30.和差化積公式及四大應(yīng)用抽象的東西不是無(wú)源之水，找到它的原型，這也是我們處理函數(shù)方程的一個(gè)重要方法，例如，最常見(jiàn)的函數(shù)方程：其實(shí)就是我們的指數(shù)乘法公式：.所以，處理函數(shù)方程問(wèn)題的一個(gè)重要手法就是找原型.三角函數(shù)和差化積公式，一個(gè)出現(xiàn)在新教材必修一226頁(yè)習(xí)題?。璩恐v數(shù)學(xué)）一．基本原理1.公式匯編與證明:；；；.證明：由，，得.也可利用單位圓予以證明：證明：線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為.過(guò)點(diǎn)M作垂直于x軸，交x軸于，如圖，則.在中，.在中，.2.和差化積公式推導(dǎo)出的一些常見(jiàn)恒等式（1）平方差公式：即（2）證明：左邊右邊，所以原式得證.3利用和差化積公式解決抽象函數(shù)（1）將上述公式予以抽象，若令，則上述積化和差公式可進(jìn)一步抽象得：（2）若令，則有（3）進(jìn)一步，倘若令，那么上述和差化積公式可以表示為：，抽象為：（4）若令，那么：則有：綜上所述，有關(guān)和差化積，我們可以得到如下的抽象函數(shù)模型；①.②.③.二．典例分析★應(yīng)用1.利用和差化積（積化和差）公式求值與化簡(jiǎn)例1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以為始邊，角與的終邊分別與單位圓相交于兩點(diǎn)，且若直線的斜率為，則（

）

A． B． C． D．解析：由題意可設(shè)，，則直線的斜率，所以，所以．故選：A．例2．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．解析：由和差化積公式，得，，兩式相除，所以.所以.故選：B．例3．如圖所示，已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為為線段的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A．B．C．當(dāng)面積為時(shí)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)D．點(diǎn)的坐標(biāo)為解析：由已知，得，則，依題意為的中點(diǎn)，則，故A正確；由題意，得，，則，，所以，故B正確；由題意可得，，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，則，其中，因故，故D正確；由，則，，設(shè)，則，將兩式平方相加得，即，即點(diǎn)在園上運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤.故選：ABD例4．已知函數(shù)，則（

）A．的一個(gè)周期為 B．的圖像關(guān)于中心對(duì)稱C．的最大值為2 D．在上的所有零點(diǎn)之和為解析：對(duì)于A，，所以A正確；對(duì)于B，，所以B正確；對(duì)于C，若最大值為2，則，，當(dāng)，，此時(shí)，，，故C不正確；對(duì)于D，，令得，所以或，又，所以或或或或，解得或或或或，即所有零點(diǎn)之和為，故D正確.故選：ABD★應(yīng)用2.利用和差化積（積化和差）公式處理抽象函數(shù)例5.（2022新高考2卷）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則A.B.C.D.解析：方法1.由余弦函數(shù)積化和差公式可得，考慮函數(shù)，則滿足題意.于是，周期為6，且，進(jìn)一步，故選A.方法2.因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．例6．已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿足，且，則（

）A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C． D．解析：（方法1.函數(shù)模型）由①，構(gòu)造，易得結(jié)果選AC.（方法2.賦值分析）：在中，令，可得，即，解得，故B錯(cuò)誤；令可得,即，故函數(shù)是偶函數(shù)，即是偶函數(shù),故A正確；令，則，故，令，可得,故，故C正確；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，故,即，所以,所以，故函數(shù)的周期為2，因?yàn)?，，所以?所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.例7．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)、滿足，且，．其中正確的是（

）A． B．為奇函數(shù) C．為周期函數(shù) D．在內(nèi)單調(diào)遞減解析：（方法1.函數(shù)模型）由③，構(gòu)造，且，，易得結(jié)果：,故選：BC（方法2.賦值分析）：對(duì)于A，令，得，因?yàn)椋?，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，令，則，因?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，所以B正確，對(duì)于C，令，則，所以，所以，所以，所以，所以的周期為，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，，，的周期為，所以，令，則，所以，得，所以，所以在上不單調(diào)，所以D錯(cuò)誤，故選：BC例8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．為偶函數(shù) B． C． D．解析：方法一：由于．由題意，可以令，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．因?yàn)椋蔬x項(xiàng)B正確．因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確．因?yàn)椋?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．方法二：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，令，則，故，則，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)B，令，則．而，所以，故選項(xiàng)B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B可知，，令，則，所以．又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故C正確．對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)B以及，可得，所以，同理可得．因?yàn)?，故，故D錯(cuò)誤．故選：BC★應(yīng)用3.和差化積（積化和差）公式解決實(shí)際問(wèn)題例9．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為，設(shè)置有48個(gè)座艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要.(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)求游客甲在開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度；(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過(guò)程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.（參考公式與數(shù)據(jù)：；；.）解析：（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)時(shí)，游客甲位于點(diǎn)，以為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為，由題意可得，

（2）當(dāng)時(shí)，.所以，游客甲在開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度約為.（3）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)，表示，則，經(jīng)過(guò)后甲距離地面的高度為，點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)始終落后，此時(shí)乙距離地面的高度為，則甲、乙距離地面的高度差利用，可得，.當(dāng)（或），即（或22.8）時(shí)，的最大值為.所以，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為.★應(yīng)用4.新定義問(wèn)題與應(yīng)用例10．定義二元函數(shù)，同時(shí)滿足：①；②；③三個(gè)條件．(1)求的值；(2)求的解析式；(3)若．比較與0的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．附：參考公式解析：（1）由條件②可得；由條件③可得．（2）由條件②）可得：，，，將上述個(gè)等式相加，得；由條件③可得：，，，將上述個(gè)等式相加，得．（3）由（2），所以，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，上式取得等號(hào)，即時(shí)，均有，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以．例11．設(shè)次多項(xiàng)式，若其滿足，則稱這些多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式.例如：由，可得切比雪夫多項(xiàng)式，由，可得切比雪夫多項(xiàng)式.(1)若切比雪夫多項(xiàng)式，求實(shí)數(shù)，，，的值；(2)對(duì)于正整數(shù)時(shí)，是否有成立？(3)已知函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，，，證明：.解析：（1）依題意，，因此，即，則；（2）成立.只需考慮和差化積式，首先有如下兩個(gè)式子：，，兩式相加得，，將替換為，所以對(duì)于正整數(shù)時(shí)，；（3）函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有3個(gè)不同的實(shí)根，令，由（1）知，而，則或或，于是，則，而，所以.三．習(xí)題演練1．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，不恒為0，且，則（

）A．可以等于零 B．的解析式可以為：C．曲線fx?1為軸對(duì)稱圖形 D．若，則2．定義在R上的函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．為奇函數(shù)C．6是的一個(gè)周期 D．3．已知函數(shù)，則（）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，4．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，滿足如下條件：①.對(duì)任意實(shí)數(shù)都有；②.，.則_________.5．筒車(chē)（chinesenoria）亦稱“水轉(zhuǎn)筒車(chē)”.一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，筒車(chē)發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史．這種靠水力自動(dòng)的古老筒車(chē)，在家鄉(xiāng)郁郁蔥蔥的山間、溪流間構(gòu)成了一幅幅遠(yuǎn)古的田園春色圖．水轉(zhuǎn)筒車(chē)是利用水力轉(zhuǎn)動(dòng)的筒車(chē)，必須架設(shè)在水流湍急的岸邊．水激輪轉(zhuǎn)，浸在水中的小筒裝滿了水帶到高處，筒口向下，水即自筒中傾瀉入輪旁的水槽而匯流入田．某鄉(xiāng)間有一筒車(chē)，其最高點(diǎn)到水面的距離為，筒車(chē)直徑為，設(shè)置有8個(gè)盛水筒，均勻分布在筒車(chē)轉(zhuǎn)輪上，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車(chē)轉(zhuǎn)一周需要，如圖，盛水筒A（視為質(zhì)點(diǎn)）的初始位置距水面的距離為．

(1)盛水筒A經(jīng)過(guò)后距離水面的高度為h（單位：m），求筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，h關(guān)于t的函數(shù)的解析式；(2)盛水筒B（視為質(zhì)點(diǎn)）與盛水筒A相鄰，設(shè)盛水筒B在盛水筒A的順時(shí)針?lè)较蛳噜徧?，求盛水筒B與盛水筒A的高度差的最大值（結(jié)果用含的代數(shù)式表示），及此時(shí)對(duì)應(yīng)的t．（參考公式：，）參考答案：1.解析：令，可得，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，則可得，則，與不恒為0矛盾，所以，故A錯(cuò)誤；令，可得，所以為偶函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的解析式可以為：，故B正確；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以曲線為軸對(duì)稱圖形，故C正確；令，則可得，所以，又，解得，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，故D正確.故選：BCD.2.解析：該函數(shù)滿足且，對(duì)于A，令，可得，解得，故A正確；對(duì)于B，令，，所以，所以為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，可得，令，可得，將兩式相加得：，所以，所以，所以，因此，6是的一個(gè)周期，故C正確；對(duì)于D，令，，，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，令，，所以，令，，所以，令，，所以，令，，所以，由?是的一個(gè)周期，所以，所以，故D正確；故選：ACD3.解析：對(duì)于A，，由和差化積公式:得：,其中，故所以即A正確；對(duì)于B，對(duì)求導(dǎo),，在上，令f'x<0得令f'所以在和單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在區(qū)間上的最大值為,且,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故在上單調(diào)遞增,而當(dāng)時(shí),，且,故正確；對(duì)于D，，由和差化積公式:得，因?yàn)?，所以，所以，所以，?由積化和差得,其中,上述不等式顯然成立，故D正確,故選：ACD4.解析：（方法1.函數(shù)模型）由③，構(gòu)造，且，，易得結(jié)果：,于是：.（方法2.賦值分析）：取，則得,即函數(shù)為奇函數(shù)；取，則得,所以函數(shù)