gè)的事件為B.因?yàn)锳∩B＝?，A∪B為必然事件，所以A與B是對(duì)立事件，則P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).故5點(diǎn)或6點(diǎn)至少出現(xiàn)一個(gè)的概率為eq\f(5,9).【答案】eq\f(5,9)三、解答題9．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)的概率均為eq\f(1,6)，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事件B為“向上的數(shù)不超過3”，求P(A∪B)．【解】記事件“出現(xiàn)1點(diǎn)”，“出現(xiàn)2點(diǎn)”，“出現(xiàn)3點(diǎn)”，“出現(xiàn)5點(diǎn)”分別為A1，A2，A3，A4.這四個(gè)事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).[能力提升]1．從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么，互斥而不對(duì)立的事件是()A．至少有一個(gè)紅球與都是紅球B．至少有一個(gè)紅球與都是白球C．至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球D．恰有一個(gè)紅球與恰有兩個(gè)紅球【解析】A項(xiàng)中，若取出的3個(gè)球是3個(gè)紅球，則這