利用曲線方程研究曲線的對稱性一．基本原理1.關(guān)于軸對稱代數(shù)判斷方法：若對于曲線方程，將換為后方程與原方程等價，則曲線關(guān)于軸對稱.2.關(guān)于軸對稱代數(shù)判斷方法：若對于曲線方程，把換為后方程與原方程等價，那么曲線關(guān)于軸對稱.3.關(guān)于原點對稱代數(shù)判斷方法：對于曲線方程，把換為，換為后方程與原方程等價，則曲線關(guān)于原點對稱.4.關(guān)于直線對稱代數(shù)判斷方法：將曲線方程中的與互換，得到方程，若它與原方程等價，則－曲線關(guān)于直線對稱.5.關(guān)于直線對稱代數(shù)判斷方法：將曲線方程中的換為，換為，得到，若與原方程等價，則曲線關(guān)于直線對稱.二．典例分析例1.（四川省成都市2025屆高三二診）．對于一個平面圖形，如果存在一個圓能完全覆蓋住這個平面圖形，則稱這個圖形被這個圓能夠完全覆蓋，其中我們把能覆蓋平面圖形的最小圓稱為最小覆蓋圓.則曲線的最小覆蓋圓的半徑為_________.解析：因為把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；因為把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；因為把換成，同時把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于坐標原點對稱；因為把換成，同時把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于直線對稱，因此最小覆蓋圓圓心必在坐標原點，從而最小覆蓋圓的半徑為曲線上點到原點距離最大值，，（當且僅當時取等號）因此最小覆蓋圓的半徑為，故答案為：例2．已知曲線的方程為，則（

）A．曲線關(guān)于直線對稱B．曲線圍成的圖形面積為C．若點在曲線上，則D．若圓能覆蓋曲線，則的最小值為解析：曲線上任意點有：，該點關(guān)于的對稱點有，即由線上任意點關(guān)于直線的對稱點仍在曲線上，故選項A正確；因為點在曲線上，點，點也都在曲線上，則曲線關(guān)于軸，軸對稱，當，時，曲線的方程為，表示以點為圓心，為半徑的圓在直線上方的半圓（含端點），因此，曲線是四個頂點為，，，的正方形各邊為直徑向正方形外作半圓圍成，如圖，所以曲線圍成的圖形的面積是，故選項B正確；點，在曲線上，則，，，，解得，故選項C正確；曲線上的點到原點距離最大值為，圓能覆蓋曲線，則，故選項D不正確．故選：ABC．例3．（2025·安徽合肥·一模）我們把既有對稱中心又有對稱軸的曲線稱為“優(yōu)美曲線”，“優(yōu)美曲線”與其對稱軸的交點叫作“優(yōu)美曲線”的頂點.對于“優(yōu)美曲線”，則（

）A．曲線關(guān)于直線對稱B．曲線有4個頂點C．曲線與直線有4個交點D．曲線上動點到原點距離的最小值為解析：對于A，將交換方程依然成立，所以曲線關(guān)于對稱，A正確；對于B，易得曲線有四條對稱軸軸，軸，直線，直線，共有8個頂點，B錯誤；對于C，由得，即，可得，對于方程，，則方程有兩不等實根，且方程的根不為0和3，所以方程有4個不等實根，從而曲線C與直線有4個交點，C正確；對于D，由得，，當且僅當，即時取等號，則的最小值為，曲線C上動點P到原點距離的最小值，D錯誤；故選：AC三．習(xí)題演練1.在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．最小覆蓋圓滿足以下性質(zhì)：①線段AB的最小覆蓋圓就是以AB為直徑的圓；②銳角三角形ABC的最小覆蓋圓就是其外接圓．已知x，y滿足方程，記其構(gòu)成的平面圖形為W，平面圖形W為中心對稱圖形，，，，為平面圖形W上不同的四點．（1）求實數(shù)t的值及三角形ABC的最小覆蓋圓的方程；（2）求四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程；（3）求平面圖形W的最小覆蓋圓的方程．解析：（1）因為點A的坐標滿足，則，解得或（舍），故，設(shè)的外接圓的方程為，則，解得，故的外接圓的方程為，又是銳角三角形，所以的最小覆蓋圓的方程為；（2）因為線段BD的最小覆蓋圓是以BD為直徑的圓，所以線段BD的最小覆蓋圓的方程為，又，故點A，C在圓內(nèi)，所以四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程為；（3）因為平面圖形W是中心對稱圖形，設(shè)是平面圖形W上的一點，則，當，即時，取得最大值，故平面圖形W的最小覆蓋圓的方程為．2．數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列三個結(jié)論：①曲線關(guān)于直線對稱；②曲線上任意一點到原點的距離都不超過1；③存在一個以原點為中心?邊長為的正方形，使曲線在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）.其中，正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③解：對于①，用替換方程中的，方程形式不變，所以曲線關(guān)于直線對稱，故①正確，對于②，設(shè)點是曲線上任意一點，則，則點到原點的距離為，