72.空間解析幾何方法與應(yīng)用隨著向量法的引出，新教材也在習(xí)題位置介紹了空間平面與直線的方程.類(lèi)似于平面解析幾何思想，在涉及到空間直線的交點(diǎn)或者平面的交線時(shí)，我們當(dāng)然也可以通過(guò)它們的方程來(lái)求得具體的位置或者軌跡，這樣的話，就降低了對(duì)幾何方法的需求.實(shí)際上，根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在利用幾何關(guān)系尋找交點(diǎn)，截線，軌跡時(shí)，往往很難找到解題思路.所以，我們需要思考和探尋能夠更加有效地幫助學(xué)生突破這類(lèi)問(wèn)題的方法，本文所涉及的空間解析幾何思想就是其中重要的一種，下面我將通過(guò)近年的高考試題與?？荚囶}做詳細(xì)分析和說(shuō)明.一．基本原理1.平面的點(diǎn)法式方程[1]在人教版選擇性必修第一冊(cè)44頁(yè)習(xí)題中出現(xiàn)如下結(jié)論：在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為法向量，是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則我們可以得到平面的點(diǎn)法式方程：.2.點(diǎn)到直線的距離公式已知直線上兩點(diǎn)，則由可知直線的單位方向向量為，則線外一點(diǎn)到直線的距離滿(mǎn)足的公式為：.3.點(diǎn)到平面的距離公式[1]顯然，若我們將上述點(diǎn)法式方程加以整理即可得到平面的一般式方程，即三元一次方程，進(jìn)一步，若點(diǎn)到平面：的距離為：.證明：如圖所示，設(shè)平面的方程為，向量為的法向量，平面外一點(diǎn)，在平面內(nèi)取一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為，其中為向量與向量的夾角，則，所以而，由于點(diǎn)在平面上，因此有，即，由此可得，所以，空間中點(diǎn)平面距離公式可看成平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式的推廣.

4.直線的交線式方程[1]若我們將上述點(diǎn)法式方程加以整理即可得到平面的一般式方程，即三元一次方程：.進(jìn)一步，兩個(gè)平面的交線的方程為：，該三元一次方程組稱(chēng)為直線由平面的相交的交線式方程，此時(shí)，直線的方向向量為：，即平面法向量的向量積.在得到上述平面的方程與點(diǎn)到平面的距離后，我們就可以將一些立體幾何問(wèn)題利用“解析幾何”的思想來(lái)計(jì)算，特別是一些截線，交點(diǎn)問(wèn)題，倘若我們無(wú)法通過(guò)幾何手段找到“隱點(diǎn)”，“隱截線”的位置，那我們還可通過(guò)解析的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，下面通過(guò)實(shí)例予以說(shuō)明.二．典例分析例1．在空間中，“經(jīng)過(guò)點(diǎn)，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足的關(guān)系式）為：”．用此方法求得平面和平面的方程，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為和，則這兩平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．解析：由題意，平面和平面的法向量分別是，，設(shè)平面和平面的夾角為，故選：B.例2．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為；過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線l的方程為.利用上面的材料，解決下面的問(wèn)題：已知平面的方程為，直線l是平面與的交線，則直線l與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．解析：對(duì)于，可以整理為，由題意可得：平面過(guò)點(diǎn)，且法向量，聯(lián)立方程，整理可得，由題意可得：直線l過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，∵，∴故直線l與平面所成角的正弦值為.故選：A.例3.（2020新高考1卷16題）已知直四棱柱的棱長(zhǎng)為2，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為_(kāi)________.解析：建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，由已知條件，，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：.那么，設(shè)為面的法向量，則可得：，故面的方程為：，整理可得：①.而球的方程為：②.根據(jù)球的截面性質(zhì)，先計(jì)算球心到平面的距離，根據(jù)公式可知：.進(jìn)一步，假設(shè)球心在平面的小圓半徑為，則.最后，為了算得截線長(zhǎng)，我們假設(shè)球心在小圓面的投影為，經(jīng)過(guò)分析，球與面的交點(diǎn)在側(cè)棱上，設(shè)交點(diǎn)分別為.則聯(lián)立①②，以及，我們可計(jì)算得坐標(biāo)分別為：，于是，那么，，則球與面的截線為圖1圖2注：利用解析幾何的思想，我們只需把握住球的小圓面的基本性質(zhì)就可通過(guò)解析方法找到結(jié)果，全程并未通過(guò)幾何作圖找具體位置，不失為一種好的方法！計(jì)算與“隱直線”有關(guān)的夾角例4.（2022合肥二模）在正方體中，為線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為，則直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________．解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)平面的法向量為，由上述可得，由于，取，則可求得：.同理，設(shè)平面的法向量為，由于，由可求得：.設(shè)直線的方向向量為，那么，即，而，則，故答案為.例5．（多選題）類(lèi)比平面解析幾何中直線的方程，我們可以得到在空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)平面的方程，如果平面的一個(gè)法向量，已知平面上定點(diǎn)，對(duì)于平面上任意點(diǎn)，根據(jù)可得平面的方程為．則在空間直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若平面過(guò)點(diǎn)，且法向量為，則平面的方程為B．若平面的方程為，則是平面的法向量C．方程表示經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的一條直線D．關(guān)于的任何一個(gè)三元一次方程都表示一個(gè)平面解析：對(duì)于A：根據(jù)題設(shè)可知平面的方程為，即為，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，由題設(shè)可知平面的一個(gè)法向量為，且即共線，所以是平面的法向量，故B正確；對(duì)于C：，該方程可表示：一個(gè)法向量為且過(guò)的平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，其等價(jià)于，該方程可表示：一個(gè)法向量為且過(guò)的平面，故D正確；故選：ABD.例6．在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且法向量的平面的方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問(wèn)題：平面的方程為，平面的方程為，直線的方程為，直線的方程為，則（

）A．平面與垂直B．平面與所成角的余弦值為C．直線與平面平行D．直線與是異面直線解析：由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直線的方向向量，直線的方向向量；對(duì)于A，，，則平面與垂直，A正確；對(duì)于B，，平面與所成角的余弦值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，直線平面或直線平面，直線過(guò)點(diǎn)，又滿(mǎn)足，直線平面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與不平行，直線與直線相交或異面，由得：，此時(shí)無(wú)解，直線與直線無(wú)交點(diǎn)，直線與直線是異面直線，D正確.故選：AD.例7．類(lèi)似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿(mǎn)足：①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上，則稱(chēng)曲面的方程為，方程的曲面為．已知曲面的方程為．（1）寫(xiě)出坐標(biāo)平面的方程（無(wú)需說(shuō)明理由），指出平面截曲面所得交線是什么曲線，說(shuō)明理由；（2）已知直線過(guò)曲面上一點(diǎn)，以為方向量，求證：直線在曲面上（即上任意一點(diǎn)均在曲面上）；（3）已知曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面；同時(shí)，過(guò)曲面上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上．設(shè)直線在曲面上，且過(guò)點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值．解析：（1）根據(jù)坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可知，坐標(biāo)平面的方程為，已知曲面的方程為，當(dāng)時(shí)，平面截曲面所得交線上的點(diǎn)滿(mǎn)足，即，也即在平面上到原點(diǎn)距離為定值1，從而平面截曲面所得交線是平面上，以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓.（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，由，均為直線的方向向量，有，從而存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是，因此點(diǎn)的坐標(biāo)總是滿(mǎn)足曲面的方程，從而直線在曲面上.（3）直線在曲面上，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，直線的方向向量為，由，均為直線的方向向量，有，從而存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵在曲面上，∴，整理得，由題意，對(duì)任意的，有恒成立，∴，且，∴，或，不妨取，則，或，∴，或，又直線的方向向量為，則異面直線與所成角的余弦值均為習(xí)題演練1．（多選題）類(lèi)比平面解析幾何中直線的方程，我們可以得到在空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)平面的方程，如果平面的一個(gè)法向量，已知平面上定點(diǎn)，對(duì)于平面上任意點(diǎn)，根據(jù)可得平面的方程為．則在空間直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若平面過(guò)點(diǎn)，且法向量為，則平面的方程為B．若平面的方程為，則是平面的法向量C．方程表示經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的一條直線D．關(guān)于的任何一個(gè)三元一次方程都表示一個(gè)平面解析：對(duì)于A：根據(jù)題設(shè)可知平面的方程為，即為，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，由題設(shè)可知平面的一個(gè)法向量為，且即共線，所以是平面的法向量，故B正確；對(duì)于C：，該方程可表示：一個(gè)法向量為且過(guò)的平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，其等價(jià)于，該方程可表示：一個(gè)法向量為且過(guò)的平面，故D正確；故選：ABD.2．在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且法向量的平面的方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問(wèn)題：平面的方程為，平面的方程為，直線的方程為，直線的方程為，則（

）A．平面與垂直B．平面與所成角的余弦值為C．直線與平面平行D．直線與是異面直線解析：由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直線的方向向量，直線的方向向量；對(duì)于A，，，則平面與垂直，A正確；對(duì)于B，，平面與所成角的余弦值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，直線平面或直線平面，直線過(guò)點(diǎn)，又滿(mǎn)足，直線平面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與不平行，直線與直線相交或異面，由得：，此時(shí)無(wú)解，直線與直線無(wú)交點(diǎn)，直線與直線是異面直線，D正確.故選：AD.3．在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過(guò)點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；過(guò)點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．(1)求經(jīng)過(guò)的直線的點(diǎn)方向式方程；(2)已知平面，平面，平面，若，證明：；(3)已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大小．【詳解】（1）由得，直線的方向向量為，故直線的點(diǎn)方向式方程為．（2）由平面可知，平面的法向量為，由平面可知，平面的法向量為，設(shè)交線的方向向量為，則，令，則，可得，由平面可知，平面的法向量為，因?yàn)?，即，且，所以．?）因平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，可得，設(shè)側(cè)面所在平面的法向量，則，令，解得，可得，由平面可知，平面法向量為，設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，則，令，則，可得，由平面可知，平面的法向量為，因?yàn)?，解得，即，則，故平面與平面夾角的大小為．4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若直線l以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線l的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為（）；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.平面內(nèi)任一點(diǎn)在面的兩側(cè)分別對(duì)應(yīng)和.(1)已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；(2)已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，點(diǎn)與點(diǎn)在平面外的同側(cè)，點(diǎn)B在平面內(nèi)的投影點(diǎn)為，且，點(diǎn)C為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求的最小值；(3)若平面為，平面與平面的交線為，且平面與平面所成面面角余弦值大小為，求平面的點(diǎn)法式方程.【詳解】（1）由直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為可知，直線l的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，由平面的點(diǎn)法式方程為可知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線l與平面所成角為，所以有，所以，即直線l與平面所成角的余弦值為.（2）由平面的點(diǎn)法式方程為可知，平面的法向量為，設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影點(diǎn)為，易知與共線，