77.隱圓問(wèn)題的四大幾何特征一．基本原理1.對(duì)邊對(duì)角2.最大張角3.四邊形中的最值關(guān)系4.阿波羅尼斯圓與球二．典例分析★1.對(duì)邊對(duì)角背景下的隱圓例1.（2020年全國(guó)2卷）在中，（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，，.（2）（方法1.化邊+均值不等式）由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.（方法2：隱圓角度）[1]延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,則聯(lián)結(jié)，因?yàn)闉榈妊切危?。根?jù)，可知點(diǎn)在如圖所示的上運(yùn)動(dòng).顯然當(dāng)為直徑,即點(diǎn)位于點(diǎn)處時(shí),取到最大值,此時(shí)為直角三角形,,故周長(zhǎng)的最大值為.（方法3.化角+三角函數(shù)）略去.★2.最大張角背景下的隱圓米勒問(wèn)題：已知點(diǎn)是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)在何處時(shí)，使得最大？對(duì)米勒問(wèn)題有如下重要結(jié)論稱之為米勒定理.米勒定理1：已知點(diǎn)是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)，最大.圖1圖2證明：如上圖1，設(shè)P′是邊OM上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，連結(jié)P′A，P′B，P′A與圓交于點(diǎn)C連接CB，由三角形外角的性質(zhì)，可知.由圓周角定理：，因此，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)，最大.注：由上述證明過(guò)程可以看到，外角性質(zhì)與圓周角定理起到了關(guān)鍵性的作用，若我們將上述定理的中的動(dòng)點(diǎn)放在一個(gè)圓周上，利用2022南昌一模壓軸題，還可以得到如下結(jié)論.米勒定理2：若定點(diǎn)是圓內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，為圓上任意一動(dòng)點(diǎn)，則最大當(dāng)過(guò)三點(diǎn)的圓與圓相內(nèi)切.例2.（2022南昌一模）已知點(diǎn).點(diǎn)為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________.解析：如上圖2，設(shè)D是圓上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，連結(jié)DA與圓交于點(diǎn)E，連接EC，由三角形外角的性質(zhì)，可知，由圓周角定理：，因此，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與圓相切于點(diǎn)時(shí)，最大.此時(shí)，可設(shè)的外接圓圓心，由于此時(shí)三點(diǎn)共線且，而，則，解得：，于是，由正弦定理，則的最大值為.★3.四邊形中的最值關(guān)系后的隱圓若四邊形對(duì)角互補(bǔ)，或者，則四點(diǎn)共圓.例3．在平面四邊形ABCD中，，AD=3，BD=則CD的最小值為（） B． C． D．解析：如圖，可設(shè)，則，則由托勒密不等式可得：，代值可得：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓.例4．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)凸四邊形凸四邊形是指沒(méi)有角度大于的四邊形進(jìn)行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對(duì)邊的乘積之和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立．且若給定凸四邊形的四條邊長(zhǎng)，四點(diǎn)共圓時(shí)四邊形的面積最大．根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：如圖，在凸四邊形ABCD中，

（1）若圖，求線段BD長(zhǎng)度的最大值；（2）若圖，求四邊形ABCD面積取得最大值時(shí)角A的大小，并求出四邊形ABCD面積的最大值．解析：（1）設(shè)，則，由材料可知，，即，解得，所以線段BD長(zhǎng)度的最大值為．（2）由材料可知，當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)，四邊形ABCD的面積達(dá)到最大．連接BD，在中，由余弦定理，得①，在中，由余弦定理，得②

因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以，從而③，由①②③，解得，因?yàn)?，所以．從而，，所以．?.阿波羅尼斯圓與球（1）定義：已知平面上兩點(diǎn)，則所有滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以定比為內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為\t"/item/%E9%98%BF%E6%B0%8F%E5%9C%86/_blank"直徑的圓，圓的半徑為，圓心為.解析：設(shè)．因?yàn)榍矣蓛牲c(diǎn)間距離公式得，化簡(jiǎn)得．所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，且有圓與軸交于，則有，則由角平分線定理,可知是的內(nèi)角平分線.例5.中，，，則的面積最大值為_(kāi)______.解析：由，見(jiàn)系代入得．設(shè)圓心為，顯然當(dāng)軸時(shí)，面積最大，此時(shí)．所以．例6．如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)，（在的上方），且．（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________；（2）過(guò)點(diǎn)任意作一條直線與圓相交于，兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論①；②；③其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________________．解析：（1）依題意，設(shè)（為圓的半徑），因?yàn)樗?，所以圓心為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）在（1）的基礎(chǔ)上易得，于是，．所以．由阿波羅尼斯圓的定義知圓是以，為定點(diǎn)，且比值為的阿波羅尼斯圓故①成立；因?yàn)?，所以②成立；③成立．因此正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．（2）.阿氏圓的逆用.結(jié)論：已知圓上任意一點(diǎn)和坐標(biāo)軸上任意兩點(diǎn)，求形如的最值問(wèn)題，可逆用阿氏圓轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線最值計(jì)算.例7．已知圓是以點(diǎn)和點(diǎn)為直徑的圓，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．解析：由題設(shè)，知：且，即圓的半徑為4，∴圓：，如上圖，坐標(biāo)系中則，∴，即△△，故，（亦可逆用阿氏圓，其實(shí)就是阿氏圓的幾何推導(dǎo)）.∴，在△中，∴要使最大，共線且最大值為的長(zhǎng)度.∴.故選：A（3）．阿波羅尼斯球例8．已知平面上兩定點(diǎn)，，則所有滿足（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長(zhǎng)為3的正方體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．解析：在平面中，圖①中以B為原點(diǎn)以AB為軸建系如圖，設(shè)阿氏圓圓心,半徑為，，設(shè)圓O與AB交于M,由阿氏圓性質(zhì)知，，，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心半徑為2的球，若P在四邊形內(nèi)部時(shí)如圖②,截面圓與分別交于M，R，所以P在四邊形內(nèi)的軌跡為，在中，，所以，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為，同理，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為，當(dāng)P在面時(shí),如圖③所示，面，平面截球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，截面圓與分別交于，且，所以P在正方形內(nèi)的軌跡為，所以，綜上：P的軌跡長(zhǎng)度為.故選：C三．參考文獻(xiàn)[1].何波祿，朱成萬(wàn).定邊對(duì)定角，“圓”來(lái)如此.[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（教研）.2021.02.

1.利用圓的定義產(chǎn)生隱圓隱圓問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中難度較大的一個(gè)跨單元主題，它承接于初中的圓，融入了高中的平面向量，解三角形，解析幾何等內(nèi)容，綜合性很高，更是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一！從本節(jié)開(kāi)始，我們?cè)敿?xì)的討論一些常見(jiàn)的隱圓問(wèn)題，供大家參考使用.一．基本原理1.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.于是當(dāng)題目中涉及到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離問(wèn)題時(shí)，就可以聯(lián)想到圓.2.圓定義的衍生：一動(dòng)兩定點(diǎn)，且滿足：.解析：由于定值，設(shè)中點(diǎn)為，根據(jù)平面向量部分極化恒等式可得：，故動(dòng)點(diǎn)是以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓.解析：由于二．典例分析例如圓上存?zhèn)€點(diǎn)原的為則數(shù)與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍問(wèn)題，由兩圓相交的條件可知：.例2．已知點(diǎn)，圓，若圓上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A．－1 B．1 C．0 D．2解析：根據(jù)題意，點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓，設(shè)該圓為圓，圓，若圓上存在點(diǎn)使得，則圓與圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的取值范圍為0,4，故的最小值為0．故選：C．例3．若圓C：上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．解析：到原點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的軌跡為圓：，因此圓C：上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為，轉(zhuǎn)化為圓：與圓C：有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)閮蓤A的圓心和半徑分別為，，，，所以，故，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故A正確.故選：A例4．已知點(diǎn)，圓，若圓C上存在點(diǎn)P使得，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：由，則點(diǎn)P在圓上，又有點(diǎn)P在圓C上，所以圓A和圓C有公共點(diǎn)（P)，兩圓半徑分別為2、1，所以，所以.故選：A．例．已知，，若圓上存在點(diǎn)P滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：設(shè)點(diǎn)，則，，所以，所以P的軌跡方程為，圓心為，半徑為3．由此可知圓與有公共點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑為2，所以解得，即的取值范圍是．故選：A．例6．已知，，圓上存在點(diǎn)P，使得，則的最大值為（

）A． B． C．3 D．4解析：，，，若，則，即，即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，由條件可知，圓與圓有交點(diǎn)，則，解得：，所以的最大值為.故選：B例7．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且，．點(diǎn)P在正方形ABCD的邊AD或BC上運(yùn)動(dòng)，若，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．2 C．4 D．6解析：由上述分析可知，所以，共有4個(gè)點(diǎn)滿足條件.故選：C（凌晨講數(shù)學(xué)）例8．（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足.則（

）A．點(diǎn)P的軌跡方程為B．面積的最大值為2C．過(guò)點(diǎn)C與點(diǎn)P的軌跡相切的直線只有1條D．設(shè)的最小值為a，當(dāng)時(shí)，的最小值為解析：設(shè)，，即，故正確；因?yàn)橹本€過(guò)圓心，點(diǎn)到直線的最大距離為圓的半徑，此時(shí)的面積最大，的最大面積為，故正確；因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，所以切線有兩條，故錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，所以，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故正確.故選：.例9．已知點(diǎn)在的邊上，且，若，則的最大值為_(kāi)_________.解析：如圖所示，以CD的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，又由，所以，整理得，又由，?dāng)且僅當(dāng)向量與向量共線時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為．例10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓及點(diǎn).（1）若直線過(guò)點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線l的方程；（2）圓上是否存在點(diǎn)，使得成立？若存在，求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：（1）圓可化為，圓心為，若的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)符合要求.

當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的斜率為，則令，因?yàn)?，由垂徑定理可得，圓心到直線的距離，，所以直線的方程為或.（2）假設(shè)圓上存在點(diǎn)，設(shè)，則，，

即，即，，與相交，則點(diǎn)有兩個(gè).

盤(pán)點(diǎn)一類最常考的隱圓問(wèn)題一．基本原理1.上一節(jié)我們講到：一動(dòng)兩定點(diǎn)，且滿足：.由于定值，設(shè)中點(diǎn)為，根據(jù)平面向量部分極化恒等式可得：，故動(dòng)點(diǎn)是以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓.當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的圓上.即：一動(dòng)兩定點(diǎn)，外加一垂直，必有隱圓現(xiàn).2.原理的具體應(yīng)用（1）產(chǎn)生垂直的常見(jiàn)方式：（i）直接告訴垂直關(guān)系；（ii）垂直線系.與垂直的直線方程為的形式.（2）產(chǎn)生定點(diǎn)的常見(jiàn)方式：（i）定點(diǎn)線系；（ii）斜率和積產(chǎn)生定點(diǎn).二．典例分析已知點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)，，滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0解析：設(shè)點(diǎn)，則，且，由，得，即，故點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓心為，半徑為的圓，則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，有，所以兩圓相交，滿足這樣的點(diǎn)P有2個(gè).故選B.例2.已知點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．解析：由動(dòng)直線方程得，所以該直線過(guò)定點(diǎn)Q（1,3），所以動(dòng)點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，所以圓的半徑為圓心的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)N到圓心的距離為，所以的最大值為.故選：D.★應(yīng)用3.利用定點(diǎn)線系與垂直線系產(chǎn)生隱圓例3．已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)P，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：依題意，直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，顯然直線，因此，直線與交點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓，其方程為：，圓心，半徑，而圓C的圓心，半徑，如圖：，兩圓外離，由圓的幾何性質(zhì)得：，，所以的取值范圍是：.故選：B★應(yīng)用4.利用斜率和積產(chǎn)生定點(diǎn)加垂直產(chǎn)生隱圓例4.（2020年新高考1卷）已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)A（2，1）．（1）求C的方程：（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．解析：（1）由題意可得橢圓方程為：.（2）設(shè)點(diǎn).因?yàn)锳M⊥AN，即,①當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為,如圖1.代入橢圓方程消去并整理得：②,根據(jù),代入①整理可得：，將②代入可得：，整理化簡(jiǎn)得,∵不在直線上，∴，∴，于是MN的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，可得,如圖2.代入得,結(jié)合,解得,此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn),由于AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE為斜邊，所以AE中點(diǎn)Q滿足為定值（AE長(zhǎng)度的一半）.由于，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得.故存在點(diǎn)，使得|DQ|為定值.三．習(xí)題演練1．已知，若點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4解析：由可得點(diǎn)的軌跡為以線段為直線的圓，圓心為，半徑為，又直線，其過(guò)定點(diǎn)，故距離的最大值為.故答案為：C2．已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：說(shuō)明